浙江台州2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案）

台州市2026届高三第二次教学质量评估试题数学2026.04本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知an为等比数列，a3=2，aA.8B.12C.16D.172.已知α为第二象限角,且tanα=−3A.12B.12c.33.设一个随机事件的样本空间为Ω,事件A,BA.0≤PC.若A⊆B,则PA≤PBD.若4.已知实数a,b>1,若logA.14B.13c.5.已知一个圆锥的底面半径为3，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是A.体积为3πB.表面积为2C.两条母线的夹角的最大值为π3D.过顶点的截面面积的最大值为6.已知点A1,1,B1,−1,点P是抛物线C:y2=x上的动点(异于A,B两点),记直线A.k1−k2为定值B.k1+k2为定值7.设复数z1,z2是关于x的方程x2+mx+1=0m∈RA.z1⋅z2=0B.z8.已知数列an共有5项,各项均为正整数,且对∀n∈{1,2,3,4},满足an+1−an=1A.12B.14C.16D.18二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fx=A.fx的最小正周期为B.fC.fx的值域为−2,4D.π6,10.设x2+A.a0=C.a2+11.已知正四面体A−BCD的棱长为4,顶点B,C,D在平面α的同侧,点A∈α,顶点B,C到平面α的距离分别为1,2,直线BCA.直线AC与平面α所成角为π6B.平面ABC与平面α所成角为C.AC⊥AED.点D到平面α的距离为非选择题部分(共92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知平面向量a=1,2,b=x,y13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点14.已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球,现操作如下:从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球,则放进一个白球,黑球不放回(其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异).依此规则操作2次，记袋中的白球个数为X，则X的数学期望为_____▲_____.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中，角A,B,C3a(1)求角A的大小；(2)若a=2,bc=8(第16题)16.(15分)如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均为正方形，AA1⊥底面ABCD，(1)求证:AC1//平面(2)求平面ABC1与平面BDE17.(15分)2016-2024年我国的国内生产总值(GDP)的数据(摘自《中国统计年鉴一2025》)如下:年份(x)201620172018201920202021202220232024GDP/万亿元(y)74.6483.2091.9398.65101.36114.92120.47129.43134.91由以上数据,得到x与y的9对样本数据为x1,算结果如下:x=(1)证明:i=(2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.(注:从《中国统计年鉴一2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.)附:一元线性回归方程y=bx+a18.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P作椭圆C的两条切线l1,l2，过点T作椭圆C的切线l,l与l(i)求切线l1,(ii)问∠MFN19.(17分)已知a∈R，函数(1)当a=3时，求函数f(2)证明:当a≤22−1时，对任意x1(3)若存在x1,x2∈0,+∞，x1−x一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)12345678ABDCDCBC二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)91011BCABDACD三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.1513.62四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)解:(1)已知3asinB+bcosA=2b，由正弦定理得，3sinAsinB+sinBcosA=(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得4故△ABC的周长为2+16.(15分)(1)证明:连接AC交BD于M点，由ABCD是正方形得M为AC的中点，因为E为CC1的中点，所以ME为△ACC1的中位线，于是ME//AC1，4分又因为ME⊂平面BDE,AC1(2)由已知，AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，以A为原点，AB，AD，AA(第16题)则A0设平面ABC1的法向量为n1=即2x1=0,设平面BDE的法向量为n2=x2即−2x2+2y记平面ABC1与平面BDE的夹角的大小为θ,则故sinθ=17.(15分)(1)证明:因为l=-2分又因为i=所以l=故i=1(2)设一元线性回归方程为y=bx+a，则将x,y代入回归方程得105.5=7.552×2020+所以一元线性回归方程为y=7.552x当x=2025时,求得y=143.26,即2025年的而实际2025年的GDP为140.19万亿元，故误差值为143.26-140.19=3.07(万亿元)....15分18.(17分)解:(1)由题意得ca=22,c=1，解得所以椭圆C的标准方程为x22(2)(i)由题意，设过点P的直线方程为y=kx−消去y并整理得1+由Δ=16k22k+12−41+2k2(ii)设Tx0,y0,则l:x得M21因为FM=2所以FM⋅FN=2−故∠MFN为定值,且定值为90∘19.(17分)(1)由a=3,得令f′x=0当x∈0,12时,f′x>0;当x∈12,因此,fx的极小值为f1(2)证明:当a≤22−1所以fx为增函数,即对任意的x1,x2∈R,不妨设又因为fx−x′=1得fx1−x1≤fx2−(3)解:由题意不妨设x1=因为fx1=fx整理得lnx令gx①当x∈[1,+∞)时，此时gx②当x∈0,1时，令g′x因此,gx在0,x0上单调递减,在x0因为gx又因为t2−4t+4≥0,得所以gx记ht则