2026年高考数学压轴题满分突破(七大类)

三角函数与解三角形题型归纳题型一：三角恒等变换与三角函数（24-25高三上·河南·月考）已知向量，函数.(1)求的最小正周期;(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.1．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，已知函数的图象过点和，且满足.(1)求的解析式；(2)当时，求函数值域.2．（24-25高三上·北京·期中）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求不等式的解集；(3)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求的取值范围.①在有恰有两个极值点；②在单调递减；③在恰好有两个零点.注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.题型二：正余弦定理解三角形的边与角（24-25高三上·福建南平·期中）在锐角中，角所对的边分别为.已知(1)求；(2)当，且时，求.1．（24-25高三上·江苏苏州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)证明：；(2)若，，求.2．（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知．(1)若，，求；(2)若，，求的周长．题型三：利用正弦定理求三角形外接圆（24-25高三上·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求的大小；(2)若面积为，外接圆面积为，求周长.1．（24-25高三上·海南·月考）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且，，为钝角，.(1)求；(2)若，求△BCD的面积．2．（23-24高三下·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，.(1)求面积的取值范围；(2)若四边形存在外接圆，求外接圆面积.题型四：解三角形中边长或周长的最值范围（24-25高三上·四川绵阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求证：；(2)，求的取值范围.1．（24-25高三上·山西·月考）在中，角的对边分别是，且．(1)证明：．(2)若是锐角三角形，求的取值范围．2．（24-25高三上·贵州遵义·月考）记的内角，，对应的三边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求的周长的取值范围.题型五：解三角形中面积的最值范围（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知中，角的对边分别为，满足．(1)求角．(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．1．（24-25高三上·江西·期中）已知中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求面积的最大值.2．（24-25高三上·河南·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求C的值；(2)若内有一点P，满足，，求面积的最小值．题型六：三角形的角平分线、中线、垂线（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若BD是角B的平分线，，求线段BD的长．1．（24-25高三上·福建福州·月考）的内角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若D为中点，，，求的周长．2．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知的三个内角所对的边分别是．已知(1)求角；(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．①为的角平分线；②为的中线．必刷大题1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)延长到，使，求．2．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.(1)若,，求的面积；(2)求的取值范围.3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.(1)若，求；(2)若，求的面积的最大值.4．（24-25高三上·辽宁大连·月考）在中，角、、的对边分别为、、，满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值．5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在中，已知.(1)若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围;(2)若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值.6．（24-25高三上·天津·月考）在中，角对应边分别为，外接圆半径为，已知.(1)证明：；(2)求角和边；(3)若，求.1．（2024·上海·高考真题）已知，(1)设，求解:的值域;(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.2．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．3．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．4．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2023·北京·高考真题）设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

立体几何七类大题梳理题型归纳题型一：空间异面直线夹角的求解（23-24高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，.(1)求证：平面；(2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值.1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.(1)求的值；(2)求异面直线与所成角的余弦值.2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，.(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值.题型二：空间直线与平面夹角的求解（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，

(1)求证：平面⊥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，，，，，为中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.2．（24-25高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.题型三：空间平面与平面夹角的求解（24-25高三上·湖北·期中）如图，球的半径为，为球面上三点，若三角形为直角三角形，其中.延长与球的表面交于点.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成的角分别为，试求二面角的正弦值.1．（24-25高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面.

(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.2．（24-25高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，M为线段的动点.(1)若直线平面，求证：为的中点：(2)求证：平面平面(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.题型四：空间点、线、面间的距离求解（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥.(1)证明：平面；(2)若求点到平面的距离.1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知四棱柱中，底面ABCD为梯形，，平面，，其中，.，分别是线段和线段上的动点，且，.

(1)求证：平面；(2)若到平面的距离为，求的长度.2．（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线BD到平面的距离．题型五：空间几何体的体积求解（23-24高三上·海南海口·月考）如图，在长方体中，，，分别为，的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．1．（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积．2．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，．(1)证明：；(2)已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．题型六：空间几何体的翻折问题（23-24高三下·山东·模拟预测）如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小.1．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知在长方形中，，，点是边的中点，如图甲所示.将沿翻折到，连接，，得到四棱锥，其中，如图乙所示.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值.2．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.

(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.题型七：空间动点存在性问题的探究（24-25高三上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点.(1)若为中点，证明：平面；(2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由.1．（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片中，，沿将折起，使点到达点的位置，且满足平面⊥平面.(1)求证：平面平面，并求的长度；(2)若是线段上（不包括端点）的一个动点，是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.2．（24-25高三上·湖南·月考）如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.(1)求证：平面；(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.必刷大题1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.(1)若平面，求证：为的中点；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.2．（24-25高三上·江苏苏州·月考）如图，在平行四边形中，，以为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且.(1)证明：平面平面.(2)Q为线段上一点，P为线段上一点，且，求点P到平面ABQ的距离.3．（24-25高三上·浙江宁波·模拟考试）在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，.

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5．（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.(1)证明：；(2)证明：；(3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由.6．（24-25高三上·浙江·月考）在四棱锥中，，，底面，点O在上，且.(1)求证：；(2)若，，点在上，平面，求的值；(3)若，二面角的正切值为，求二面角的余弦值.1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．4．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．

数列及其综合应用题型归纳题型一：等差数列与等比数列证明（23-24高三下·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．(1)证明：数列是等比数列，并求；(2)求数列的前n项和．1．（24-25高三上·上海·期中）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….(1)写出和，并求出与之间的递推关系式；(2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.2．（24-25高三上·山东淄博·月考）记为数列an的前项和，已知，．(1)求，并证明是等差数列；(2)求．题型二：分组转化法求数列的前n项和（24-25高三上·北京·月考）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．1．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)若，求n的值．2．（24-25高三上·海南海口·月考）已知数列是公差为3的等差数列，数列满足，，，(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．题型三：裂项相消法求数列的前n项和（24-25高三上·湖北·期中）记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列.(1)求和；(2)若，求数列的前20项和.1．（24-25高三上·广东深圳·模拟预测）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中．(1)求及的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）已知数列an的首项为1，且.(1)求数列an(2)若，求数列bn的前项和.题型四：错位相减法求数列的前n项和（24-25高三上·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和公式为，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的通项公式.1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知数列an满足：，数列bn满足：.(1)求数列的前15项和；(2)求数列的前项和.2．（24-25高三上·湖北·期中）已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且.(1)求和的通项公式；(2)若为数列的前项和，求.题型五：数列与不等式综合问题（23-24高三下·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．1．（24-25高三上·吉林·模拟预测）已知数列的首项，且满足，设．(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最小正整数．2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)若，求的最大值；(3)设，证明：.题型六：数列中的探究问题（23-24高三下·福建·模拟预测）已知数列的前n项和为，，数列满足，且均为正整数.(1)是否存在数列，使得是等差数列？若存在，求此时的；若不存在，说明理由；(2)若，求的通项公式.1．（24-25高三上·天津·月考）已知等比数列an的前n项和为，且．(1)求数列an(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．（i）求数列的通项及；（ii）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．2．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列an；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列bn；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为.第1列第2列第3列…第列第1行12…第2行359第3行510……第行(1)求数列通项公式;(2)对任意的，将数列an中落入区间内项的个数记为，①求和的值;②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由.必刷大题1．（24-25高三上·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列an满足：且，，成等比数列.(1)求数列an(2)若数列bn满足：，，求数列的前项和.2．（24-25高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列满足，(1)记，写出，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求的前20项和．3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知数列的前n项和为，，满足．(1)求；(2)若，求数列的前n项和．4．（24-25高三上·江西上饶·月考）设函数，数列满足，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)令，若对一切成立，求最小正整数的值.5．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，.(1)求数列的通项公式；(2)是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：数列.6．（24-25高三上·山东青岛·月考）已知数列的前n项和．若，且数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)求证：数列的前n项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围．1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.2．（2024·全国·高考真题）记为数列an的前项和，已知．(1)求an(2)设，求数列bn的前项和．3．（2024·上海·高考真题）若．(1)过，求的解集；(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．4．（2024·天津·高考真题）已知an为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．(1)求an的通项公式及；(2)设数列满足，其中．（ⅰ）求证：当时，求证：；（ⅱ）求．

概率与统计十类大题梳理题型归纳题型一：离散型随机变量及其分布列（23-24高三下·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列.1．（24-25高三上·贵州·月考习）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.(1)求第一题结束时甲获得1分的概率；(2)记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望.2．（24-25高三上·北京·月考习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A做对的概率获得的奖金/元204080规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.](1)求甲没有获得奖金的概率；(2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望；(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）题型二：超几何分布与二项分布（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：等级一等品二等品三等品四等品数量40301020(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：产品不分类，售价均为21元/件.方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：等级一等品二等品三等品四等品售价/（元/件）24221816从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．(1)求该同学被终止比赛的概率；(2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望；(3)求该同学获得三等奖的概率．2．（24-25高三上·重庆·月考习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响.(1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大；(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望.题型三：均值与方差的实际应用（24-25高三上·河北·期中）随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.项目题型每小题分值每小题答对概率甲类题乙类题丙类题其竞赛规则为：第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.第三轮，在乙类试题中选择一道作答.(1)求小李答题次数恰好为2次的概率；(2)求小李最终得分的数学期望.1．（24-25高三上·四川成都·月考习）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.(1)若试估算该小区化验的总次数；(2)若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少.注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，.2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲乙两人各有n张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n轮比赛，在每轮比赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．(1)当时，求甲的总得分小于2的概率．(2)分别求甲得分的最小值和最大值的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，3，…，n，则，记轮比赛（即从第1轮到第轮比赛）中甲的总得分为，乙的总得分为，求和的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？题型四：正态分布与标准正态分布（24-25高三上·浙江·月考习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；参考数据：若，则，，.1．（24-25高三上·江苏泰州·月考习）以A地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变量，其中均为正数．随机从总体中抽取个番茄作为一个样本，番茄的重量分别为，，其取值相互独立．样本均值为．(1)已知对于任意的随机变量，有；如果，的取值相互独立，则又有．求及．(2)若，证明：是的充要条件．2．按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下：2.722.682.72.752.662.72.62.692.7

2.8(1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s；(2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%；②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算）题型五：线性回归与非线性回归（24-25高三上·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽车购买数量>（万辆）0.400.701.101.501.80(1)计算与的相关系数（保留三位小数）；(2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．参考公式，，．参考数值：，．1．（24-25高三上·广东·月考习）仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号1234根茎长度10121416植株高度6286112132参考数据：．(1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；(2)求关于的线性回归方程.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为．2．（24-25高三上·福建泉州·月考习）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度212324272932产卵数个61120275777经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温差和产卵数，.(1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）；(2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522.（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数.题型六：独立性检验及应用（24-25高三上·四川绵阳·月考习）2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表:喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课（A组）15050200未选奥数课（B组）90110200总计240160400(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:参考公式:，其中.1．（24-25高三上·宁夏中卫·月考习）宁夏新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3+1+2”的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治，历史、地理、物理、化学、生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”.(1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“物化生”组合的概率；(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，完成下面列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生4050女生合计30100附参考公式与表：，.独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282．（24-25高三上·上海·开学考试）某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽取100块得到各块稻田的亩产量（单位：kg）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg到1200kg之间）亩产量优质频数51014186普通频数12464(1)这50000块稻田中，亩产量在的频数约为多少？(2)估计这片稻田的平均亩产量（单位kg）；(3)已知在100块抽取稻田中亩产量在的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关？（参考公式：，参考数据：）题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式（24-25高三上·贵州遵义·模拟预测）已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件.(1)求取到的零件是次品的概率；(2)若取到的零件是次品，求它是第（其中）台车床加工的零件的概率.1．（24-25高三上·广东·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为．(1)求；(2)求在的情况下，甲晋级的概率；(3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率．2．（24-25高三上·四川内江·月考习）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；(3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.题型八：概率与统计图表的综合应用（24-25高三上·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，）(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.(1)求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.题型九：概率与其他知识的交汇应用（24-25高三上·广东深圳·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.(1)求p；(2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望；(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.1．（24-25高三上·湖南·月考习）若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质.(1)若，（i）判断数列是否具有性质，并说明理由；（ii）记，判断数列是否具有性质，并说明理由；(2)已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质.2．（24-25高三上·海南省·开学考试）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率；(2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．题型十：利用概率解决决策类问题（24-25高三上·宁夏银川·月考习）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生2028高中生合计24附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828，.(1)完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考习）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果互不影响.(1)若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率；(2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？(3)为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·月考习）某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功.(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率；(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率；(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.必刷大题1．（2024·全国·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？3．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）5．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

圆锥曲线的综合应用题型归纳题型一：最值问题（24-25高三上·福建福州·月考）已知椭圆经过点，右焦点为(1)求椭圆的方程；(2)若直线与交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.(1)求的方程；(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补.(1)求抛物线在点处的切线方程；(2)求的值；(3)若，求面积的最大值.题型二：参数范围问题（23-24高三下·全国·模拟预测）已知椭圆.(1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长；(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.1．（23-24高三下·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，不过的直线与交于，两点，直线，，的斜率依次成等比数列，求到距离的取值范围.2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围.题型三：定值问题（24-25高三上·贵州毕节·期中）已知椭圆的焦距为4，为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的左焦点，直线，为椭圆上任意一点，点到的距离为，点到的距离为，若为定值，求此定值及的值.1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点.(1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程；(2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.2．（24-25高三上·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且．(1)求双曲线的方程及的面积；(2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值．题型四：过定点问题（24-25高三上·河南驻马店·开学考试）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.(1)直线与圆相切于点Q，求的值；(2)求曲线C的方程；(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.1．（24-25高三上·湖北襄阳·月考）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．(1)求抛物线E的方程；(2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．2．（24-25高三上·天津北辰·期中）已知椭圆：（）的一个焦点为，其短轴长是焦距的倍，点为椭圆上任意一点，且的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.题型五：定直线问题（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.1．（23-24高三下·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，.(1)求的方程；(2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.(1)求的方程；(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.题型六：动点轨迹问题（23-24高三下·湖南益阳·一模）已知两点，及一动点，直线，的斜率满足，动点的轨迹记为.过点的直线与交于，两点，直线，交于点.(1)求的方程；(2)求的面积的最大值；(3)求点的轨迹方程.1．（23-24高三下·江西抚州·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.(1)求的离心率；(2)若△的重心为，点，求的最小值；(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.2．（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求该抛物线的方程；(2)设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程．题型七：角度关系证明问题（24-25高三上·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：.1．（23-24高三下·山西运城·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于(1)过右焦点作于，求；(2)求证：.2．（23-24高三下·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)证明：P在定直线上；(2)若F为抛物线C的焦点，证明：．题型八：向量共线问题（24-25高三上·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．(1)求椭圆方程；(2)求的取值范围．1．（23-24高三下·山西太原·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为与，点在上，且直线与的斜率之和为.(1)求双曲线的方程;(2)过点的直线与交于两点(均异于点)，直线与直线交于点，求证:三点共线.2．已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；(3)若直线过点，设，求的值．题型九：存在性问题探究（23-24高三下·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.(1)求椭圆的离心率；(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.1．（24-25高三上·上海·月考）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线、的斜率之积为定值；(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．2．（23-24高三下·西藏拉萨·月考）已知抛物线，准线与轴交于点为抛物线上一点，交轴于点.当时，.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线的另一交点为（点在点之间），过点且垂直于轴的直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.题型十：“非对称”韦达定理（23-24高三上·陕西西安·期中）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．1．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．2．（24-25高三上·重庆·月考）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.(1)求的值；(2)为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.必刷大题1．（23-24高三下·河北·模拟预测）椭圆：左右顶点分别为，，且，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)直线与抛物线相切，且与相交于、两点，求面积的最大值.2．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，．(1)求椭圆的方程；(2)证明：是钝角．3．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程.(2)设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．4．（24-25高三上·云南保山·期中）若为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别另交于两点.(1)求抛物线的方程与焦点坐标；(2)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.5．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于A的两点，．(1)求的方程；(2)若，求面积的最大值；(3)记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．6．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点F₂到双曲线.渐近线的距离为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点.①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为求实数k的值；②若直线过定点P(0,2)，且k>0，在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.1．（2024·全国·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.(1)若离心率时，求的值．(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．6．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.(1)若点的横坐标为2，求的长;(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.

解答题：函数与导数的综合应用题型归纳题型一：利用导数研究函数的单调性（24-25高三上·海南·期中）设函数.(1)求曲线在点切线方程；(2)求函数fx1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1.(1)求实数a，b的值;(2)求函数的单调区间.2．（24-25高三上·江苏常州·月考）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间．题型二：利用导数研究函数的极值（24-25高三上·黑龙江·月考）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线;(2)当时，若的极小值小于0，求的取值范围1．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数为上的奇函数．(1)求；(2)若函数，讨论的极值．2．（24-25高三上·河南安阳·月考）已知函数．(1)求的定义域；(2)若存在极大值，求的取值范围题型三：利用导数研究函数的最值（24-25高三上·江西·月考）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的最值．1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数（）在处取得极小值.(1)求a的值，并求函数的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.2．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知函数．(1)若函数在上的最小值为，求的值；(2)若，函数，求的最小值．题型四：利用导数解决恒成立与能成立（24-25高三上·河北衡水·月考）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)函数在上恒成立，求最小的整数a．1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若对于恒成立，求的最大值.2．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）已知函数.(1)当时，求在区间上的值域；(2)若存在，当时，，求的取值范围.题型五：利用导数求解函数的零点（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数，e为自然对数的底数，函数.(1)若在处的切线也是的切线，求实数a的值；(2)求在上的零点个数.1．（24-25高三上·云南玉溪·月考）已知函数(1)证明：在区间存在唯一极大值点；(2)求的零点个数．2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形；(3)讨论函数零点的个数.题型六：利用导数证明不等式（24-25高三上·广东·月考）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：．1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：2．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数.(1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值；(2)求函数的单调区间；(3)求证：恒成立.题型七：利用导数研究双变量问题（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.(1)求fx(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.1．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点.(1)求的值；(2)设函数，若对，，使得，求的取值范围.2．（24-25高三上·上海·期中）已知实数，设.(1)若，求函数y=fx的图象在点处的切线方程；(2)若，已知函数y=fx，的值域为，求实数的取值范围；(3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.题型八：利用导数研究极值点偏移问题（24-25高三上·云南·月考）已知函数.(1)若为增函数，求的取值范围；(2)若有两个极值点，证明：.1．（23-24高三上·天津·月考）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若函数有两个极值点，求证：.2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数，(1)证明：有两个零点；(2)记是的导数，为的两个零点，证明：．题型九：隐零点问题综合应用（23-24高三下·湖南衡阳·一模）已知函数(1)若在处的切线方程为，求、的值；(2)若时，在上恒成立，求的取值范围；1．（24-25高三上·浙江杭州·月考）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：．2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数（其中）(1)当时，证明：(2)若时，，求实数的取值范围；(3)记函数的最小值为，求证：题型十：导数与数列综合问题（23-24高三下·河北·三模）已知函数．(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：．1．（23-24高三下·四川雅安·一模）已知函数．(1)若有2个相异极值点，求a的取值范围；(2)若，求a的值；(3)设m为正整数，若，，求m的最小值．2．（24-25高三上·上海·月考）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)①当时，恒成立，求正整数的最大值；②证明：必刷大题1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围．2．（24-25高三上·山东·期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，讨论的单调性；(3)当时，，求的取值范围.3．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数在点处取得极大值5，其导函数y=f'x的图象经过点1,0，2,0(1)的值；(2)，，的值；(3)函数在区间上的最大值和最小值.4．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数，.(1)求的极值；(2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围；(3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围.5．（23-24高三下·广东佛山·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，若存、在，满足，证明：；(3)对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围．6．（23-24高三下·浙江杭州·一模）已知函数.(1)若，求的单调区间;(2)若，求证:;(3)若使得，求证:.1．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．2．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．3．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．4．（2024·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点1,f1处的切线方程；(2)若对任意x∈0,+∞成立，求实数的值；(3)若，求证：．5．（2024·全国·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证：不经过点.(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．

新定义问题题型归纳题型一：集合的新定义问题（24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”.(1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）；(2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举；(3)若，证明：集合必为“理想集”.1．（24-25高三上·广东·月考）已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P.(1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由；(2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由；(3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.2．（24-25高三上·北京·期中）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）.(1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）；(2)若，且对任意的，都有，求的最大值；(3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值.题型二：函数与导数的新定义问题（23-24高三上·北京·月考）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其