离散型随机变量的均值（课件）数学人教A版选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值

第七章

随机变量及其分布人教A版选择性必修第三册·高二章节导读条件概率与全概率公式条件概率全概率公式随机变量离散型随机变量分布列均值和方差二项分布超几何分布连续型随机变量正态分布学

习

目

标123理解离散型随机变量均值的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值，提升数学抽象和数学运算的核心素养掌握离散型随机变量均值的性质，并能简单应用能利用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题，提升数学建模的核心素养知识回顾一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，简称分布列.1.离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:2.离散型随机变量的分布列的性质新知导入

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.

因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.新知探究问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为

甲n次射箭射中的平均环数为新知探究当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.定义新知随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.权数加权平均数思考

随机变量的均值有何作用？典例分析例1

在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1，不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布，X的均值反映了该运动员罚球１次的平均得分水平．解：由题意得，X的分布列为即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.新知探究思考1如果随机变量

X

服从两点分布，那么它的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，分布列如下表：那么，随机变量

X的均值为：新知探究思考2根据例1你是否能总结出求离散型随机变量的均值的步骤？求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).典例分析例2

抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.分析：先求出X的分布列，再根据定义计算

X的均值．解：由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：即点数X的均值是3.5.所以X的分布列为：X123456P新知探究观察

掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?可以发现：

在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数

X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的．①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.新知探究问题3

如果X是一个离散型随机变量,X加一个常数或乘一个常数后,其均值会怎样变化?即E(X＋b)和E(aX)(其中a,b为常数)分别与E(X)有怎样的关系?设X的分布列为根据随机变量均值的定义，类似地，一般地，下面的结论成立：典例分析例3

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.

规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金．因此

X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列．典例分析解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值为典例分析变式

如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金的均值最大?同理

当按A,C,B的顺序时

当按B,A,C的顺序时当按B,C,A的顺序时当按C,B,A的顺序时当按C,A,B的顺序时E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=2112E(X)=1872，E(X)=1904.当按A,B,C的顺序时E(X)=2336例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.典例分析例4根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：

方案1:运走设备，搬运费为3800元。

方案2:建围墙,建设费为2000元,但围墙只能挡住小洪水.

方案3:不采取措施，希望不发生洪水.

工地的领导该如何决策呢?典例分析分析：决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。典例分析解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3.采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此采用方案3，有因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.新知探究思考

如何辩证的理解该题结论？值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．用期望做决策

用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常见，如股票投资决策、某种试验的决策等.巩固练习课本66页解：1.已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).巩固练习课本67页解：2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得－1分,求得分X的均值.巩固练习课本67页解：3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为甲机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义.由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.离散型随机变量的均值题型一题型探究

A

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离散型随机变量的均值题型一题型探究

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离散型随机变量均值的性质题型二题型探究

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离散型随机变量均值的性质题型二题型探究

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离散型随机变量均值的性质题型二题型探究提分笔记

离散型随机变量均值的简单实际应用题型三题型探究

(1)分别求出甲、乙两人被录用为志愿者的概率；

离散型随机变量均值的简单实际应用题型三题型探究

012

离散型随机变量均值的简单实际应用