专题2.6 三角函数与解三角形跨模块综合卷-2026届高三数学二轮复习

专题2.6三角函数与解三角形跨模块综合卷-2026届高三数学二轮复习一、选择题1．（2024高三上·桃源月考）已知向量a=cosθ,sinθ，bA．13 B．35 C．45 2．（2019高三上·广东期末）已知函数f(x)=sinx+3cosx，x∈R，先将f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图像关于y轴对称，则θA． B．π3 C． D．3．（2025·湖州模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知A,B,C成等差数列，a,c,43bA．14 B．12 C．33 4．（2022·马鞍山模拟）法国数学家傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=Asinωx(A，ω≠0)之和，若某一乐声的数学表达式为①f(x)的一个周期为2π；②f(x)的最小值为－22；③f(x)图像的一个对称中心为（π其中所有正确结论的编号为（）A．①③ B．①② C．②③ D．①②④5．（2023高三下·潮南开学考）已知角A为△ABC中一个内角，如果适当排列sinA，cosA，tanA的顺序，可使它们成为一个等比数列，那么角A的大小属于区间（）A．(0，π4) B．(π4，6．（2025·枣庄模拟）已知函数fx=sinωx-3cosωx+3ω>0在区间A．143,203 B．4,163 C 7．（2021高三上·深圳月考）将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若对任意的x∈R均有g(x)≥g(π6A．π2 B．π3 C．π4 8．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα=A．20cm B．202cm C．203cm二、多项选择题9．（2023高三下·杭州模拟）已知向量m=(sinx，-1)A．f(x)在(0，π)上有B．f(x)在(0，C．f(D．直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的一条切线10．（2024高三上·四川模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的是（）A．aB．a1+a，b1+b，C．若a3+bD．若a，b，c均为有理数，则cosA-B11．（2021高三上·丹东期末）函数f(x)=sin(ωx-πA．ω的取值范围是[B．f(x)C．f(x)在(D．f(x)在(三、填空题12．（2023高三上·烟台期末）已知向量a=(sinθ，cosθ)，b=(3，1)13．（2024高三上·广东月考）已知α，β∈0,π3，且sin(2α+β)+2sin2α14．（2021高三上·月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A-C=π2，a，b，c成等差数列，则cosB的值为四、解答题15．（2024高三上·东台月考）已知向量m=3sinωx,sinωx，n=cosωx,（1）若x∈0,5π12（2）将fx的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m（m>0）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=cosx16．（2026高三上·广东期末）已知角A,B,C是△ABC的内角，a, b, c分别是其对边长，向量m=sinA2, （1）求角A的大小；（2））若a=2, cosB=13，求17．（2024高三上·深圳月考）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）时刻：x（时）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根据以上数据，可以用函数y=Asinωx+φ（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．18．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数f(x)＝32sin2x－12cos2x（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；（2）若f(α)＝25，α∈π3,19．（2024高三上·广州月考）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题设可知，2cos所以，sinθ+故选：B.【分析】由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出sinθ+cos2．【答案】C【解析】【解答】因f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的13后所得函数的解析式为g(x)=2sin(3x+π3)，y=g(x)图像在y轴左侧的第一条对称轴x=-5π18故答案为：C.【分析】根据辅助角公式，写出f（x）的表达式，结合图象变换，即可求出相应的最小值.3．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，因为A,B,C成等差数列，所以2B=A+C，又因为A+B+C=π，所以B=π又因为a,c,43b成等比数列，设其公比为q，所以c=qa由正弦定理可得asin整理可得sinA=2q又因为sin2A+cos整理可得q-23q3+5q2+4+q-22=0，解得故答案为：D.【分析】由A,B,C成等差数列可得B=π3，再由a,c,43b成等比数列，设公比为q，可得c=qa，b=3q2a4，由正弦定理可得sinA=4．【答案】D【解析】【解答】因为f(x+2π)=3所以2π是f(x)f(x)=3令t=sinx∈[-1，1]，则令h'(t)>0，解得-22<t<22所以h（t）在区间[－1，－22）和区间（22，在区间（－22，2当t=-22时，h（t）取得极小值h(-2故h(t)min=h(-由于f(2π即f(2π3-x)≠-f(x)，所以(π3，0)当x∈[0，π]时，由h'(t)>0由h'(t)<0综合复合函数的单调性，所以f(x)在区间[0，π4），（在区间（π4，π2），（3π4，π]故答案为：D．

【分析】对于①，由周期的定义易判断；

对于②，化简得到f(x)=32sinx-sin对于③，由于f(2π3-x)=对于④，由③结合h(t)的单调性即可判断。5．【答案】A【解析】【解答】角A为△ABC中一个内角，0<A<π，若sinA是等比中项，即sin2A=cosA⋅若cosA是等比中项，即cos2A=cosA=tan2A>0若tanA是等比中项，即tan2A=tanA=cos综上有A∈故答案为：A

【分析】由给定条件分情况建立关系，再结合同角公式及函数值的范围即可作答.6．【答案】D【解析】【解答】解：对f(x)=sinωx-3cos令f(x)=0，则2sin(ωx-π3)+根据正弦函数的性质，

所以ωx-π3=2kπ+4π3或ωx-π3因为x∈0,π2当k=0时，x1=5π当k=1时，x3=2π+函数y=sin(ωx-π因为函数f(x)在区间[0,π2]上有且仅有3个零点，

则需满足11π3ω>所以，实数ω的取值范围是[4,22故答案为：D．

【分析】先利用辅助角公式将函数f(x)化简为Asin(ωx+φ)+k的形式，再根据x的取值范围求出ωx-π3的取值范围，再结合正弦型函数的图象与性质，从而得出函数f(x)在给定区间上有且仅有7．【答案】A【解析】【解答】将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移m(m>0)个位长度，得到函数再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得函数g(x)的图象，所以g(x)=sin(x-2m+由对任意的x∈R均有g(x)≥g(π6)成立，所以g(x)在所以有π6-2m+π3=2kπ-π2(k∈Z)⇒m=-kπ+所以m的最小值为π2故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，从而得出函数g(x)的图象，进而求出函数g(x)的解析式，由对任意的x∈R均有g(x)≥g(π6)成立，所以g(x)在x=π6时取得最小值，进而求出m=-kπ+8．【答案】D【解析】【解答】由题图（2）得，圆形木板的直径为10设截得的四边形木板为ABCD，设∠A=α，AB=c，BD=a，AD=b，BC=n，CD=m，如下图所示.由cosα=35且0<α<π在△ABD中，由正弦定理得asinα=5在△ABD中，由余弦定理，得a2所以，80=b即(b+c)2≤400，可得0<b+c≤20，当且仅当b=c=10在△BCD中，∠BCD=π-α，由余弦定理可得80==(m+n)即(m+n)2≤100，即0<m+n≤10，当且仅当因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.故答案为：D.

【分析】由题图（2）得，圆形木板的直径为55，设截得的四边形木板为ABCD，设∠A=α，AB=c，BD=a，AD=b，BC=n，CD=m，在△ABD中，由正弦定理得a=45，在△ABD中，由余弦定理，得80=9．【答案】B,C,D【解析】【解答】由题知f(x)=m对于A，当x∈(0，π)时，令f(x)=0，则sin(2x-π4)=22，则2x-π4故f(x)在(0，π)上有2个零点，对于B，当x∈(0，π4又y=sinx在区间AB⊥上单调递增，故f(x)在(0，π4对于C，f(π8+x)+f(对于D，f'(x)=2又f(0)=2故在(0，-1)处的切线方程为y+1=x-0，即x-y-1=0，D故答案为：BCD.

【分析】利用向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式化简可得f(x)=22sin(2x-π4)-1210．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，由于a-b<c,b-c<a,a-c<b，

平方可得a2+b2-2bc<c2对于B，取a=b=c，则a1+a，b1+b，c1+c对于C，由a3+b3=c3可知c>a,c>b故C为锐角，可得△ABC为锐角三角形，故C正确；对于D，若a，b，c均为有理数，则a2则cosB=c2+a2-b22ac为有理数，过C作CE⊥AB，故∠DCA=∠A-∠B，由于AD=2BE-AB=2BC⋅cos故AD为有理数，所以AD,AC=b,CD=a均为有理数，因此cosA-B=故答案为：ACD.【分析】根据三角形三边的关系，由平方法和不等式的基本性质，从而判断出选项A；利用a=b=c进而三角形的判断方法，则可判断选项B；利用余弦定理和不等式的基本性质以及三角形中边角关系，再根据角C是三角形中最大内角，从而判断出三角形的形状，则判断出选项C；利用余弦定理和有理数的定义，结合图形关系，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】令ωx-π5=kπ，因为f(x)在[0，2π]有且仅有所以4π+π5ω≤2π5π+因为x∈(0，π4)，则ωx-π5∈(-f(因为f(x)在[0，2π]有且仅有所以2π所对应的位置应该在x轴的第5和第6个零点之间，所以在这段范围内f(x)在(0，2π)有2或3故答案为：ABD

【分析】令ωx-π5=kπ，k∈Z，解得x=kπ+π5ω，k∈Z，再利用已知条件函数f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点结合零点存在性定理，得出ω12．【答案】3【解析】【解答】已知向量a=(sinθ，cosθ)，b∴sin故答案为：3

【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，以及三角函数的恒等变换，即可求解出sin213．【答案】234【解析】【解答】解：sin(2α+β)+2sin2αcosβ=3sinβ，则3则tanβ=因为α∈0,π3，所以tanα∈(0,3)，则2tanα+1tanα≥22，

当且仅当tan故答案为：234【分析】先利用正弦的和差公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简原式得到tanβ=314．【答案】3【解析】【解答】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A-C=π2∴A=π-B-C=π-B-(A-π2∴A=∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即2=sinA-∴4sinB∴sinB2∴cosB=1-2sin故答案为：34

【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，从而得出A=3π4-B2，再利用a，b，c成等差数列结合等差中项公式，得出15．【答案】（1）解：f=sin2ωx-π6+12，因为fx最小正周期为π，所以2ω=2πT=2，解得ω=1，所以fx=sin2x-（2）解：向下平移12个单位长度得y=sin2x-π6，向左平移m（m>0）个单位长度得y=sin2x+m-π6=sin2x+2m-π6，横坐标变为原来的2倍得y=sinx+2m-π6.因为【解析】【分析】围绕向量数量积、三角恒等变换以及三角函数的图象变换展开.(1)需先通过向量运算和三角公式化简函数，再结合周期求出ω，最后用整体法确定值域；

(2)要依据三角函数图象的平移、伸缩变换规则，逐步推导变换后的函数，再结合三角函数的等价关系求解m的最小值.（1）fx因为fx最小正周期为π，所以2ω=2πT所以fx因为x∈0,5π12则sin2x-所以fx所以当x∈0,5π12时，f（2）向下平移12个单位长度得y=向左平移m（m>0）个单位长度得y=sin横坐标变为原来的2倍得y=sin因为y=cos所以要使得y=sinx+2m-π则2m-π6=π2+2kπ当k=0时，实数m取得最小值π316．【答案】（1）解：由m⊥n，

可得：则3sinA-cos由0<A<π，可得-π则A-π6=（2）解：在△ABC中，A=π3, a=2, cos由正弦定理知asinA=bsin则S=8【解析】【分析】（1）由向量垂直的数量积表示，从而可得3sinA-cosA-1=0，再利用辅助角公式和三角形中角A（2）利用正弦定理求出b的值，再结合两角差的正弦公式和三角形的面积公式求解.（1）由m⊥m⋅即3sinA-cos由0<A<π可得-π因此可得A-π所以A=π（2）在△ABC中，A=π由正弦定理知asinAS=817．【答案】（1）解：由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6，则A=7.4-2.6由表格可知T=12.4-0=12.4，所以ω=2所以y=2.4sin将点(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sin所以5π31×3.1+φ=因为|φ|<π2，所以所以y=2.4sin（2）解：货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米，所以进港条件为y≥6.2，令2.4sin5π所以π6解得3130因为0≤x<24，所以k=0时，3130k=1时，403因为3130（时）=1时2分，316（时）=5时1040330（时）=13时26分，（时）=17时34分因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港；或在下午13时26分进港，下午17时34分出港.则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.【解析】【分析】（1）由表数据，根据公式A=ymax-ymin2,b=ymax（2）由题意可知进港条件为y≥6.2，解不等式即可.（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6，所以A=7.4-2.6由表格可知T=12.4-0=12.4，所以ω=2所以y=2.4sin将点(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sin所以5π解得φ=0+2kπ因为|φ|<π2，所以所以y=2.4sin（2）货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米，所以进港条件为y≥6.2.令2.4sin即sin5所以π6解得3130因为0≤x<24，所以k=0时，3130k=1时，403因为3130（时）=1时2分，316（时）=5时1040330（时）=13时26分，（时）=17时34分因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港；或在下午13时26分进港，下午17时34分出港.则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.18．【答案】解：（1）f(x)＝32sin2x－12cos2x＋1＝sin2x-π6＋1，由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，又因为x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π3，5π6.

（2）由（1）知f(x)＝sin2x-π6＋1，

又因为f(α)＝25，所以sin2α-π6＝－35，

因为α∈π3,5π6，所以2α－π6∈π2,3π2，

因为sin2α-π6＝－35＜0，

所以cos2α-π【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ化简三角函数解析式f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式π2＋2kπ≤2x（2）由（1）求得sin2α-π6＝－35，再由角的范围求得cos2α-π6，观察角之间的关系凑角sin2α1