小学三年级数学下册《质检A卷综合应用：优化购物计划》教案

小学三年级数学下册《质检A卷综合应用：优化购物计划》教案

一、教学背景与设计理念

（一）授课年级：小学三年级

（二）课程性质：基于第二次质量检测A卷“综合应用”板块的试卷讲评与拓展提升课

（三）【核心理念】本节课严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“综合与实践”领域的教学建议，摒弃传统“对答案、讲错题”的单一模式，转而以“发现问题、分析问题、解决问题”为逻辑主线。旨在通过对A卷中典型综合应用题的深度解构与再建构，引导学生从“解题”走向“解决问题”，从“知识技能”走向“核心素养”。课程设计强调真实情境的创设、数学模型的建构以及跨学科知识的有机融合，致力于培养学生的模型意识、应用意识和创新意识。

二、教学目标

（一）【基础】知识与技能：学生能够准确分析综合应用题中的数量关系，熟练运用两位数乘两位数、除数是一位数的除法以及加减法解决生活中的实际问题。能够读懂表格、图示中的数学信息，并能够根据实际需求，灵活选择和使用信息。

（二）【重要】过程与方法：通过小组合作、方案设计、成本核算等环节，经历“阅读理解—分析关系—列式解答—回顾反思”的完整问题解决过程。培养学生的信息筛选能力、逻辑推理能力和策略优化能力。

（三）【非常重要】情感态度与价值观：在解决真实问题的过程中，体会数学知识之间、数学与生活之间的密切联系，感受数学的实用价值。通过设计合理的购物或租车方案，初步形成节约资源、合理消费的意识，养成缜密思考、规范作答的良好学习习惯。

三、教学重难点

（一）【重点】能够准确提炼题目中的关键数学信息，厘清复杂情境下的数量关系（如：单价、数量、总价的关系，倍数关系，包含关系等），并正确列式解答。

（二）【难点】【高频考点】能够结合具体的生活情境（如：租车问题、购物满减问题、方案设计问题），综合考虑“最省钱”或“最合理”的因素，通过列举、比较等方法，寻找最优解决方案，并清晰地表达自己的思考过程。

四、教学准备

（一）教师：多媒体课件（整合A卷典型原题、变式训练题、生活实景图）、小组合作学习任务单、评价量规表。

（二）学生：已完成的三年级下册数学第二次质检A卷、红笔、直尺、草稿本。

五、教学实施过程

（一）情境导入，聚焦问题（约5分钟）

1.呈现数据，引发思考：上课伊始，教师利用多媒体课件展示本次A卷的整体答题情况雷达图，特别放大“综合应用”板块的得分率数据。教师以充满激励的语气说道：“同学们，在本次质检中，大家的基础知识掌握得非常扎实，计算部分正确率很高。但是，我们也发现，在‘综合应用’这个挑战区，遇到了一些‘拦路虎’。很多同学题目读懂了，算式列出来了，可最后的结果却‘差一点’，或者方案设计得不够完美。这‘差一点’的背后，究竟差在哪里呢？今天，我们就一起化身‘数学优化师’，专门攻克A卷中的综合应用题，看看如何把生活中的问题解决得既对又好，甚至更省钱、更合理。”

2.揭示课题，明确目标：教师板书课题：《质检A卷综合应用：优化购物计划》。并简要说明本节课的学习目标：不是简单订正答案，而是学习如何像精明的消费者和优秀的设计师一样，用数学的眼光分析问题，用数学的思维优化方案。

（二）典例剖析，建构模型（约15分钟）——【非常重要】

1.原题重现，暴露思维：课件出示A卷中错误率最高的一道综合应用题（示例原题：）“阳光小学三年级的238名同学要去参观科技馆。需租车前往，已知大客车每辆限乘42人，租金300元；小客车每辆限乘18人，租金200元。请你设计一种最省钱的租车方案，并计算出最少需要多少钱？”

教师首先请做对的学生分享解题思路，再请做错的学生谈谈当时是怎么想的，在哪里遇到了困难。通过生生互动，暴露出核心问题：①只考虑了“能坐下”，没考虑“空位最少”与“省钱”的关系；②方案列举不全，遗漏了最优解；③计算粗心，总钱数算错。

2.策略引导，模型建构：

（1）阅读理解，明确任务：师生共同圈画关键词：“238名同学”（总人数）、“限乘”（座位数）、“最省钱”（优化目标）。明确任务是在满足座位数≥238人的前提下，寻找总租金最低的方案。

（2）分析关系，提出假设：教师引导学生思考：“要想最省钱，我们通常希望尽量租哪种车？”学生根据生活经验回答：“大客车，因为人均便宜。”教师追问：“那是不是全部租大客车就一定最省钱呢？”引发认知冲突，引导学生认识到必须考虑“空位”问题。

（3）有序思考，列表枚举：【基础】教师示范并引导学生采用“列表法”有序思考。从全部租大客车开始，逐步减少大客车数量，增加小客车数量，直到全部租小客车。师生共同完成表格填写：

大客车数量/辆 小客车数量/辆 可坐总人数/人 空位/个 总租金/元 是否符合要求

5（238÷42≈5.67） 0 42×5=210 不够（28人） 1500 否

6 0 252 14 1800 是

5 1 210+18=228 不够（10人） 1700 否

5 2 210+36=246 8 1900 是

4 3 168+54=222 不够（16人） 1800 否

4 4 168+72=240 2 2000 是

… … … … … …

（4）观察比较，发现最优：引导学生观察表格中符合要求的方案，比较租金。发现租6辆大客车（空14座，租金1800元）和租4辆大客车4辆小客车（空2座，租金2000元）以及租5辆大客车2辆小客车（空8座，租金1900元）等方案中，通过对比，发现1800元是最低的吗？再继续列举到租3大7小等情况，最终锁定最优方案为租5辆大客车和2辆小客车（可坐246人，租金1900元）？不，通过完整列举，会发现租5大2小租金1900元，高于6大的1800元。那么6大的1800元是否就是最优？引导学生发现，6大空位14个，是否可以考虑用1辆小客车替换1辆大客车，同时减少空位？实际上，5大2小比6大多了1辆小客，租金反而贵了100元，但空位少了。再试试4大4小，空位仅2个，但租金2000元更贵。最终确认：租6辆大客车（1800元）和租4大4小（2000元）之间，1800元是最低的。但有没有可能用3大7小？3大7小可坐126+126=252人？不对，7小是126人，加上3大126人，共252人，租金900+1400=2300元，更贵。所以，通过完整有序的列表，确保不遗漏，最终找到最优方案是租6辆大客车，总租金1800元。如果学生能找到5大2小（1900元）并认为它空位少更好，教师要引导对比价格，强调“最省钱”的核心目标是总租金最低，在满足座位数的前提下，租金最低的才是最优解。

（5）【难点突破】【高频考点】师生共同总结“租车（船/租）问题”的解题模型：先根据“人均租金”初步判断哪种车更划算，再采用“列表法”有序枚举所有可能的组合，通过计算、比较总租金和空位，找到符合题意且最省钱（或最合理）的方案。最后，一定要写上“答”，并清晰写出最优方案的组成和总价。

（三）变式训练，协作应用（约15分钟）——【重要】

1.情境迁移，任务驱动：教师呈现A卷中另一道“购物优惠”类综合应用题（示例变式题：）“文具店举行促销活动。原价12元/支的钢笔，现在推出两种优惠方案：方案A：买5支送1支；方案B：满10支以上（含10支），每支降价2元。三（1）班要买40支钢笔作为奖品，请问选择哪种方案更省钱？一共需要多少元？”

2.小组合作，自主探究：教师将学生分成4人一组，发放小组合作学习任务单。任务单包含以下引导步骤：

（1）信息整理：明确促销规则，圈出“买5送1”和“满10支以上每支降价2元”的关键信息。

（2）方案A计算：思考“买5送1”意味着实际得到6支需要付多少钱？要得到40支，需要付几个5支的钱？引导学生计算：40÷（5+1）=6（组）……4（支），即付6个5支的钱（30支）加上剩余的4支原价的钱。算式：5×6=30（支），30+4=34（支）需要付钱？不对，买5送1，送1支不算钱。所以，每组（6支）实际付款5支的钱：12×5=60（元）。有6组共36支，付款60×6=360（元）。还剩40-36=4支，按原价12×4=48（元）。方案A总价：360+48=408（元）。

（3）方案B计算：每支降价2元，即现价12-2=10（元）。需要40支，总价10×40=400（元）。

（4）比较决策：408元＞400元，所以方案B更省钱。

（5）深度追问：如果班级要买的是38支钢笔呢？哪种方案更划算？为什么？（引导学生讨论，发现当数量不是5+1的倍数时，需要具体分析剩余部分的数量，可能方案A的优惠力度会发生变化，甚至不如方案B。）

3.成果展示，思维碰撞：请两个小组的代表上台展示他们的计算过程和最终结论。重点让其他小组点评：在计算方案A时，如何处理余数部分？有没有更简便的方法？通过不同方案的对比，深化对“买几送几”类问题的理解，认识到优化问题必须结合具体数量进行动态分析。

（四）拓展提升，迁移创新（约5分钟）——【热点】

1.跨学科视野拓展：教师出示一个融合了统计与规划的真实问题（可视为A卷最后一题的延伸）：“为了庆祝六一儿童节，班级准备举办联欢会。生活委员带了200元去购买零食。他先买了3千克苹果，每千克12元。剩下的钱打算买两种饮料：A种饮料5元/瓶，B种饮料3元/瓶。如果要求买两种饮料的总瓶数最多，应该怎样买？最多能买多少瓶？”

2.引导分析，建立关联：

（1）第一步：计算剩余经费。200-3×12=164（元）。

（2）第二步：明确目标。在总价不超过164元的前提下，买A、B两种饮料，要求“总瓶数最多”。

（3）第三步：策略分析。教师引导学生思考：“要想瓶数最多，我们应该尽量多买哪种饮料？”学生不难发现，B种饮料便宜，瓶数会更多。教师追问：“那是不是全部买B种就行？”学生计算164÷3=54（瓶）……2（元），可以买54瓶B种，花162元，剩2元。但题目要求“买两种饮料”，所以必须A、B都买。

（4）第四步：方案优化。在必须买两种的前提下，如何让瓶数最多？核心策略是：在总价固定的情况下，尽可能多买便宜的B种，但至少买1瓶A种。尝试从买1瓶A开始推算：

买1瓶A：花5元，剩159元，可买B：159÷3=53（瓶），总瓶数1+53=54瓶，总花费5+159=164元，刚好花完。

买2瓶A：花10元，剩154元，可买B：154÷3=51（瓶）……1元，总瓶数2+51=53瓶，总花费10+153=163元，剩1元。

比较发现，买1瓶A和53瓶B总瓶数最多，为54瓶。

3.总结提炼：教师小结，这种“固定总价求最大数量”的问题，本质上是一个“极值问题”。其核心思想是“价值最大化”——让每一分钱都发挥最大效用，即优先购买性价比高（单价低）的商品，同时满足所有约束条件。

（五）总结评价，布置任务（约5分钟）

1.课堂总结，升华认识：

（1）知识层面：今天我们重点攻克了A卷中的哪几类综合应用题？（租车问题、购物优惠问题、混合购买极值问题）。

（2）方法层面：【非常重要】我们学会了用什么“法宝”来解决这类问题？（列表法、枚举法、比较法）。

（3）素养层面：教师强调，数学学习不仅仅是算出1+1=2，更重要的是在面对纷繁复杂的现实世界时，能够像今天一样，冷静地分析信息、有序地思考方案、科学地做出决策。这就是数学赋予我们的智慧和力量。

2.分层作业，巩固提升：

（1）【基础】：订正A卷综合应用部分的全部错题，并旁边用红笔简单写出错因和正确解题思路。

（2）【重要】：完成教师下发的《优化问题专项练习单》，包含2道租车类问题和1道购物优惠类问题。

（3）【拓展】：观察生活中的购物现象（如超市的“加1元多1件”、“第二件半价”等），选择一种优惠方式，编一道数学应用题，并尝试解答，下节课分享给同学。

六、板书设计

（主板书）

三年级下册数学第二次质检A卷综合应用——