几何隐圆模型之定边对定角模型-初中-数学-教学设计

几何隐圆模型之定边对定角模型王宁西安滨河学校一、模型分析：如图：∠PdPP）当∠C<90°时，点C的轨迹为优弧当∠C=90°时，点C的轨迹为圆O当∠C>90°时，点C的轨迹为劣弧结论：当AC=BC时，点C到AB的距离最大，且此时△CAB的面积最大设计意图：有些同学对定边定角这个名词和熟悉，但是不交接该模型的本质，所以由教师讲解，给学生一个清晰准确的定义，便于学生进一步的识别该模型。二、基础构造：如图，已知矩形ABCD．（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．设计意图：以矩形为载体，让学生进一步体会定边和定角在圆中充当的是弦与圆周角的角色，以及当定角是锐角和直角和钝角时，点的运动轨迹分别是劣弧、半圆和优弧。三、例题引领：例1、在正方形ABCD中，AD＝2，E，F分别为边DC，CB上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为.例2、如图，在边长为的等边△ABC中，点E为AC上一点，AE=CD，连接BE、AD交于点P，则CP的最小值为.例3、如图中为△ABC内一动点为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝弧CP，则AD的最小值为例4、PABPB的最大面积是 .设计意图：相比于上一环节的题目，这一环节题目中的定角都需要学生先去从图形中挖掘出来，再将问题转化成点圆最值或面积最值问题。通过以上4个题目的练习和讲解，能让学生对模型有更深层次的理解。四、迁移提升：21、如图,在等腰中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=4 ,点D是AC边上一动点,连接BD，以AD2为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为 .2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是BC边的中点，AD=，求AB+AC的最大值，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，DAPCDCD的最小值为 设计意图：该环节中给学生渗透了定角定中线模型的做法，通过倍长中线的辅助线做法，最后再转化问定边定角模型。五、综合强化：1、【问题提出】（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为；【问题探究】（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；【问题解决】（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．2．问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，若S△BCE＝4．则矩形ABCD的面积为．问题探究（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC边上的中线，AD＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决（3）为迎接十四运，园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场地供市民观赏．如图③所示，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一点且DE＝3AE，∠BEC＝60°，AB＝6米．为了种植更多的鲜花，要求四边形ABCD的面积尽可能大．请问四边形ABCD面积是否存在最大值？如果存在，请计算四边形ABCD面积的最大值；如果不存在，请说明理由．设计意图：综合实践能力的提升对学优生来说至关重要，