初中数学九年级下册《平面直角坐标系中的位似变换》教案 -2

初中数学九年级下册《平面直角坐标系中的位似变换》教案

一、课标要求与前沿理念分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求：学生应“理解相似图形的概念，探索相似图形的性质，知道相似多边形对应角相等、对应边成比例；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应图形与原图形是位似的。”本课时正是这一要求的具体化与深化，属于“图形的变化”主题中的核心内容。

当代数学教育强调核心素养导向，本课设计将着力发展学生的几何直观、空间观念、推理能力、模型观念以及跨学科应用意识。位似变换不仅是初中相似知识体系的收官与升华，更是连接初等几何与解析几何、计算机图形学、视觉艺术、地理信息技术等多个领域的重要桥梁。本设计将跳出单纯的数学技巧训练，着力构建一个以数学思维为主线、以技术工具为支撑、以真实问题为情境的深度学习课堂，体现当前“素养为本、综合育人”的课改最高理念。

二、教材分析与整合重构

1.地位与作用：

本课是人教版九年级下册第二十七章“相似”中第3节“位似”的第二课时。第一课时已从几何图形角度定义了位似，学习了利用位似中心进行图形放大与缩小的作图方法。本课时则将位似置于平面直角坐标系这一“数”的背景下，探究位似图形的坐标变换规律，实现了从“形”到“数”的完美结合。这既是对相似与位似理论的深化，也是对“图形与坐标”知识的综合应用，为后续高中学习函数图像变换、矩阵变换乃至大学的线性代数初步思想埋下伏笔。

2.重构思路：

教材例题直接给出以原点为位似中心的坐标规律，然后进行应用。这种处理方式效率高，但思维爬坡不足，容易陷入公式记忆。作为顶尖设计，本教案将进行探究式重构：创设源于真实科技（如GPS地图缩放、数字图像处理）的问题情境，引导学生像数学家一样，经历“猜想→实验（作图/软件验证）→归纳→证明→应用→拓展”的完整探究过程。同时，将位似中心从原点推广到坐标系内任意点，并初步触及“变换矩阵”的启蒙思想，构建更具弹性和生长性的知识结构。

三、学情分析与应对策略

认知基础：

九年级下学期的学生已经熟练掌握了平面直角坐标系、比例、相似三角形的判定与性质、图形变换（平移、轴对称、旋转）等知识，并初步具备了数形结合的思想。上一课时学习了位似的图形定义与作图。

认知障碍点预测：

1.思维定势：学生易将位似变换与之前的平移、旋转等全等变换混淆，难以理解“形状相同但大小可异”的变换特性在坐标系中的表现。

2.理解难点：“以原点为位似中心的位似变换中，对应点坐标满足(kx,ky)

或(-kx,-ky)

”这一规律，学生容易机械记忆，但对“k”的几何意义（相似比与方向）、“±”号决定的方向关系（同侧与异侧）理解不深。

3.迁移困难：从特殊（原点为位似中心）到一般（任意点为位似中心）的坐标规律归纳与推导存在逻辑上的挑战。

应对策略：

1.情境驱动，意义建构：使用动态几何软件（如GeoGebra）创设可交互的位似变换情境，让学生在“拖动→观察→记录→分析”中直观感知坐标变化规律，化解抽象理解难题。

2.分层探究，搭建脚手架：设计由浅入深的探究阶梯：先探究同侧位似于原点，再探究异侧位似于原点，最后挑战位似中心为任意点P(m,n)。每一步都提供相应的学习工具单和思维引导问题。

3.合作学习，思维碰撞：组建异质小组，在关键探究环节进行合作讨论，通过观点交锋深化对规律本质的理解。

四、教学目标

1.知识与技能：

1.理解平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形对应点坐标之间的数量关系。

2.能根据相似比和方向，熟练写出以原点为位似中心的位似变换前后点的坐标。

3.能利用坐标规律在坐标系中画出已知图形的位似图形。

4.初步了解以任意点为位似中心的坐标变换解决方法（坐标平移思想）。

2.过程与方法：

1.经历从具体到抽象、从特殊到一般的探索过程，通过作图、测量、计算、猜想、验证等活动，归纳位似变换的坐标规律，发展归纳概括能力。

2.体验运用动态几何软件进行数学探究的过程，增强信息技术与数学学习融合的能力。

3.体会“转化”数学思想，将位似中心为任意点的问题转化为位似中心为原点的基本问题。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心，培养严谨求实的科学态度。

2.感受位似变换在数字地图、图像缩放、艺术设计等现实领域的广泛应用，体会数学的工具价值和人文内涵，增强跨学科学习兴趣。

3.在小组合作中学会倾听、表达与协作，培养团队精神。

五、教学重难点

1.教学重点：探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的坐标规律。

2.教学难点：

1.3.理解位似比k的符号与位似图形位置（同侧/异侧）的关系。

2.4.掌握位似中心不在原点时的坐标变换规律探究思路（坐标系的平移转化思想）。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含GeoGebra动态演示文件、真实应用案例视频）、探究学习任务单、课堂练习与分层作业设计。

2.学生准备：复习位似的图形定义与作图方法，直尺、坐标方格纸。

3.环境准备：具备多媒体交互功能的智慧教室，学生最好能两人一机或小组共用电脑安装GeoGebra。

七、教学过程设计（详细展开）

（一）情境激趣，提出问题（预计用时：8分钟）

1.跨学科情境导入：

播放一段简短视频，展示以下三个场景：

1.场景A（地理信息技术）：手机导航地图从城市级视图（显示主干道）平滑缩放到街区级视图（显示小巷、店铺）。

2.场景B（数字艺术）：在Photoshop软件中，设计师用一个“自由变换”工具，将一张Logo图案等比例放大。

3.场景C（工程制图）：将一张复杂的机械零件图纸按1:5的比例缩小，打印到A4纸上。

教师提问：

“同学们，在刚才的场景中，图形发生了怎样的变化？这种变化与我们上一节课所学的哪种图形变换密切相关？”

（引导学生回答：图形放大或缩小，形状不变，是位似变换。）

2.聚焦数学问题：

“在信息技术中，这些缩放操作背后是计算机对图形上无数个‘点’的坐标进行快速计算的结果。例如，地图缩放的本质，就是地图上每个地点的坐标按一定规则进行变换。那么，一个核心的数学问题产生了：”

【板书核心问题】

在平面直角坐标系中，一个图形经过位似变换得到一个新图形，它们的对应点坐标之间存在着怎样具体的数量关系？

设计意图：从高科技和跨学科的真实应用场景切入，瞬间提升学习的时代感和必要性，激发学生强烈的探究欲望。将抽象的数学问题锚定在具体的technologicalcon（技术情境）中，体现STEM教育理念。

（二）活动探究，构建新知（预计用时：25分钟）

这是本节课的核心环节，分为三个层层递进的探究阶梯。

探究阶梯一：同侧位似于原点(k>0)

1.任务发布：在GeoGebra中，已预先绘制三角形ABC，其顶点坐标为A(2,1)，B(4,3)，C(1,4)。同时设定一个滑动条k（k>0），连接原点O与各顶点的射线已作出。请拖动滑动条k（例如分别取k=2，0.5），观察并记录三角形A’B’C’的顶点坐标。

2.学生活动：两人一组，操作软件，观察现象，填写任务单表格。

原顶点坐标

k=2时对应点坐标

k=0.5时对应点坐标

A(2,1)

A’(,)

A’’(,)

B(4,3)

B’(,)

B’’(,)

C(1,4)

C’(,)

C’’(,)

1.引导发现：

1.2.“比较原坐标与变换后坐标，每一对数字之间有什么倍数关系？”（引导学生发现(x’,y’)=(2x,2y)

或(0.5x,0.5y)

）

2.3.“这个倍数与滑动条k的值有什么关系？”（明确(x’,y’)=(kx,ky)

）

3.4.“此时，新图形与原图形在位似中心O的哪一侧？”（同侧）“k值的范围是？”（k>0）

5.初步归纳（学生口述，教师板书）：

规律1：当以原点O为位似中心，且新图形与原图形在位似中心同侧时，新图形对应点的坐标为原图形对应点坐标的k倍（k>0），即(x,y)→(kx,ky)。

探究阶梯二：异侧位似于原点(k<0)

1.任务升级：现在，将滑动条k的取值范围扩展到k<0。请分别取k=-2，k=-0.5，再次观察并记录三角形A”’B”’C”’的坐标。

2.学生活动：继续操作、记录、对比。

3.冲突与发现：

1.4.“当k为负数时，新图形出现在了哪里？”（在位似中心O的另一侧，即异侧）

2.5.“此时的坐标还满足(kx,ky)

吗？请用具体数据验证。”（学生验证，如A(2,1)→当k=-2时，对应点坐标应为(-4,-2)，软件显示结果一致）

3.6.“k为负值，除了表示图形跑到另一侧，从坐标数值上看，还有什么效果？”（引导学生发现，(kx,ky)

中，若k<0，则坐标符号均改变，实现了“关于原点的中心对称”效果，而位似+中心对称正是异侧位似的本质。）

7.二次归纳（教师引导学生完善）：

规律2：当以原点O为位似中心，且新图形与原图形在位似中心异侧时，新图形对应点的坐标仍满足(x,y)→(kx,ky)，但此时k<0。进一步指出，|k|即为相似比，k的符号决定了位似图形相对于位似中心的方向。

探究阶梯三：一般化，位似中心为任意点P(m,n)

1.挑战性问题：“在真实应用中，位似中心未必是坐标原点。例如，我们想以地图上某个地标（对应点P）为中心缩放地图。若位似中心是平面内任意一点P(m,n)，坐标规律又该如何？”

2.思维引导与转化：

1.3.在GeoGebra中新建点P(3,2)，以其为位似中心，对三角形ABC进行位似变换（k=1.5）。

2.4.“直接寻找坐标关系困难吗？我们能否用一个‘魔法’，将复杂问题转化为已经解决过的问题？”

3.5.启发学生回忆坐标系的平移。动画演示：将整个坐标系平移，使点P成为新坐标系的原点O’。

4.6.在新坐标系X’O’Y’中，原图形各顶点坐标变为？(例如A点：原(2,1)，P(3,2)，则A在新系中坐标为(2-3,1-2)=(-1,-1))

5.7.“在新坐标系中，位似中心是原点O’，问题转化为了我们已掌握的情况！”应用规律：A’在新系中坐标为(-1*k,-1*k)=(-1.5,-1.5)。

6.8.最后，再将坐标“平移回去”：A’在原坐标系中坐标为(-1.5+3,-1.5+2)=(1.5,0.5)。与软件显示结果核对一致。

9.模型构建：

师生共同总结出一般公式：

设位似中心为P(m,n)，相似比为|k|，原图形上点(x,y)经过位似变换后对应点(x’,y’)。

其变换公式为：x’=k(x-m)+m;y’=k(y-n)+n.

或表述为：先将点平移使P与原点重合，进行以原点为中心的位似变换，再平移回去。

10.思想升华：

强调“转化与化归”的数学思想——将未知问题（任意中心）转化为已知问题（原点中心）。这是数学乃至科学研究的通用高阶思维。

设计意图：此环节是本节课的灵魂。通过“软件辅助探究-数据归纳猜想-逻辑分析验证-思想方法提炼”的完整科学探究流程，学生不仅获得了知识，更掌握了发现知识的方法。从特殊到一般的探究路径，符合认知规律，有效突破了难点。GeoGebra的动态可视化，将抽象的坐标关系变得直观可操作，极大地促进了意义建构。

（三）剖析辨析，深化理解（预计用时：7分钟）

辨析与讨论：

1.“位似变换的坐标规律(x,y)→(kx,ky)

（以原点为中心）与我们在函数中学过的正比例函数图像有何关联与区别？”（关联：形式类似，都体现比例关系；区别：这里变换的对象是平面上的点，描述的是整个图形的变换；正比例函数描述的是两个变量间的关系。可渗透“变换”观点看函数图像的思想。）

2.“当|k|>1时，图形_____；当0<|k|<1时，图形_____；当k=1或k=-1时，分别是什么变换？”（放大；缩小；k=1是恒等变换，图形不动；k=-1是关于原点的中心对称变换。）

3.【易错点警示】“已知原图形上点A(4,-2)，以原点为位似中心，相似比为2，求其对应点A’的坐标。”（学生易得(8,-4)。追问：“这是唯一的答案吗？”引导学生回忆k的符号决定方向，故答案应有两个：(8,-4)或(-8,4)。强调审题时要看清“同侧位似”还是“异侧位似”，若未说明，则应考虑两种情况。）

设计意图：通过辨析，将新旧知识链接，构建网络化认知结构；通过追问和易错点分析，深化对知识本质的理解，培养学生思维的严谨性和全面性。

（四）例题精讲，示范应用（预计用时：10分钟）

例1（基础应用-画图）：如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-1,2)，B(1,4)，C(3,2)，D(1,0)。以原点O为位似中心，相似比为0.5，画出它的位似图形，使新图形与原图形在原点同侧。并写出新图形各顶点的坐标。

教学流程：

1.学生先独立思考如何绘制。

2.请一名学生阐述方法一：利用坐标规律，先算出A’(-0.5,1)，B’(0.5,2)，C’(1.5,1)，D’(0.5,0)，再描点连线。

3.教师再演示方法二（作图法）：在坐标系中，连接OA、OB…，分别在射线OA、OB…上截取OA’=0.5OA，…，再连接A’B’C’D’。比较两种方法，体会“数”的精确与“形”的直观。

4.规范板书解题步骤。

例2（综合应用-逆向思维）：在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，C(5,1)。若△A’B’C’与△ABC关于原点O位似，且点A’的坐标为(-2,-4)，求：

（1）位似比及△A’B’C’与△ABC的位置关系（同侧/异侧）；

（2）点B’和C’的坐标。

教学流程：

1.引导学生分析：由A(1,2)和A’(-2,-4)，如何求k？利用(-2,-4)=k*(1,2)

，可得k=-2。

2.由k=-2<0，判断为异侧位似，位似比|k|=2。

3.直接应用规律求B’，C’：B’=(-2*3,-2*4)=(-6,-8)；C’=(-2*5,-2*1)=(-10,-2)。

4.变式：若题目不说明“关于原点O位似”，只给出A、A’坐标，能否确定位似中心和位似比？（不能，因为位似中心可能不是原点。需要两个对应点对才能确定一个位似变换。此题为后续学习埋下伏笔。）

设计意图：例1巩固“由数到形”的画图技能；例2训练“由形到数”的逆向推理和计算能力。通过一正一反，一画一算，全面覆盖核心技能的运用。

（五）课堂练习，巩固提升（预计用时：8分钟）

实施分层练习，学生根据自身情况选择完成：

【A组：基础巩固】（全体必做）

1.已知点A(6,8)，以原点O为位似中心，相似比为1/2，点A在同侧的对应点A’坐标是______，在异侧的对应点A’’坐标是______。

2.已知线段AB两端点坐标为A(-2,3)，B(2,1)。以原点为位似中心，相似比为3，得到线段A’B’。若A’B’与AB在同侧，则A’B’=______。（考查坐标规律与两点距离公式结合）

【B组：能力提升】（大部分学生选做）

3.三角形OAB的顶点坐标为O(0,0)，A(2,0)，B(0,4)。若将△OAB放大，使得对应点O’的坐标为(0,0)，A’的坐标为(5,0)，则：

（1）位似中心是____，位似比是____。

（2）点B的对应点B’的坐标为____。

（此题巧妙地位似中心即为原点，但需先通过O、A的对应关系求出位似比k=2.5）

【C组：挑战拓展】（学有余力者选做）

4.（跨学科联系）在计算机图形学中，对一个多边形进行“缩放并平移”的变换常用矩阵表示。对于一个以原点为中心的位似变换，变换矩阵可表示为[[k,0],[0,k]]

。若原有点坐标为列向量[[x],[y]]

，则变换后坐标[[x’],[y’]]=[[k,0],[0,k]]*[[x],[y]]

。请用矩阵乘法验证这与我们得到的规律(x’,y’)=(kx,ky)

是否一致。

5.尝试推导以点P(m,n)为位似中心，相似比为k的位似变换坐标公式，并用此公式重新计算探究三中的例子。

设计意图：分层练习满足不同层次学生需求，让每个人都能获得成功的体验。A组题夯实基础，B组题灵活应用，C组题指向学科前沿和高阶思维，体现了课程的弹性和挑战性。C组第4题引入“变换矩阵”的启蒙思想，建立与线性代数的微弱联系，为有兴趣的学生打开一扇窗。

（六）课堂小结，体系建构（预计用时：5分钟）

不以教师复述为主，而是引导学生进行反思性总结：

“请同学们回顾本节课的探索之旅，用思维导图或关键词云的形式，梳理我们今天学到了什么，以及我们是怎样学到这些知识的。”

预期学生能构建的体系框架：

1.核心知识：

1.2.原点中心位似：(x,y)→(kx,ky)

。k>0同侧，k<0异侧，|k|为相似比。

2.3.任意点P(m,n)中心位似：(x’,y’)=(k(x-m)+m,k(y-n)+n)

或“先平移，后原点变换，再平移回去”。

4.探究方法：观察（软件）→猜想→验证→归纳→证明（解释）→推广。

5.数学思想：数形结合、从特殊到一般、转化与化归（坐标系平移）。

6.应用联系：数字地图、图像处理、工程制图、计算机图形学初步。

教师最后进行点睛升华：“同学们，今天我们不仅找到了坐标系中位似变换的‘密码’，更经历了一次完整的数学发现之旅。位似，这个古老的几何概念，在数与坐标的联姻下，焕发出新的生命力，成为驱动现代数字世界视觉呈现的基础数学原理之一。希望你们能用好这把‘尺子’，去度量更广阔的数学与现实世界。”

（七）布置作业，延伸学习

【必做作业】

1.教材课后习题对应部分。

2.编写一道以任意点为位似中心的位似变换坐标计算题，并给出详细解答过程。

【选做作业】（三选一）

1.实践调查：寻找生活中或你喜欢的电子游戏、APP中运用到位似变换原理的2-3个实例，简要说明其是如何应用的。

2.技术探究：使用GeoGebra或其他绘图软件，创作一幅由基本图形通过多次位似变换（允许结合平移、旋转）构成的图案（如分形树、雪花等），并简述你的创作思路。

3.前瞻阅读：查阅资料，了解“相似变换”与“仿射变换”的区别，写一篇不超过300字的数学小笔记。

设计意图：作业设计体现巩固性、实践性和开放性。必做作业保底，选做作业尊重学生兴趣和特长差异，将学习从课堂延伸到生活、技术和学科前沿，践行“做中学”、“用中学”、“创中学”的理念。

八、板书设计（主版面）

平面直角坐标系中的位似变换

一、核心问题：对应点坐标有何关系？

二、探究发现（以原点O为中心）：

1.同侧位似(k>0)：(x,y)→(kx,ky)

2.异侧位似(k<0)：(x,y)→(kx,ky)(其中k<0)