初中数学专题《一线三等角》含答案

初中专题02一线三等角【小题热身】1．如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点．求证：．2．如图，，点是线段的中点，．求证：（1）；（2）．3．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B．C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由.【磨刀霍霍】6．如图，已知矩形．（1）在线段上作点，使得（要求：只需作出满足条件的一个点即可，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求证：．7．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．8．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．9．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．10．如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．11．如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上．求证：．12．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．13．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1．（1）当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证：AEF∽BFC；（2）当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使AEF与以点B、F、C为项点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）；（3）探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）14．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．15．如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．初步感知：当点P与点O重合时，比较：PCPE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．（1）当＝时，如图3，直接写出的面积为；（2）直接写出面积S的取值范围．初中专题02一线三等角【小题热身】1．如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点．求证：．【答案】详见解析证明：四边形是正方形，．，，，，．2．如图，，点是线段的中点，．求证：（1）；（2）．【详解】（1）∵，，∴，∴，∴∽．（2）由（1）可知：，∴，又∵点是线段的中点，∴，∴，即：，又∵，∴，∴．3．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：．解：矩形ABCD，，，，．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案为：．5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B．C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由.【答案】BC上存在两个点P，BP=6或8使△ABP与△DCP相似.【详解】设BP=x，则PC=14−x，BP与CP是对应边时,，即，解得x=8，BP与DC是对应边时,，即，解得x=6,x=8，所以，BC上存在两个点P，BP=6或8使△ABP与△DCP相似.【磨刀霍霍】6．如图，已知矩形．（1）在线段上作点，使得（要求：只需作出满足条件的一个点即可，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析（1）解：先作BC的垂直平分线HF，交BC与G，然后以点G为圆心，以BG长为半径作圆，交AD与E点，连结BE，CE，∵BC为直径，点E在圆上，∴∠BEC=90°，如图，点E即为所求．（2）证：∵四边形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．7．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．【答案】见解析【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠1＝∠3，∴△ABD∽△DCE．8．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△BPE∽△CFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，理由见解析．解：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°．∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP．（2）△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°．∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP．（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此PB：BE=PF：PE．又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE9．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．10．如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．【详解】（1）如图可知：在中，又．（2），是等腰直角三角形BC=2，AB=AC=BC=①当AD=AE时，，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意．②当AD=DE时，由（1）结论可知：AB=DC=．③当AE=DE时，是等腰直角三角形，，即．综上所诉：或．11．如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上．求证：．【答案】见详解．证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．12．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．【答案】见解析证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，

∴∠A=∠D

∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A

∴∠ABP=∠DPC，

∴△ABP∽△DPC．13．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1．（1）当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证：AEF∽BFC；（2）当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使AEF与以点B、F、C为项点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）；（3）探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3，∴，∴AEF∽BFC；解：（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；

连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．点F1、F2、F3即为所求；

（3）如（2）中所作图形，当m=4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5，即圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时圆心到AB的距离为2.5，等于半径，点F2、F3重合，符合条件的点F有2个；当m＞4时，圆和AB相离，此时点F2、F3不存在，即符合条件的点F只有1个；当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的点F有3个；综上所述，可得：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．14．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．【答案】（1）；（2）（-4，0）或（-6，-8）．解：（1）当y=0时，-x-2=0，解得x=-2，则A（-2，0），

当x=0时，y=-x-2=-2，则B（0，-2），

设抛物线解析式为，

把B（0，-2）代入得，解得，

所以抛物线解析式为即；（2）如图，当∠BAC=时∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=90，∴∠DAC=∠DCA=，令点C的坐标为（-2-a，-a）将点C代入到，，解得，（不合题意，舍去），∴点C的坐标为（-4，-2）若∠ABC=90，如图，过点C作CF⊥y轴于点F，易证△CBF∽△ABO，∵OA=OB，∴BF=CF，设点F（0，-2-a），则点C（-a，-2-a），将点C的坐标代入得，解得，（不合题意，舍去），，∴点C的坐标为（-6，-8）；综上，点C的坐标为（-4，0）或（-6，-8）；15．如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．初步感知：当点P与点O重合时，比较：PCPE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．（1）当＝时，如图3，直接写出的面积为；（2）直接写出面积S的取值范围．【答案】初步感知：＝；理想感悟：PC＝PE，理由见解析；拓展应用：（1）；（2）0＜S＜．解：初步感知：如图，当点P与点O重合时，则点E与B重合，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵点O是BD的中点，∴OC＝OB＝BD，∴PC＝PE，故答案为：＝；理想感悟：PC＝PE，理由如下：如图2，过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠ABD＝45°，∠A＝∠ABC＝90°，∵GH⊥AB，∴GH⊥CD，∴∠EGP＝∠PHC＝90°，∴∠GEP+∠GPE＝90°，∵PE⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPE+∠CPH＝90°，∴∠GEP＝∠CPH，∵∠ABD＝45°，∠EGP＝90°，∴是等腰直角三角形，∴BG＝GP．∵∠EGP＝∠PHC＝∠ABC＝90°，∴四边形BGHC为矩形，∴BG＝CH，∴CH＝GP，在△EGP和△P