1.1.2三角形的外角-【导学练评】北师大版数学八年级下册

1.1.2三角形的外角-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.学习重点：理解外角的概念，掌握外角的性质，应用外角性质解决问题.学习难点：证明“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”是一个较为抽象的过程，需要学生具备一定的逻辑推理能力.预习自测：1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=.2.在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，则.△ABC是三角形.3.什么是三角形的内角？其和等于多少？。4、国旗上的五角星的每个角是多少度？解：连接AC、AB、BC∵多边形内角和.∴∠ABC=.AB=CB∠BAC=.∠BAC=.∴∠DBE=.所以国旗上的五角星的每个角是度教学过程：一、创设情境、导入新课在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相），一共转了多少度？二、合作交流、新知探究1、三角形的外角的概念如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2、三角形外角的三个特征:①∠1的顶点在三角形的一个顶点上;②∠1的一条边是三角形的一条边;③∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线3、画一个三角形，并画出它的所有外角。想一想:（1）、每一个三角形有几个外角？（2）、每一个顶点处相对应的外角有几个？（3）、这些外角中有几个外角相等？4、三角形的外角的性质填一填：（1）如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,则∠ACD=130°.（2）探究∠A、∠B,及外角∠ACD的关系。解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（）∠ACB+∠ACD=180°（）∴∠ACD=∠A+∠B

三角形内角和定理的推论推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠B.强调三角形外角与内角的关系：（1）位置关系：相邻和不相邻.（2）数量关系：外角与相邻内角互补，外角大于不相邻的任何一个内角.典例精析：例题11．已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAD，求证AD∥BC.例题22．已知，如图，P是△ABC中的一点，连接PB、PC，求证∠BPC＞∠A.例题33．如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？课堂练习、巩固提高：一、基础达标1：4．判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）5．说出下列图形中∠1和∠2的度数：6．如图：D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求（1）∠B的度数（2）∠C的度数.7．已知：如下图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：∠1>∠2.二、能力提升1：8．如图，探究∠BDC、∠1、∠2、∠3之间的关系三、拓展迁移1：9．如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=.总结反思、拓展升华：三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。三角形外角的三个特征:1.的顶点在三角形的一个顶点上;2.一条边是三角形的一条边;3.另一条边是三角形的某条边的延长线推论1；三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和推论2：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.三角形外角和等于360°作业布置：四、基础达标2：10．如下图所示，求以下各图中的∠1的度数。11．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是()A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠112．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.∠B=；∠C=。13．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝。14．如图，类似于三角形，我们称∠1+∠2+∠3+∠4为四边形的外角和，已知四边形的内角和为360°，你能用今天所学的方法进行推理计算吗？能知道多边形的外角和吗?五、能力提升2：15．如图（1）如图（甲），在五角星图形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问：它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？六、拓展迁移2：16．在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=80°∠C=30°（1）求∠DAE（2）你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗（3）若只知∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE吗？

答案解析部分1．【答案】证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠C=12∵AD平分外角∠EAD，∴∠DAC=12∴∠C=∠DAC，∴AD∥BC.【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+∠C,再根据角平分线的定义可得∠DAC=122．【答案】证明：延长BP∠AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角（作图），∴∠BPC＞∠PDC(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角），∵∠PDC是△ABD的外角（作图），∴∠PDC＞∠A(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角），∴∠BPC＞∠A.【解析】【分析】根据三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角解答即可.3．【答案】解：∵∠BAE+∠1=180∘∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=18又·∵∠1+∠2+∠3=18∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540∘【解析】【分析】根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=5404．【答案】（1）错误（2）正确（3）错误（4）正确（5）错误（6）正确【解析】【解答】解：(1)三角形的外角和是指在三角形的每个顶点处只取一个外角，所得的三个外角的和，而不是所有外角的和，故(1)错误；

(2)三角形的外角和等于360°，而三角形的内角和等于180°，故(2)正确；

(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故(3)错误；

(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故(4)正确；

(5)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故(5)错误；

(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角，故(6)正确；

故答案为：错误；正确；错误；正确；错误；正确.

【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据三角形的外角的性质，可以判断出以上命题的对错，从而可以解答本题.5．【答案】解：(1)∵∠1+8∵∠2是该三角形的一个外角，∴∠2=8（2）∠1=50°-32°=18°，∠2=180°-50°=130°.【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠1的度数，然后根据三角形的外角性质求出∠2即可；

（2）根据三角形的外角性质求出∠1的度数，利用邻补角的定义求出∠2的度数即可.6．【答案】解：(1)∵∠ADC=∠B+∠BAD=80∘∴∠B=40∘;

2∵∠BAC+∠B+∠C=18【解析】【分析】(1)由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠B+∠BAD,又∠B=∠BAD,求出∠B的度数；(2)根据三角形内角和定理，直接求出∠C的度数.7．【答案】证明：∵∠1是△ABC的一个外角(已知)，∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义).∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠1>∠2(不等式的性质).【解析】【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角推理证明即可.8．【答案】解：连接AD并延长AD至E，∠CDE是△ADC的外角，∴∠EDC=∠3+∠CAD①，∠EDE是△ADB的外角，∴∠EDB=∠2+∠BAD②，①+②得∠EDC+∠EDB=∠3+∠CAD+∠2+∠BAD，而∠EDB+∠EDC=∠BDC，∠CAD+∠BAD=∠1，∴∠BDC=∠1+∠2+∠3.【解析】【分析】连接AD并延长AD至E，根据三角形的外角性质得到∠EDC=∠3+∠CAD，∠EDB=∠2+∠BAD，两式相加解答即可.9．【答案】360°【解析】【解答】解：如图，根据三角形的外角可得∠A+∠B=∠1，∠E+∠F=∠3，∠C+∠D=∠3，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=∠1+∠2+∠3=360°，故答案为：360°.【分析】根据三角形的外角性质可得∠A+∠B=∠1，∠E+∠F=∠3，∠C+∠D=∠3，三式相加，根据三角形的外角和定理解答即可.10．【答案】解：（1）∠1=100°-60°=40°；

（2）∠1=80°+(180°-140°)=120°；

（3）∠1=60°+55°=115°.

【解析】【分析】（1）（2）（3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可.11．【答案】B12．【答案】40°；70°【解析】【解答】解：解：在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD,∵∠B=∠BAD,∠ADC=8∴∠B=12∠ADC=12故答案为：40【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD,然后代入数据进行计算∠B的度数，然后根据三角形的额内角和定理求出∠C的度数即可.13．【答案】80°14．【答案】解：连接BD、AC.∠1=∠ABD+∠ADB①∠2=∠BAC+∠BCA②∠3=∠CDB+∠CBD③∠4=∠DCA+∠DAC④①+②+③+④∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠BCA+∠CDB+∠CBD+∠DCA+∠DAC=∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB+∠BAC+∠ADB+∠BCA+∠DCA=∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°结论：任意多边形的外角和均为360°【解析】【分析】连接BD、AC根据三角形的外角性质得到∠1=∠ABD+∠ADB，∠2=∠BAC+∠BCA，∠3=∠CDB+∠CBD，∠4=∠DCA+∠DAC，然后相加解答即可.15．【答案】（1）解：AD与CE相交于F，BD与CE相交于G甲：在△BEG中，∠FGD=∠E+∠B①在△ACF中，∠GFD=∠A+∠C②∠D=∠D③①+②+③∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠FGD+∠GFD+∠D=360°（2）解：如图，

乙：在△BEG中，∠FGD=∠E+∠B①在△ACF中，∠GFD=∠CAD+∠C②∠D=∠D③①+②+③∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠FGD+∠GFD+∠D=360°丙：如图，

解：在△BEG中，∠FGD=∠E+∠B①在△ACF中，∠GFD=∠A+∠C②∠D=∠D③①+②+③∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠FGD+∠GFD+∠D=360°.【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质可得∠FGD=∠E+∠B，∠GFD=∠A+∠C，∠D=∠D，然后相加，根据三角形的内角和定理解答即可；

（2）乙图：根据三角形的外角性质可得∠FGD=∠E+∠B，∠GFD=∠CAD+∠C，∠D=∠D，然后相加，根据三角形的内角和定理解答即可；丙图：根据三角形的外角性质可得∠FGD=∠E+∠B，∠GFD=∠A+∠C，∠D=∠D，然后相加，根据三角形的内角和定理解答即可.16．【答案】（1）解：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=35°，∠AED=∠CAE+∠C=65°，∵AD⊥BC，∠A