小学五年级数学《小数乘整数：计数单位视角下的算理融通与算法建构》教学设计

小学五年级数学《小数乘整数：计数单位视角下的算理融通与算法建构》教学设计

一、教学背景与设计理念

本节课位于小学五年级上册，是学生系统学习小数运算的起始课。在此之前，学生已经掌握了整数的四则运算、小数的意义和性质以及小数加减法。这些旧知既是本节课的学习基础，也可能成为负迁移的来源。特别是小数加减法强调的“小数点对齐即相同数位对齐”与小数乘法“末尾对齐”的竖式格式之间存在的表象冲突，常常成为学生认知上的【难点】。

基于核心素养导向的课程改革理念，本设计摒弃了传统教学中“重算法、轻算理”的机械训练模式-4【重要】，转而立足“数与运算”领域的整体性与一致性，深度贯彻2022年版新课标精神。本设计的核心在于引导学生感悟：无论是整数还是小数，乘法运算的本质都是对“计数单位”的操纵。我们不仅关注学生能否正确计算，更关注其能否在深层次上理解“为什么这样算”，从而实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越。

在课堂实施上，本设计采用“大单元教学”视角，将本节课置于整个小数乘法单元乃至整个小学阶段乘法体系中定位。通过创设真实且富有思考价值的情境，激发学生主动探究的欲望。以“转化”思想为主线，以“计数单位”为核心抓手，引导学生在多元表征中理解算理，在算法比较中优化策略，在沟通联系中建构知识网络，最终实现算理与算法的【融通】。

二、教学目标

1、【基础】理解小数乘整数的算理，掌握“先按整数乘法计算，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点”的计算方法，能正确熟练地进行计算，并能够根据小数的性质对积进行化简。

2、【重要】经历自主探索、合作交流的过程，运用转化、类比、抽象等数学思想，理解小数乘整数与整数乘法的内在联系，感悟运算的一致性。能够运用几何直观（如方格图、数线）解释算理，发展推理意识和运算能力。

3、【非常重要】通过探究活动，感受数学知识之间的内在逻辑美，培养严谨求实的科学态度和善于思考的理性精神，体会数学在解决生活实际问题中的价值。

三、教学重难点

1、教学重点：理解小数乘整数的算理，掌握其计算方法。具体为：引导学生将未知转化为已知，利用“积的变化规律”解释为什么可以先将小数转化为整数计算，以及如何确定积的小数点的位置。

2、教学难点：深刻理解算理，即为什么“因数中有几位小数，积就有几位小数”，并将其与“计数单位的转换”这一核心概念建立联系。特别是当计算结果是小数末尾有“0”时，能理解为何要先点小数点再去掉末尾的0。

四、教学准备

多媒体课件（包含生活情境图、直观演示动画、分层练习）、学生探究学习单、实物投影仪。

五、教学过程

（一）激活经验，引入新课

1、情境创设，引出问题：

呈现生活情境：周末，小明去超市购物。他看见一种特价苹果，每千克售价4.5元。他想买3千克，需要付多少钱？

学生根据情境列出算式：4.5×3。

引导学生观察这个算式与以往所学乘法算式的不同之处，学生能很快发现其中一个因数是小数。教师顺势板书课题“小数乘整数”。

2、唤醒旧知，做好铺垫：

在尝试解决新问题前，教师引导学生回顾与新知识相关的旧知。提问：“关于4.5元，你可以怎样表示？”引导学生说出“4.5元就是4元5角”或“4.5元就是45角”。

进一步提问：“4.5里面有几个十分之一？”引导学生基于小数的意义，得出“4.5是由4个一和5个十分之一组成，也就是45个十分之一”。这一环节至关重要，它为后续从“计数单位”角度理解算理埋下了伏笔。

设计意图：从生活实际入手，让学生感受数学的应用价值。通过复习小数的意义和组成，唤醒学生的已有经验，为新知的探究搭建“脚手架”，特别是为理解算理提供“计数单位”这一核心视角。

（二）自主探究，理解算理

1、尝试解决，多元表征：

教师放手让学生独立尝试计算4.5×3，并要求将自己的思考过程清晰地记录在学习单上。教师巡视，收集典型的算法资源。

预设学生可能出现以下几种方法：

方法一（加法）：用加法算，4.5+4.5+4.5=13.5元。

方法二（单位换算）：把4.5元看作45角，45×3=135角，135角=13.5元。

方法三（转化法）：把4.5扩大10倍变成45，用45×3=135，再把积缩小到原来的十分之一，得到13.5。

方法四（拆分法）：4×3=12，0.5×3=1.5，12+1.5=13.5。

方法五（竖式）：尝试列竖式计算，可能有的学生会将小数点对齐（受加减法影响），有的学生能正确列出末尾对齐的竖式。

2、交流碰撞，聚焦本质：

组织全班交流。先请用加法、单位换算、拆分法的学生汇报。

教师在每种方法汇报后，都要追问“为什么可以这样做”，引导学生明确：加法体现了乘法的意义；单位换算是将新知识转化成了熟悉的整数乘法。

接着，重点展示转化法和竖式。将方法三（4.5→45×3→÷10）和正确的竖式（末尾对齐）进行对比。

教师利用课件或板贴，动态演示竖式计算的算理逻辑：

（1）为什么可以把4.5看成45？因为把4.5扩大到原来的10倍。

（2）45×3得到135，这个135是谁的积？是45×3的积。

（3）怎样才能得到原来的积？要把135缩小到原来的十分之一。

在这一过程中，教师引导学生用规范的数学语言完整地表述思维过程：“计算4.5×3时，我们先把4.5看作整数45，这样就变成了45×3。根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘10，积也乘10。要得到原来的积，就要把45×3的积135除以10，也就是从右边起数出一位，点上小数点，得到13.5。”

3、沟通联系，抽象模型：

教师进一步追问，将学生的思维引向深入。指着拆分法的“0.5×3=1.5”提问：“这里的0.5×3，你是怎么算的？为什么0.5×3会等于1.5？”

引导学生结合小数的意义进行解释：0.5是5个十分之一，5个十分之一乘3，就是15个十分之一。15个十分之一就是1.5。

再引导学生看竖式：“135中的‘1’在百位表示1个百，‘3’在十位表示3个十，‘5’在个位表示5个一。而13.5中的‘1’在十位表示1个十，‘3’在个位表示3个一，‘5’在十分位表示5个十分之一。积的计数单位发生了怎样的变化？为什么会发生这样的变化？”

在教师的引导和小组讨论下，学生逐渐明晰：因为我们将4.5这个计数单位为“十分之一”的数，当成了计数单位为“一”的整数45去乘，导致算出的结果被“放大”了。我们必须通过“缩小”或“点小数点”的方式，将积的计数单位从“一”再变回“十分之一”。

最后，师生共同归纳：小数乘整数，我们把它转化成整数乘法来计算，关键是要根据因数扩大的倍数，将积缩小相同的倍数，从而正确地确定积的小数点位置。

设计意图：此环节是本课的核心。通过让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般的探究过程，打通了多种算法之间的内在联系。特别是将“计数单位”这一核心概念贯穿始终，让学生看到，无论哪种算法，最终都回归到“计数单位及其个数的运算”，从而深刻理解运算的一致性【非常重要】。同时，这也有效突破了“为什么最后要点小数点”这一教学【难点】。

（三）深化理解，建构算法

1、变式练习，引发冲突：

出示例题变式：同样的苹果，妈妈买了另一种更贵的，单价是4.58元，也买3千克。一共多少钱？

学生独立列竖式计算：4.58×3。

计算完成后，同桌互相说说计算过程。教师指名汇报，重点追问计算过程和积的小数位数的确定。

在此基础上，出示例题进阶：超市还有一种进口苹果，单价是4.5元，王叔叔要买12千克，一共多少钱？

学生尝试计算：4.5×12。这一步旨在考察学生能否处理两位数乘两位数的情况，同时巩固计算步骤。

2、观察比较，归纳算法：

教师引导学生回顾刚才计算的三道算式：4.5×3（一位小数）、4.58×3（两位小数）、4.5×12（一位小数，两位数乘数）。

小组讨论：积的小数位数和因数的小数位数有什么关系？

学生通过观察能很快发现：因数中有几位小数，积就有几位小数。

教师再提出挑战性的问题：“是不是所有的小数乘整数都符合这个规律？有没有反例？”鼓励学生大胆举例并用计算器验证。通过验证，学生确信了这一规律。

师生共同总结出小数乘整数的计算方法：先按整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

教师强调【重要】易错点：在竖式计算时，为了方便计算，我们通常像整数乘法那样将数字“末尾对齐”，而不是“小数点对齐”。

3、特殊情况处理：

承接上面4.5×12的计算结果（板书：54.0），教师提问：“根据小数的性质，计算结果我们通常要怎样处理？”引导学生明确：点上小数点后，如果积的末尾有0，要根据小数的性质把0去掉，写成最简形式。但必须注意，一定要先点小数点，再去掉末尾的0。这是一个重要的【高频考点】。

设计意图：通过不同层次的变式练习，让学生在应用中不断巩固对算理的理解。从一位小数到两位小数，从一位乘数到两位乘数，逐步完善认知结构。通过观察、猜想、验证，使学生自主建构出“积的小数位数与因数小数位数相同”的算法模型，并在处理特殊情况的辨析中，使算法更加严谨。

（四）练习巩固，深化应用

1、基础练习（明算理）：

根据算式填空：计算2.37×5时，先把2.37看作整数（），它就扩大到原来的（）倍，积也随着（）；要使积不变，必须把整数乘法的积（），所以结果是（）。

设计意图：强化对算理的语言表述，这是对【重要】知识点的巩固，帮助后进生建立清晰的思维路径。

2、专项练习（通算法）：

列竖式计算：3.7×6=0.48×9=1.25×8=0.16×24=

重点关注：1.25×8的计算，积的末尾有0，提醒学生先点小数点再去0。0.16×24，乘数是两位数，注意进位。

设计意图：多种类型题目的混合练习，旨在提升学生计算的熟练度和准确性。其中1.25×8和0.16×24是【高频考点】，尤其是0.16×24涉及进位和位数判断，能有效检验学生的掌握程度。

3、辨析练习（破难点）：

判断对错，并说明理由。

（1）3.24（2）2.50

×5×12

——————————————

16.20500

25

———————

300

让学生找出错在哪里，第一题积的小数位数点错了，第二题既忘了点小数点，也没去末尾的0。

设计意图：通过错例辨析，将学生在计算中容易出现的典型错误暴露出来，在“找茬”和“说理”的过程中，加深对正确算法的印象，有效巩固【难点】。

4、综合练习（用数学）：

出示分段计费的拓展情境（呼应单元整体教学）：

某市出租车收费标准为：3公里以内收费10元；超过3公里的部分，每公里收费2.4元（不足1公里按1公里算）。小明从家到学校乘坐了8公里，需要付多少钱？

这个问题是后续“解决问题”板块的提前渗透。学生需要先理解题意，再列出综合算式或分步计算。这不仅是计算技能的考察，更是数学建模能力的培养。

设计意图：将计算置于真实复杂的情境中，让学生体会数学知识的应用价值。分段计费问题是本单元的一个【热点】和难点问题，在此处作为一个拓展和挑战，旨在让学有余力的学生“跳一跳摘桃子”，同时也为后续的系统学习做好铺垫。

（五）回顾反思，总结提升

1、全课总结：

教师引导学生回顾本节课的学习历程：“我们是怎么学会小数乘整数的？”学生梳理出：遇到了新问题——想办法转化成旧知识（整数乘法）——在转化过程中发现了规律（积的变化规律）——总结出新方法（看因数位数点小数点）。

再次强调“转化”这一重要的数学思想。

2、知识延伸：

教师最后抛出一个有深度的问题，引发学生课后思考：“今天我们学习了小数乘整数，我们把它转化成了整数乘整数。那么，如果遇到小数乘小数，比如4.5×2.3，还能用转化的方法吗？你打算怎么转化？转化之后又该怎么变回来呢？”

设计意图：总结环节不仅是回顾知识与方法，更应着眼未来。通过回顾“转化”的路径，强化了学生学习数学的策略意识。而最后的设问，将知识的链条延伸到下一节课，激发学生继续探究的欲望，体现了单元整体教学的连贯性。

六、板书设计

小学五年级数学《小数乘整数》

例题：4.5×