2025-2026学年下学期福建福州高三数学4月适应性练习试卷（含答案）

(在此卷上答题无效)福州市2026届高中毕业班4月适应性练习数学(完卷时间专120分钟;满分:150分)友情提示:请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={x∣0<x<6A.{4,5}B.{2.已知复数1+iaA.a>0B.a<03.某次测试中,某10人的成绩(单位:分)分别为:48,75,58,66,78,82,84,78,86,91,则这组数据的第80百分位数是A.78B.82C.84D.854.设α,β是两个不重合的平面,则αA.存在无数条直线与α,βB.存在无数个平面与α,βC.对任意的直线l⊂α,都存在直线m⊂βD.对任意的直线l⊂α,都存在直线m⊂β5.已知函数fx=x+4xA.436.已知三棱锥P−ABC的体积为93,∠BAC=90∘,ABA.24πB.48πC.96πD.108π7.已知数列an的前n项和为Sn,若an+A.16B.18C.20D.228.已知函数fx=x−amx−bnm,A.m为奇数B.n为奇数C.若a<b,则2x2>x1+二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F1,0，准线为l，圆A.pB.l的方程为xC.若圆心M在C上，则圆M与l相切D.若圆M与l相切,则圆心M在C上10.已知函数fx=tanωx+φ ω>0,φ<A.fx的最小正周期是B.fx在区间π6C.fx的一个对称中心是D.fx的图象可以由gx=tan2x的图象向左平移11.已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,公比为q的等比数列bn的前n项和为Tn,且A.当d>0时,B.当S10=T10C.当−1<q<D.当q<−1时,集合n三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知单位向量a,b满足a⊥a−13.为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战,某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组.现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是_____.(用数字作答)14.在平面凸四边形ABCD中,∠BAC=60∘,AB=2,BC=23,△四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数fx(1)若fx是奇函数，求φ(2)当φ=π2时，fx的所有正零点从小到大排列构成数列xn，求xn16.(15分)已知函数fx(1)当a=2时,求曲线y=fx(2)若fx>0，求17.(15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1−1,0,(1)求C的方程；(2)点P,Q分别在直线l1:x=−4与l2:x18.(17分)某盲盒商店调查数据显示,顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为X0123Pkkαkk其中k>(1)当α=1(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为13，每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量,则称此顾客为幸运客户.(i)求该顾客为幸运客户的概率fα(ii)若该顾客是幸运客户,他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过12,求α19.(17分)已知PA⊥平面γ，垂足为A，直线AC⊂γ，B,D是γ内的动点，且B,(1)若AB⊥AD，证明:△(2)若PA=AC=3,Q是线段CP上靠近(i)证明:二面角B−AP(ii)直线PB,PD与γ所成的角分别为α,β,记θ=max{α,β}.若平面QBD⊥2026届高中毕业班适应性练习(四月)数学参考答案及评分细则评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、单项选择题题号12345678答案ACDCCBCD二、多项选择题题号91011答案BCDADACD三、填空题12.60°13.3014.4四、解答题15.解法一:(1)因为fx为奇函数，所以f−x=−fx即sin−2x得sinx+φ+sin所以sinxcosφ+sin所以sinφcosx=所以sinφ=解得φ=kπ(2)因为φ=π2,所以令fx=0,则所以2x=x+π2+解得x=π2+2k令an=2n−3所以S20=所以S20=解法二:(1)因为fx为R上的奇函数,所以f0所以sinφ=解得φ=kπ经检验,fx=sin所以φ=kπ(2)因为φ=π2,所以令fx=0,则所以cosx2所以cosx=0或解得x=π2+k1π,k1令an则2k−所以S20所以S20=解法三:(1)同解法一.6分(2)因为φ=π2，所以fx=sin2x所以2π是fx的一个周期,当0<x在π时,令fx=0解得x=π所以fx在区间(0,2π]令an则an是以3π为首项，8π为公差的等差数列，所以S20=16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性.满分15分.解法一:(1)函数fx的定义域为0,+∞，f当a=2时，因为f′x=x−2又f1=所以曲线y=fx在点1,f即2x+2y(2)(i)当a<0时，fe1(ii)当a=0时,fx=12x2>0显然成立;11分(iii)当a>0时,令f′所以fx在0,a单调递减，在a,+∞所以fxmin=fa=综上所述，a的取值范围为[0,解法二:(1)同解法一.7分(2)由已知，得12(i)当0<x<1时，可得因为0<x<1,所以又因为x→0时,所以a 0;10分(ii)当x=1时,12x2−(iii)当x>1时,可得令gx=当1<x<e12时，g当x>e12时，g′x>0所以gxmin=ge1综上所述，a的取值范围为[0,17.本小题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系、三点共线等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性.满分15分.解法一:(1)当MF2⊥x轴时，所以MF1所以2a=M从而a=2故C的方程为x24(2)设Mx0则x024+y0又F1所以F1M因为PF所以F1M两式相加、减,得yP+又因为PM=x0+所以PM和QM，故P,M,Q解法二:(I)当MF2⊥x所以M1,32或所以1a2又a2−由①②，解得a2=4,故C的方程为x24(2)设Mx0,y0y0≠0，则x024+y0所以直线PF1由x=−y0x0+由x=−y0x0−所以PM=因为x0所以PM和QM，故P,M,Q(ii)当直线MF1或MF2斜率不存在时，根据对称性，不妨设MF2此时点M1,32,Q4,0,kM5=所以P,M,Q综上，P,M,Q18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心索养等.体现基础性，应用性.满分17分.解:(1)由题可知,k1−化简可得k=1当a=12时，则EX即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为169.4(2)(i)设事件Ai=“一次性购买i个文创盲盒”(i=0,15分则PA依题意,得PB∣因为每个盲盒是否为封面款相互独立,所以PB∣又由题意知,B=A0B∪A1B所以PB=由(1)得,k=1a2−所以fa=(ii)设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”依题意,得PC∣且C=A所以PC=由(i)得,PB所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为PC∣由题意PC∣B12，可得21又因为0<a<1，所以19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识；考查运算求解法一:(1)因为PA⊥平面γ,AB,AD⊂不妨设AB=a,AD=因为AB⊥AD,所以所以BD≤PB≤PD，所以∠PBD为由余弦定理,得cos∠PBD=所以∠PBD∈0,π2，所以(2)(i)因为PA⊥Y，Q在CP上，且∠由对称性知B,D在同一个轨迹上，且轨迹关于AC故以A为原点，AC,AP分别为x轴和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设Bx1,y1,0,D因为Q是线段CP上靠近C的三等分点,故AQ=23AC+1故QC=cos∠CQB依题意得x1−12⋅x且x1−1>0,即x1>1,故x1≥3,又点同理,x22−y22故在坐标平面xAy中，B,D是双曲线x2−y2=3右支上的动点，且因为x2−y2=3的两条渐近线分别为y=x所以0<∠BAD因为平面PAB∩平面PAD所以∠BAD是二面角B−AP−D的平面角，所以二面角(ii)因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形.若△PBD为锐角三角形,有P可令a′则存在以A′B=a′,由(1)知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形.由(i)知,0<∠BAD<π2,所以AB所以PB⋅PD=PA+AB因为PA⊥V,所以∠PBA,∠PDA分别是直线PB,PD与不妨设AB≤AD,则a≥β,且PB≤PD,所以作QM⊥BD于M，因为平面QBD⊥Y，平面QBD∩γ=BD，所以QM⊥V,又PA⊥V因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M是线段AC上靠近C的三等分点，所以M2,0,0,即直线BD所以∠PBD=∠PBM≥π2,所以BM⋅BP=2−x1,−y1,0⋅−x1,−y1,如图，不妨设点B在第四象限，则y1<0，x1<2.因为B，D都在双曲线的右支，故kBD=kBM=−y12故x12−3>2−x12所以tan2当x1=1+72故tan2θ的最小值为3解法二:(1)因为PA⊥平面V,AB,AD⊂又因为AB⊥AD,故可以A为原点,AB,AD,AP分别为x轴,y轴和z设AB=a,AD=b,AP=cBD⋅BP=−a,DB⋅DP=a,−bPB⋅PD=a,0所以△PBD是锐角三角形.4(2)(i)同解法一.9分(ii)因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形.若△PBD为锐角三角形,有P可令a′则存在以A′B=a′,由(1)知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形.作QM⊥BD于M，因为平面QBD⊥V，平面QBD∩γ=BD，所以QM⊥V,又PA⊥V因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M是线段AC上靠近C的三等分点，所以M2,0,0,即直线BD在平面直角坐标系xAy中,设直线BD的方程为x=联立x2−y2=依题意,有t2−1≠因为y1y2<0因为PB=所以PB=t2BP⋅同理DP⋅不妨设x12+y1因为x1因为x1=ty1+2且x=2x=所以22又因为x1>3,所以因为PA⊥V,所以∠PBA,∠PDA分别是直线PB,PD与因为x12+y12≤x22+y22,所以当x1=1+72故tan2θ的最小值为3解法三:(1)因为PA⊥平面V,AB,AD⊂又因为AB⊥AD,所以在△BP⋅BD=BA+AP⋅BADB⋅DP=DA+AB⋅DAPB⋅PD=PA+AB所以△PBD是锐角三角形.4(2)(i)同解法一.9分(ii)因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PB