浙江省金华十校2026届高三4月模拟考试数学试卷（含解析）

浙江金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．一组样本数据依次为，，0，2，4，5．关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（

）A．极差为 B．平均数小于0 C．方差小于1 D．中位数为14．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（

）A． B． C． D．5．某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（

）（参考数据：）A．10年 B．11年 C．23年 D．24年6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（

）A． B． C． D．7．抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（

）A． B． C． D．8．若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（

）A．（不超过x的最大整数） B．C． D．二、多选题9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（

）A． B． C． D．10．在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（

）A．点F的运动轨迹为线段 B．的最小值为C．存在点F，使得 D．过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为11．第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空题12．双曲线的离心率为___________.13．数列中，，，记数列的前n项和为，则______．14．已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______．四、解答题15．已知函数，．(1)求；(2)中，若构成等差数列，且，求．16．三棱锥中，，，，平面，，．(1)证明：直线平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值．17．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，．点P是椭圆C上的一点，轴，且．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围．18．已知函数，．(1)求函数的极小值；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围．19．某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则：第n次发射的信息第次发射信息的概率ABCA的概率B的概率C的概率当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期．(1)写出，，的值（用p表示）．(2)当时，证明：．(3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【详解】因为，，所以.2．B【详解】复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为又，故点在第二象限，所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.3．D【详解】已知样本升序排列为：，，0，2，4，5，极差为：，故A错误；平均数为：，故B错误；方差为：，故C错误；因这组数据有6个，故其中位数为中间两个数的平均值，即中位数为，故D正确．4．C【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体；C选项中的图形旋转得到的是内胎；D选项中的图形旋转得到的是球.5．A【详解】设初始种群数量为，经过年后，种群数量变为.根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即.两边同时除以，得.两边同时取常用对数，有：.由于，且，代入得：，解得.因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年.6．C【详解】在中，因为，且的面积为，可得，即，所以，由正弦定理得，所以，代入，可得，所以.7．A【详解】设直线的方程为，，由抛物线可得准线方程为，又，，所以，，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以.8．D【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有，由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间，故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项B，若，​因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为，所以函数为减函数，函数的值域为，因此在上单调递增，且函数的值域为，故函数的图象夹在平行直线和之间，所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项C，若，则恒成立，当且仅当时取等号，所以函数在上单调递增，由得，故函数的图象夹在平行直线和之间，所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项D，若则，当时，，，故当时，，，故，所以对于任意的，，故函数在上单调递增，假设存在两条平行直线，​和，则对任意需要​，但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾，故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.9．AD【详解】已知等差数列的公差为d，则，解得，，解得，故B错误；，故A正确；，故，故C错误；，故D正确．10．ABD【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方体的棱长为3，可得，因为点在棱上且，可得，对于A，由向量，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为点在平面，设，可得又因为平面，可得，整理得，因为点在正方形内，可得，当时，，对应的点在棱上；当时，，对应的点在棱上，所以点的运动轨迹为线段，所以A正确；对于B，由点，点且，可得，其中，所以当时，取得最小值，且，所以，所以B正确；对于C，由，点且，可得，若，可得，解得，当时，可得，此时点，因为点在正方形内，即，此时，所以点不在正方形的区域内，所以不存在满足条件的点，所以C不正确；对于D，由点，可得都在的平面上，设球心，半径为，因为三点确定的圆是正方形的外接圆，其圆心为的中点，半径为，则球心必在过且垂直于底面的直线上，所以，设，球的半径为，因为点且，即在球面上，所以，可得，整理得，即，可得，又由球的表面积为，要使得表面积最小，只需最小，令，可得的图象开口向上，且对称轴为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以，所以，所以D正确.11．ACD【详解】由题意知，，，，因为，所以，故，对于A，当时，则，此时，，所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确；对于B，因，故，即，故B错误；对于C，当时，将代入得，解得满足，故C正确；对于D，当时，，代入得，即满足，故D正确.12．【详解】由题可知：，由所以离心率故答案为：13．【详解】，.，又，....14．/解：，或，即或，故点在如图直线族中，

表示点与点距离的平方，又相邻两直线的距离，所以的最小值，故M的最大值为．15．(1)(2)【详解】（1），或，又，（2）因为在中，构成等差数列，则，结合，可得，，，，，．16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）平面，平面，，又，，平面，平面（2）平面，平面，，，，平面，平面，平面平面，过点作，为垂足，平面平面，平面，由题意可得：，如图，以A点为原点，以为x轴，为y轴，过A点且与同向的方向为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，可得，，另外，设平面的一个法向量为，直线和平面所成角为，结合，，则有，，取，可得，，综上，直线和平面所成角的正弦值为．17．(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，将代入中，可得,依题意，点在第一象限，故得，由，，得，解得，，所以，所以椭圆标准方程为．（2）设直线l的方程为，点，．联立，得，由解得且，，所以，从而，解得，，所以，令，则，综上，的取值范围为．18．(1)极小值为(2)答案见解析(3)【详解】（1）因为的定义域为，且，当时，；当时，；可知在上单调递增，在单调递减，所以的极小值为．（2）因为的定义域为，且，令，解得或，当，即时，则，可知在上单调递减；当，即时，令，解得；令，解得或；可知在上单调递增，在，上单调递减；当，即时，令，解得；令，解得或；可知在上单调递增，在，上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减.（3）因为，即，可得，令，，①当时，若，则，不合题意；若，方程满足，且，可知方程有一正一负两个实根，取其正根为，则，不合题意；综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立；②当时，不妨取，则，记