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文档简介

【案例】金属薄片是长方形的，它的边长分别为x与y，面积S=xy,是x、y的二元函数.当金属薄片受热膨胀时，其边长由x变到x+△x，由y变到y+△y，则面积S有相应的增量面积S的全微分无穷小5.3全微分—研究函数增量案例案例处的全微分.可表示为可微,在点则称函数称为函数记作即函数若在某平面区域D内处处可微,则称可微.函数在D内而不依赖于5.3.1全微分的概念

事实上,显然,由全微分的定义有可得多元函数可微必连续如果函数可微,则函数在该点连续.不连续的函数一定是不可微的.全微分的概念定理1(可微必要条件)如果函数可微,且函数的全微分为可微必要条件习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数在点P0的全微分全微分多元函数的各偏导数存在全微分存在．如，一元函数在某点的导数存在微分存在．?两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)全微分的概念定理2(可微充分条件)偏导数偏导数存在且连续是二元函数可微的充分条件，但不是必要条件，即函数可微时其偏导数不一定连续．可微充分条件在原点(0,0)可微.必要条件.如：注两个偏导数在点连续可微的充分条件,并非仅是函数在点

但是,偏导数在原点(0,0)不连续.可微充分条件举例

对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续可微连续有极限偏导存在二元函数是否连续与偏导数是否存在之间不存在必然联系

对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可导连续有极限

全微分的概念解因为所以求全微分解因为所以故求全微分也可写成5.3.2全微分在近似计算中的应用解设函数则于是由得全微分在近似计算中的应用半径由20cm增大解已知即受压后圆柱体体积减少了例4有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则

高度由100cm减少到99cm,求此圆柱体体积的近似改变量.全微分在近似计算中的应用

理解全微分的定义对全微分的几点认识

熟记近似计算公式1、求

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