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文档简介

6.4二阶常系数线性微分方程解

火车运动所受的力满足牛顿定律

因为

所以

即火车的运动规律可表示为

这是一个二阶常系数线性微分方程.二阶常系数线性微分方程形如称为二阶常系数线性微分方程、均为常数，

、均为一次的（线性的）．

、

当二阶常系数线性非齐次方程.

的方程二阶常系数线性齐次方程

当特点：6.4.1二阶常系数线性微分方程通解的结构定理1（齐次线性微分方程解的叠加原理）那么，函数是否为方程（5.5）的通解呢？

这要看与的关系.，则只有一个独立常数，不是方程（5.5）的通解.如果二阶常系数线性微分方程通解的结构只有当

合并成一个常数，

中的两个任意常数不能才是方程（5.5）的通解

则称函数与线性相关；

定义1如果

若，则称函数与线性无关.

例如：与线性无关.与线性相关.齐次线性微分方程通解的结构定理2（齐次线性微分方程通解的结构）例如：

是方程

的两特解，

因此

是方程的通解.

非齐次线性微分方程通解的结构定理3（非齐次线性微分方程通解的结构）6.4.2二阶常系数齐次线性方程的解法二阶齐次线性微分方程解的叠加原理说明，要求方程

的通解，只要求出它的两个线性无关的特解即可.

由于齐次线性微分方程左端是未知函数的常数倍、未知函数的一阶导数的常数倍与二阶导数的代数和等于0，适于方程的函数必须与其一阶导数，二阶导数只能相差一个常数因子，可以猜想方程具有下列形式的解

二阶常系数齐次线性方程的解法

把指数函数

代入方程

所以有

则有

由于

由此可见，只要

满足代数方程

函数

就是微分方程

的解，

特征方程的根称为特征根.

二阶常系数齐次线性方程的解题步骤

求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤可归纳如下：第一步写出微分方程

的特征方程

第二步求出特征方程

的两个根

第三步根据特征方程的两个根的不同情形，依次写出微分方程的通解（如表5-1）二阶常系数齐次线性方程的通解公式二阶常系数齐次线性方程的解法举例例1

求下列微分方程的通解：（1）

（2）

（3）

解

（1）该方程的特征方程为

即

其特征根为

故方程的通解为

（2）该方程的特征方程为

即其特征根为

故方程的通解为解该方程的特征方程为

它有一对共轭复根，特征根为

方程的通解为

二阶常系数齐次线性方程的解法举例

（3）

解特征方程为，特征根为所以方程通解为：

代入初始条件有，所求特解为.

..例2

求方程满足条件的特解.二阶常系数齐次线性方程的解法举例

认识二阶常系数线性微分方程对二阶常系数齐次线性方程的几点认识

掌

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