《经济数学》-经济数学6.3微分方程应用举例

微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，用微分方程解决应用问题的方法是：（1）分析题意，建立表达题意的微分方程及相应的初始条件，这是最关键的一步；（2）求解微分方程，依问题要求，求出通解或满足初始条件的特解；（3）依据问题的需要，用所求得的解对实际问题做出解释.

6.3微分方程应用举例（其中K为常数）解根据题意，知分离变量得

已知某厂的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之差成正比.当时，试求纯利润与广告费之间的函数关系.例1（广告与利润）广告与利润两边同时积分于是得由初始条件解得所以纯利润与广告费的函数关系为得即广告与利润例2（逻辑斯蒂曲线）在商品的销售预测中，时刻时的销售量用表示.如果商品的销售的增长速度正比于销售量及与销售接近饱和水平的程度之乘积（为饱和水平），求销售量函数解根据题意，可建立微分方程模型（k为比例因子）分离变量得逻辑斯蒂曲线等式变形为两端积分得(其中为任意的常数）（其中为任意的常数）

（其中为任意的常数）于是化简为从而可得通解为逻辑斯蒂曲线解根据题意，价格函数满足微分方程：例3（市场动态均衡价格）某商品的市场价格随时间变动，其需求函数为又设价格随时间的变化率与超额需求成正比，求价格函数供给函数为市场动态均衡价格利用一阶线性微分方程通解公式，可得由初始条件得到代入上式得市场动态均衡价格由解的表达式可得，当时，称为均衡价格，即当趋向均衡价格.时，价格将逐步市场动态均衡价格由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,从而得到较完善的模型.人口预测模型若已知时的人口总数为，试根据马尔萨斯假设确定出时间t与人口总数x(t)之间的函数关系。例4（马尔萨斯人口方程）人口预测模型英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766-1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。

他的基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。根据我国国家统计局2006年3月16日发表的公报，2005年11月1日我国人口总数为13.06亿，过去5年的年人口平均增长率为6.3‰。若今后的年增长率保持这个数字，试用马尔萨斯方程预报2020年我国的人口总数。解记时间t时的人口总数为x(t)。设单位时间内人口的增长量与当时人口总数之比为r，r是与时间无关的常数。根据马尔萨斯假设，列出方程⑴这是一个可分离变量的微分方程，容易解出方程满足初始条件的解为⑵人口预测模型利用⑵式，将代入，可预报出2020年我国的人口总数为人口预测模型当时，将代入方程⑵，可得当t取年做单位，且取为正整数时，可写为试解释此预报公式的意义，并用此式预报2020年我国的人口总数人口预测模型思考题：解根据需求价格弹性的定义分离变量得两边同时积分得因此可知该商品的需求函数为例5

设某商品的需求价格弹性（为常数），求该商品的需求函数于是得到微分方程商品需求

掌握解决微分方程应用题的步骤对微分方程应用的几点认识

掌握解决微分方程应用题的方法会用微分方程解决实际问题1、设某物品的需求