2024-2025学年广东深圳盐田高级中学等校联考高二下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学等校联考高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则a＝（）A．112 B．113 C．1142．（5分）已知离散型随机变量X满足D（X）＝0.01，且Y＝10X+1，则D（Y）＝（）A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.013．（5分）已知(12，12)为椭圆A．1 B．233 C．264．（5分）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）A．72 B．54 C．48 D．365．（5分）二项式(2x2−1A．﹣80 B．80 C．﹣40 D．406．（5分）已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（）A．3π B．6π C．12π D．18π7．（5分）研究表明某生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（t≥0，单位：年）的关系近似地符合函数Q(t)=mA．先增大后减小 B．先减小后增大 C．逐年减小 D．逐年增大8．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知S2n＝2an﹣1，S2n﹣1＝2an+1﹣1，则a2049＝（）A．2×124 B．3×124 C．6×125 D．5×125二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）现用0，1，2，3，4共5个数字组成四位数，则（）A．可以组成84个无重复数字的四位数 B．可以组成404个有重复数字的四位数 C．可以组成54个无重复数字的四位偶数 D．可以组成120个百位为奇数的四位偶数（多选）10．（6分）已知方程组|25+20i−z|=5|z−4−k|=|z−3i−k|有且仅有一个复数解z，则实数kA．238 B．154 C．1238（多选）11．（6分）某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验，记事件A：“抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件B：“抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个汽车零件中恰有m个的抗压质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则（）参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974A．P（B|A）＞P（B） B．P(AB)P(B)C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.72 D．当P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为53三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线斜率为−43，则a＝13．（5分）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为．14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y均有f（xy）＝yf（x），且2f（2）＝f（1）+6，则f（2025）＝．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知二项式(2x−1（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．16．（15分）某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成A，B两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如表：A76788384859092959899B63727375808184859299（1）分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数；（2）若对于本次测试，规定：成绩≥90分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=2AE→，A1F→=（1）证明：平面CEF⊥平面A1DG；（2）求二面角D﹣CF﹣E的正弦值．18．（17分）甲和乙两人进行足球射门比赛．规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局．已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中0＜p＜1．（1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列；（2）记P1为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，P2为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率．若P1＞P2，求p的取值范围．19．（17分）若集合M，N满足：∀x∈M，﹣x∈N，且∀x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数f(x)=11+e−x+a(x+1)+bx3，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x（1）b＝0，a=−14时，证明：∀p＜q，Af（p）⊆Af（q（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；（3）若A12=

2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学等校联考高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CACDBDAC二．多选题（共3小题）题号91011答案BDACABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】C【解答】解：由题意得：P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝a（12+22+32）＝1，解得：a=1故选：C．2．【答案】A【解答】解：因为D（X）＝0.01，且Y＝10X+1，所以D（Y）＝102D（X）＝100×0.01＝1．故选：A．3．【答案】C【解答】解：(12，12则14m2故焦距为21−故选：C．4．【答案】D【解答】解：将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，即将4人分为1，1，2三组，共有C4再将三组人分到三个实验室，共有6A3故选：D．5．【答案】B【解答】解：二项式(2x2−1x)5展开式中含x4项为C53（2x2）3故展开式中含x4项的系数为80．故选：B．6．【答案】D【解答】解：设该三棱锥的侧棱长为a，则根据题意可得该三棱锥的外接球O的直径2R即为棱长为a的正方体的体对角线长，所以（2R）2＝3a2，所以球O的表面积为4πR2＝3a2π，又该三棱锥的体积为13所以根据题意可得16a3=3a2π，解得故选：D．7．【答案】A【解答】解：由题意可得，Q（0）=m解得m＝40，则Q（t）=40所以Q′（t）=40由对勾函数的性质可得，函数y＝et+49et在（0，ln7）上单调递减，在（ln7，+∞）上单调递增，且y＝e所以Q′（t）在（0，ln7）上单调递增，在（ln7，+∞）上单调递减，即该生物种群数量的增长速度先增大后减小．故选：A．8．【答案】C【解答】解：由S2n＝2an﹣1，可得S2n+2＝2an+1﹣1，又S2n﹣1＝2an+1﹣1，即2an+1＝S2n﹣1+1，所以S2n+2＝S2n﹣1，即a2n+2+a2n+1+a2n＝0，S4n＝2a2n﹣1，S4n+1＝S2（2n+1）﹣1＝2a2n+2﹣1，故a4n+1＝S4n+1﹣S4n＝2a2n+2﹣2a2n＝﹣2（a2n+a2n+1）﹣2a2n＝﹣2（2a2n+a2n+1），而a2n＝S2n﹣S2n﹣1＝2an﹣2an+1，a2n+1＝S2n+1﹣S2n＝2an+2﹣2an，故a4n+1＝﹣2（4an﹣4an+1+2an+2﹣2an）＝﹣4（an+an+2﹣2an+1），当n＝2k，k∈N*时，a4n+1＝﹣4（﹣an+1﹣2an+1）＝12an+1，故a2049而当n＝1时，S2＝a1+a2＝2a1﹣1，S1＝a1＝2a2﹣1，联立解得a1＝3，a2＝2．当n＝2时，S3＝a1+a2+a3＝2a3﹣1，解得a3＝6，于是a2049故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．【答案】BD【解答】解：对于A，可以组成无重复数字的四位数有4×4×3×2＝96个，故A错误；对于B，可以组成有重复数字的四位数4×5×5×5﹣96＝404个，故B正确；对于C，若组成无重复数字的四位偶数，若个位数为0，有4×3×2＝24个，若个位数字不为0，有2×3×3×2＝36个，共有24+36＝60个，故C错误；对于D，可以组成百位为奇数的四位偶数有4×2×5×3＝120个，故D正确．故选：BD．10．【答案】AC【解答】解：结合复数的几何意义，由|25+20i﹣z|＝5，可知复数z对应的点Z1的轨迹为以C（25，20）为圆心，5为半径的圆C，由|z﹣4﹣k|＝|z﹣3i﹣k|，可知复数z对应的点Z2的轨迹为由点A（4+k，0）与B（k，3）所连线段的垂直平分线l，而方程组|25+20i−z|=5|z−4−k|=|z−3i−k|有且仅有一个复数解，即直线l与圆C由A（4+k，0）与B（k，3）知线段AB的中点M(k+2，32)，直线AB则线段AB的垂直平分线l′：y−32=43(x−k−2)，即l′：8由圆心C（25，20）到直线l′：8x﹣6y﹣8k﹣7＝0的距离为|8×25−6×20−8k−7|8即|73﹣8k|＝50，解得k=238或故选：AC．11．【答案】ABD【解答】解：对于A，由条件概率的定义，可得P（B|A）＞P（B），选项A正确；对于B，因为P（B|A）＞P（B），所以P（A）P（B|A）＞P（A）P（B），其中P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P（AB）＝P（A）P（又因为P（AB）+P（AB）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A），所以P（AB）＞P（B）•[P（AB）+P（AB）]，即P（AB）﹣P（AB）•P（B）＞P（B）P（AB），即P（AB）[1﹣P（B）]＞P（B）P（AB），因为P（B）∈（0，1），所以P(AB)P(B)＞P(AB)\对于C，指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），可得μ＝5.40，σ＝0.05，则μ﹣σ＝5.35，μ+3σ＝5.55，因为P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974，所以P（μ﹣σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.6826×12+0.9974×对于D，由m～B（M，0.84），可得P(m=45)=C设f（x）=Cx45•0.8445•0.16x﹣45，由f(x+1)解得x＜110421≈52.6，故f令f(x)f(x−1)=C解得x＞3757=53+47所以P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为53，选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】−2【解答】解：设f（x）＝e2ax，则f′（x）＝2ae2ax，因为曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线斜率为−4所以f′（0）＝2a=−4解得a=−2故答案为：−213．【答案】37【解答】解：根据题意，一枪手进行射击训练，共射击6次，设该抢手每次命中的概率为p，用X表示6次射击训练中命中的次数，则X～B（6，p），若总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则有C62×p2×（1﹣p）4=C63×即15p2（1﹣p）4＝20p3（1﹣p）3，变形可得15（1﹣p）＝20p，解可得p=3故答案为：3714．【答案】4050．【解答】解：用x替换y可得f（xy）＝yf（x）＝xf（y），当x≠0，y≠0时，f(x)x=f(y)于是当x≠0时，f（x）＝cx，其中c为常数，故4c＝c+6，解得c＝2，于是f（2025）＝2×2025＝4050．故答案为：4050．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15．【答案】（1）60；（2）T4＝﹣160x3【解答】解：（1）二项式(2x−1x)6的通项Tr+1=C6r（2x）6﹣r(−1x令6−32r＝0，解得故展开式中的常数项为T5＝22C6（2）依题意，展开式中二项式系数最大的项为中间项，即第4项，T4＝﹣23C63x16．【答案】（1）23，74；（2）分布列见解析，E(X)=7【解答】解：（1）由表格可得A组成绩的极差为99﹣76＝23，因为10×30%＝3，所以B组成绩的第30百分位数为73+752（2）根据题意得，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，所以X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C所以X的分布列为：X012p2512110所以E(X)=0×217．【答案】（1）证明见解答；（2）255【解答】解：（1）证明：因为EF2=CF故EF2+CE2＝CF2，所以EF⊥CE，又A1G∥CE，故EF⊥A1G，取CD中点M，连接D1M，GM，EM，因为E，M分别为AB，CD的中点，故EM∥FD1，所以E、F、D1、M四点共面．易知四边形DD1GM为正方形，故DG⊥DM，又FD1⊥平面DCC1D1，DG⊂平面DCC1D1，故FD1⊥DG，而FD1∩D1M＝D1，FD1、D1M⊂平面EFD1M，故DG⊥平面EFD1M．因为EF⊂平面EFD1M，所以EF⊥DG，又A1G∩DG＝G，A1G、DG⊂平面A1DG，所以EF⊥平面A1DG，而EF⊂平面CEF，故平面CEF⊥平面A1DG；（2）以D为坐标原点，DA→，DC→，DD1→分别为x则C（0，4，0），E(22，2，0)，则DC→=(0，4，0)，DF→=(2设平面DCF的一个法向量m→则m→可取m→设平面CEF的一个法向量n→则n→可取n→=(2，22则|cos〈m故二面角D﹣CF﹣E的正弦值为1−(518．【答案】（1）X的分布列为：X0123P（1﹣p）33p（1﹣p）36p2（1﹣p）3p3（6p2﹣15p+10）（2）（12【解答】解：（1）根据题意，则X所有可能的取值为0，1，2，3，于是P（X＝0）＝（1﹣p）3，P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C42p3(1−p)2∴X的分布列为：X0123P（1﹣p）33p（1﹣p）36p2（1﹣p）3p3（6p2﹣15p+10）（2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，则P(B)=C32p3(1−p)+C32p(1−p记事件A为“甲获胜”，则事件AB表示“进行了4局比赛以后甲获胜”，则P(AB)=C∴进行了4局比赛分出胜负的情况