第三课时矩形的判定课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形21.3.1第三课时：矩形的判定学习目标1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.重点：理解并掌握矩形的判定定理难点：解决简单的证明题和计算题复习导入四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：边：对边平行且相等.角：对角相等；邻角互补；四个角都是直角.对角线：相等且互相平分.复习导入直角三角形斜边的中线的性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

在Rt三角形ABC中∵∠ABC=90°,BO是AC边的中线

数学语言：ABCO探究新知知识点1判定1矩形的定义是判定矩形的一种方法.矩形的判定1：

有一个角是直角的平行四边形是矩形.∵在ABCD中∠B=90°∴四边形ABCD是矩形ABCD∟几何语言典例解析题型1有一个角是直角的平行四边形例1如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，AE⊥BD，垂足为E．若AB=3，BC=4，AC=5.求证：四边形ABCD是矩形；证明：∵AB=3，BC=4，AC=5，∴AB2＋BC2=32＋42=25=AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．针对训练1.如图，在▱ABCD中，E,F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC。…∴△ABF≅△DCE

(SSS)。∴∠B=∠C。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∴∠B+∠C=180∘。∴∠B=∠C=90∘。∴四边形ABCD是矩形。针对训练2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF。求证：(1)△BDE≅△FAE；(2)四边形ADCF为矩形。证明：(1)∵AF∥BC，∴∠DBE=∠AFE。∵E是线段AD的中点，∴DE=AE。∵∠DEB=∠AEF，∴△BDE≅△FAE

(AAS)。(2)∵△BDE≅△FAE，∴AF=BD。∵D是线段BC的中点，∴BD=CD，∴AF=CD。∴四边形ADCF是平行四边形。∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90∘。∴四边形ADCF为矩形。探究新知知识点2判定2我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？已知：如图,在□ABCD中,AC

,

DB是它的两条对角线,

AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD探究新知知识点2判定2矩形的判定方法2：

对角线相等的平行四边形是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD∴四边形ABCD是矩形几何语言ABCDO探究新知知识点2判定2我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？已知：如图,在□ABCD中,AC

,

DB是它的两条对角线,

AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD典例解析题型2对角线相等的平行四边形例2如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．

A

B

C

D

O解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.针对训练3.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.针对训练4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC。(1)求证：△ADC≅△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形。证明：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB=DE。∴∠B=∠EDC。又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB。∴∠EDC=∠ACD。又∵DC=CD，∴△ADC≅△ECD

(SAS)。(2)∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD=AE。∴AE∥CD。又∵BD=CD，∴AE=CD。∴四边形ADCE是平行四边形。又∵AC=DE，∴四边形ADCE是矩形。针对训练5.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠AFG=∠DCG．∵G为AD的中点，∴AG=DG．又∵∠AGF=∠DGC，∴△AGF≌△DGC（AAS）．∴AF=CD．∴AB=AF．

探究新知知识点3判定3ABDC有一个角是直角的四边形ABDC画一画：判断所画四边形一定是矩形吗?ABDC有两个角是直角的四边形有三个角是直角的四边形XX？如何证明？探究新知知识点3判定3已知：在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵

∠A=∠B=90°∴

∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形ABCD探究新知知识点3判定3ABCD矩形的判定方法3：有三个角是直角的四边形是矩形.∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言典例解析题型3含三个直角的四边形例3

如图，▱ABCD

的四个内角的平分线分别相交于点

E，F，G，H.

求证：四边形

EFGH是矩形.证明：∵四边形

ABCD是平行四边形，∴∠BAD

+∠ADC=180°.又

AE与

DF

分别为∠BAD、

∠ADC的平分线，∴

四边形

EFGH为矩形.同理∠H=∠AEB=90°，∴∠F=90°.∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC∴∠FEH

=∠AEB

=90°.∴

AB∥CD.

=(∠BAD+∠ADC)=90°.针对训练6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．针对训练7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，AE分别是∠BAC和外角∠BAF的平分线，且BE⊥AE．求证：四边形AEBD是矩形．

2、要判定一个四边形是矩形，需要什么条件？1、要判定一个平行四边形是矩形，需要什么条件？一个角是直角或对角线相等平行四边形矩形四边形矩形三个角是直角

提示：判定一个四边形是矩形，应先认清是任意四边形，还是平行四边形，然后选择适当的方法判定。归纳总结典例解析题型4综合运用例4、判断下列说法是否正确，若错请改正：对角线相等的四边形是矩形.()对角线互相平分且相等的四边形是矩形.()有一个角是直角的四边形是矩形.()四个角都相等的四边形是矩形.()对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.()×√×√×针对训练8.如图，在△ABC中，AC