2022年大学初等数论考试题库及答案

2022年大学初等数论考试题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若整数a满足a≡5(mod7)且a≡3(mod11)，则a模77的最小正剩余为A.33B.38C.43D.482.设p为素数，则模p的原根个数为A.p−1B.φ(p−1)C.pD.13.若gcd(a,b)=1且a|bc，则下列一定成立的是A.a|cB.b|cC.a|bD.c|a4.同余方程x²≡1(mod24)的解的个数为A.2B.4C.6D.85.若n>1且2ⁿ−1为素数，则n必为A.偶数B.奇合数C.素数D.任意正整数6.设m=2³·3²·5，则φ(m)等于A.80B.96C.120D.1607.勒让德符号(−1/p)=1当且仅当素数p满足A.p≡1(mod4)B.p≡3(mod4)C.p≡1(mod8)D.p≡7(mod8)8.若a模m的阶为k，则a²模m的阶为A.k/2B.kC.k/gcd(2,k)D.2k9.设p为奇素数，则模p²的原根个数为A.φ(p−1)B.pφ(p−1)C.φ(p²)D.φ(p−1)·p10.若连分数[2;1,3,1,4]的渐近分数p₅/q₅为A.94/37B.71/27C.45/17D.53/21二、填空题（每题2分，共20分）11.整数5671模13的最小正剩余为________。12.若a≡7(mod9)且a≡4(mod5)，则a模45的最小正剩余为________。13.设p=101，则模p的最小正原根为________。14.若d(n)=18且n最小，则n=________。15.同余方程x²≡11(mod13)的解为x≡±________(mod13)。16.设m=16，则模m的简化剩余系中元素个数为________。17.若a=37，b=17，则a⁻¹模b为________。18.连分数[3;2,1,2]的值等于________（写最简分数）。19.若σ(n)=224且n为完全数，则n=________。20.设p=257，则(3/p)=________（勒让德符号）。三、判断题（每题2分，共20分）21.若a|bc且gcd(a,b)=1，则a|c。22.任意两个互素的正整数a,b，一定存在整数x,y使ax+by=2。23.若p为素数，则模p的二次剩余恰有(p−1)/2个。24.若n>2，则欧拉函数φ(n)必为偶数。25.若a模m的阶为k，则k|φ(m)。26.若p≡3(mod4)，则x²≡−1(modp)无解。27.若m>1无平方因子，则模m必有原根。28.若n为偶完全数，则n必可表为2^{p−1}(2^p−1)且2^p−1为梅森素数。29.连分数展开有限当且仅当该数为有理数。30.若a²≡1(modm)且a≠±1(modm)，则m必为合数。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述中国剩余定理并给出证明思路。32.说明模p原根的定义，并证明：若g为模p原根，则g^k模p的阶为(p−1)/gcd(k,p−1)。33.给出勒让德符号(2/p)的判定法则并证明其正确性。34.简述连分数在求解佩尔方程x²−Dy²=1中的应用步骤。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论为何RSA加密算法要求模数n=pq中的p,q为安全素数，并结合费马小定理说明解密过程的正确性。36.比较欧拉函数、除数函数与莫比乌斯函数在积性函数理论中的异同，并举例说明它们在数论求和中的作用。37.探讨二次互反律在高次互反律研究中的启发作用，并举例说明其推广形式在证明素数分布估计中的应用。38.分析梅森素数与偶完全数之间一一对应关系的深层原因，并讨论该关系对奇完全数存在性研究的启示。答案与解析一、1.B2.B3.A4.B5.C6.B7.A8.C9.B10.A二、11.812.2913.214.18015.716.817.1318.23/719.12020.−1三、21.√22.×23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.√30.√四、31.中国剩余定理：设m₁,…,m_k两两互素，则对任意整数a₁,…,a_k，同余组x≡a_i(modm_i)有唯一解模M=∏m_i。证明思路：构造M_i=M/m_i，求M_i的逆元y_i模m_i，则解x=∑a_iM_iy_imodM。32.原根定义：g模p的阶为p−1。证明：设d=gcd(k,p−1)，则(g^k)^{(p−1)/d}≡(g^{p−1})^{k/d}≡1，且对任意更小指数e有(g^k)^e≠1，故阶为(p−1)/d。33.(2/p)=1当且仅当p≡±1(mod8)。证明：利用高斯引理，考虑2,4,…,2·(p−1)/2模p的最小正剩余，计算其中大于p/2的个数可得结论。34.步骤：1.求√D的连分数展开得周期；2.计算渐近分数p_n/q_n；3.当周期长度l为偶数时，基本解为(p_{l−1},q_{l−1})；若l为奇数，则取(p_{2l−1},q_{2l−1})；4.所有解由基本解幂次生成。五、35.安全素数p=2p′+1使p−1含大素因子，抵抗p−1分解攻击；解密利用ed≡1(modφ(n))，由费马小定理得m^{ed}≡m(modp)及(modq)，再用CRT合并。36.三者均为积性函数；欧拉函数计数单位，除数函数求和，莫比乌斯函数用于反演；例：∑_{d|n}φ(d)=n，∑_{d|n}σ(d)可用狄利克雷卷积表示，莫比乌斯反演可把f=g1转化为g=fμ。37.二次互反律给出勒让德符号乘积关系，启发高次剩余符号定义；推广如三次互反律用艾森斯坦整数环，证明切