北师大版初中数学八年级下册：图形变换中的直角探究（折叠与旋转）教案

北师大版初中数学八年级下册：图形变换中的直角探究（折叠与旋转）教案

一、课程理念与前沿背景

本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦“图形与几何”领域中的“图形的变化”主题。折叠与旋转是两种基本的合同变换（即全等变换），它们不仅是探索图形性质、沟通图形关系的强大工具，更是发展学生空间观念、几何直观、逻辑推理和创新意识的绝佳载体。

当前数学教育研究强调从“静态几何”向“动态几何”的范式转变。本教案以“直角”这一特殊且关键的几何元素为锚点，深度整合折叠（轴对称变换）与旋转（旋转变换）两种变换。通过精心设计的问题序列与探究活动，引导学生超越对单一技巧的机械记忆，深入理解变换的本质——保距、保角、保对应关系，从而构建关于图形变换的整体认知结构。本设计融入“做数学”（DoingMathematics）的理念，倡导在猜想、操作、验证、表达、应用的完整过程中，实现数学思维从经验到形式的飞跃。

二、教学要素分析

（一）教材内容分析

本课题内容源于北师大版八年级数学下册，是对《三角形的证明》、《图形的平移与旋转》及《勾股定理》等章节知识的综合、深化与应用。教材中，折叠问题常作为勾股定理或特殊三角形性质的应用出现，旋转问题则相对独立。本设计将二者有机整合，揭示其内在联系：折叠是轴对称，可视为旋转的特殊情形（旋转180°两次）；而涉及直角的旋转，常产生新的直角或直角三角形。这种整合有助于学生形成知识网络，提升解决复杂几何问题的能力。

核心知识点包括：

1.轴对称（折叠）的性质：折叠前后图形全等，对应线段相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线。

2.旋转（绕定点）的性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。

3.直角与直角三角形的性质：勾股定理、直角三角形斜边中线定理、含30°角的直角三角形性质等。

4.全等三角形与相似三角形的判定与性质。

5.方程思想：设未知数，利用几何关系（如线段和差、勾股定理）建立方程求解。

（二）学情分析

认知基础：八年级学生已经系统学习了全等三角形、轴对称、平移与旋转的基本概念和性质，掌握了勾股定理及其逆定理，具备一定的几何证明和计算能力。他们能够识别基本图形，进行简单的逻辑推理。

认知障碍与生长点：学生对单一知识点的应用较为熟悉，但面临将折叠、旋转、直角特性等多个知识点融合的复杂情境时，常出现“知识割裂”、“想不到辅助线”、“找不到等量关系”等困难。其空间想象能力多停留在静态层面，对图形变换过程中的动态不变性缺乏深刻体验。因此，教学的生长点在于：引导学生从变换的视角动态观察图形，敏锐识别变换前后的不变量与不变关系，并学会用变换的语言（如对称、旋转）描述和构造几何证明。

（三）教学目标

基于核心素养，制定以下三维目标：

1.知识与技能

1.能熟练运用折叠（轴对称）和旋转的基本性质分析图形中的数量关系（边、角）和位置关系。

2.能综合运用直角三角形的性质、勾股定理、全等与相似三角形的知识解决与折叠、旋转相关的计算和证明问题。

3.掌握解决此类问题的通用策略：识别变换→标记等量→构造直角三角形→建立方程。

2.过程与方法

1.经历“实物操作→软件演示→抽象建模”的探究过程，增强对图形变换的动态感知和空间想象能力。

2.通过解决由易到难、层层递进的问题链，体会转化与化归、数形结合、方程建模等数学思想方法。

3.在合作探究中，发展分析、综合、评价等高阶思维能力，形成解决几何综合问题的策略性思维。

3.情感、态度与价值观

1.感受图形变换的对称美、运动美和数学的统一美，激发探究几何奥秘的兴趣。

2.在克服复杂问题的挑战中，培养严谨求实、坚持不懈的科学态度和创新精神。

3.认识折叠、旋转在建筑、艺术、工程等领域的广泛应用，体会数学的实用价值。

（四）教学重难点

1.教学重点：综合运用折叠、旋转的性质及直角三角形的相关知识解决几何问题。

2.教学难点：在复杂的图形中准确识别变换关系，构造出有效的数学模型（通常是直角三角形）来建立等量关系。

（五）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（集成几何画板动态演示）、矩形和直角三角形纸片若干、实物展台。

2.学生准备：课前复习轴对称与旋转的性质、勾股定理；准备三角板、圆规、直尺。

三、教学过程实施（核心环节）

第一课时：折叠中的直角奥秘

（一）情境导入，激趣引思（预计时间：8分钟）

1.生活观察：展示图片——将一块长方形纸板折起一角，使其恰好紧贴对边，形成一个直角三角区域（如包装盒的封口）。提问：“这个简单的折叠动作中，隐藏着哪些数学关系？”

2.温故知新：快速回顾轴对称（折叠）的核心性质。通过提问强调：“折叠是轴对称，折痕是______？”“折叠前后，对应线段______，对应角______。”“折叠前后，对应点的连线被折痕______。”

3.明确主题：揭示本课将聚焦于“当折叠遇到直角”，探究其中不变的几何规律。

（二）基础探究，建立模型（预计时间：20分钟）

活动一：矩形中的经典折叠

问题1：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10。将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处。求CE的长。

A________B

||

||

D|________|C

EF

（教师引导学生动手折叠矩形纸片，标出对应点）

师生探究：

1.步骤1（识图与标记）：引导学生识别变换：△ADE≌△AFE（折叠）。标记：DE=EF，AD=AF=10，∠D=∠AFE=90°。

2.步骤2（构造关键图形）：连接EF后，观察图形。提问：“AF已知，AB已知，能求出哪条关键线段？”引导学生发现Rt△ABF，由勾股定理：BF²=AF²-AB²=10²-8²=36，故BF=6，则FC=BC-BF=10-6=4。

3.步骤3（建立方程）：设CE=x，则DE=EF=8-x。在Rt△ECF中，∠C=90°，利用勾股定理：(8-x)²=x²+4²。

4.步骤4（求解与反思）：解方程得x=3。引导学生总结解决此类问题的“四步法”：一认折叠（找全等），二标等量，三构直角（利用矩形内角和折叠产生的直角），四列方程（常用勾股定理）。

活动二：直角三角形的折叠

问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。将∠A沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处。求CD的长。

B

/\

/\

/\

/______\

ADC

\

\

E

小组合作探究：

1.关键点拨：折叠带来哪些全等？(△ACD≌△AED)。对应边角有何关系？(CD=DE，AC=AE=6，∠C=∠AED=90°)。

2.探究路径：

1.3.由AC=6，BC=8，∠C=90°，得AB=10，则BE=AB-AE=4。

2.4.设CD=DE=x，则BD=8-x。

3.5.发现两个直角三角形：Rt△DEB和Rt△ACB。在Rt△DEB中，利用勾股定理：x²+4²=(8-x)²。

4.6.解方程得x=3。

7.思维提升：提问：“除了在Rt△DEB中列方程，还能在哪里列？”引导学生发现Rt△ACB与Rt△DEB潜在的关系（共角∠B），亦可利用三角函数或相似三角形求解，感受解法的多样性。

（三）变式深化，形成策略（预计时间：12分钟）

变式问题：将问题1中的矩形改为边长为10的菱形ABCD，∠A=120°，点E在AD上，AE=4。将△ABE沿BE折叠，使点A落在BC边上的点F处。求折痕BE的长度。（难度提升，菱形内角非直角）

引导分析：

1.识别基础关系：△ABE≌△FBE，AB=BF=10，AE=EF=4。

2.难点突破：如何在菱形中利用这些条件？关键是要“创造”出直角三角形。引导学生作辅助线：过点E作EH⊥BC于点H。

3.在菱形中，由∠A=120°，得∠B=60°。在Rt△BEH中，需求BE，但BH和EH均未知。转而先分析Rt△EFH：已知EF=4，需求FH。由AB=BF=10，∠B=60°，可知△ABF是等边三角形吗？引导学生分析BF=AB=10，但∠B=60°，若连接AF，则△ABF是等边三角形，故AF=10，∠AFB=60°。然后通过几何关系逐步求解FH，最终在Rt△BEH中求解BE。

4.此变式的核心价值在于：当图形背景非直角时，主动构造直角三角形是通用策略。

（四）课堂小结，提炼升华（预计时间：5分钟）

引导学生共同总结“折叠问题”的思维导图：

1.核心：轴对称变换（全等）。

2.关键步骤：标等边等角→找直角三角形（或构造之）→设元列方程。

3.数学思想：方程思想、数形结合、转化思想。

第二课时：旋转中的直角生成

（一）衔接导入，类比迁移（预计时间：7分钟）

1.对比引入：回顾上节课折叠（轴对称）的核心是“翻折”，今天学习“旋转”。提问：“旋转与折叠在性质上有何异同？”（同：保形、保距、保角；异：折叠有对称轴，旋转有中心与角度）。

2.动态演示：使用几何画板，将一个含直角的三角形绕其一个顶点旋转任意角度。让学生观察：旋转过程中，哪些量变了？哪些量没变？特别关注直角的旋转结果。

3.提出核心问题：“当一个直角图形旋转时，可能会‘创造’出哪些新的几何关系，特别是与直角相关的关系？”

（二）核心探究，把握本质（预计时间：25分钟）

活动一：直角顶点的旋转——产生“手拉手”模型

问题3：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC。将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP‘。连接PP‘，求证：△BPP’是等腰直角三角形。

P'

|

|

C---B---A

|

|

P

师生深度探究：

1.步骤1（理解旋转结构）：明确旋转中心(B)、旋转方向(顺时针)、旋转角(90°)。因此，BP=BP‘，且∠PBP’=90°。这是证明△BPP‘是等腰直角三角形的关键。

2.步骤2（拓展追问）：提问：“除了BP=BP‘，还有哪些等量关系？”引导学生发现由旋转全等：△ABP≌△CBP‘，故AP=CP’。

3.步骤3（动态延伸）：几何画板演示，当点P在平面内运动时，△BPP‘始终保持等腰直角三角形的形状。提问：“连接AP‘，CP，这两条线段有何关系？”引导学生猜想并证明AP‘⊥CP（或相等，取决于旋转角度）。此处引出经典的“手拉手”全等模型（△ABP≌△CBP‘）和“手拉手”相似模型（若旋转角非90°，则为相似）。

4.步骤4（模型抽象）：总结“共顶点等线段旋转模型”（手拉手模型）的特征：两个共顶点的等腰三角形（此处是等腰直角三角形），顶角相等（旋转角），可得一组全等三角形，从而导出新线段的关系（相等或垂直）。

活动二：非直角顶点的旋转——构造直角三角形

问题4：如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC。已知PA=1，PB=2，PC=3。将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BPA‘。求∠APB的度数。

A________B

||

|P|

||

D|________|C

A'

小组攻坚探究：

1.步骤1（执行旋转操作）：明确旋转动作：△BPC绕B逆时针转90°至△BPA‘。因此，BP=BP‘=2，且∠PBP’=90°；PC=PA‘=3。

2.步骤2（分析新图形）：连接PP‘。由BP=BP’，∠PBP‘=90°，得△BPP’为等腰直角三角形，故PP‘=2√2，∠BPP’=45°。

3.步骤3（寻找联系）：观察△APP‘。已知AP=1，PP’=2√2，PA‘=3。提问：“这三边长度让你联想到什么？”引导学生计算：1²+(2√2)²=1+8=9=3²。即AP²+PP‘²=PA’²。

4.步骤4（应用逆定理）：由勾股定理的逆定理，得∠APP‘=90°。

5.步骤5（求解目标角）：∠APB=∠APP‘+∠BPP’=90°+45°=135°。

6.方法提炼：本题的精华在于，通过旋转将分散的三条线段(PA，PB，PC)集中到一个三角形(△APP‘)中，并“无中生有”地构造出一个关键的直角三角形(△APP‘)，从而利用勾股定理逆定理揭示隐藏的直角关系。这是旋转法解题的至高境界。

（三）综合应用，挑战思维（预计时间：10分钟）

跨课时综合问题：

问题5：有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=3。如图，先将矩形对折，使AD与BC重合，折痕为EF；接着将纸片展开，再将△ABG沿BG折叠，使点A落在EF上的点H处。最后，将△BCH绕点H顺时针旋转一个锐角，使点C恰好落在AG的延长线上点C‘处。求旋转角的度数。

（本题融合了对折（对称）、折叠（对称）、旋转三种变换，是对学生综合能力的终极挑战。）

分层引导：

1.第一层（理清步骤）：带领学生分步理解题目中描述的三个操作，在图上依次作出变换后的图形。

2.第二层（分析对折与折叠）：

1.3.对折EF是AD、BC的中垂线，E、F为AB、DC中点。EF=AB=4，点H在EF上。

2.4.折叠△ABG使A落于H，则△ABG≌△HBG，AB=BH=4，AG=GH。

3.5.在Rt△BEH中，BE=AB/2=2，BH=4，可得EH=2√3，从而确定H点位置，并可求∠EBH=60°。

6.第三层（分析旋转）：旋转中心是H。旋转对象是△BCH。旋转结果是点C落在AG延长线C‘上。连接HC’。

1.7.由旋转性质：HC=HC‘，∠CHC’即为旋转角。

2.8.目标是求∠CHC‘。由于HC=HC‘，可考虑等腰△HCC’。

3.9.关键突破：证明C‘，H，B三点共线？或利用其他几何关系确定∠CHC’。需要综合运用前面得出的角度（如∠EBH=60°导致∠ABC相关角为30°）和边长进行计算。

10.第四层（求解与反思）：通过计算或几何证明，最终得出旋转角为30°。引导学生回顾整个思维历程，体会如何将复杂问题分解为若干熟悉的模型（矩形折叠、含30°的直角三角形、旋转性质），感受数学的连贯与力量。

（四）课堂总结，体系构建（预计时间：8分钟）

对比与联系：带领学生从变换的视角，绘制折叠与旋转的对比图。

特征

折叠（轴对称）

旋转

本质

翻折，直线对称

绕定点转动

不变量

图形的形状与大小

图形的形状与大小

关键元素

对称轴（折痕）

旋转中心、旋转角、旋转方向

产生的常见关系

线段相等、角相等、垂直平分

线段相等、角相等（旋转角）、等腰/等边三角形、“手拉手”模型

通用策略

标全等，构直角，列方程

集中条件，构特殊形（等腰Rt△，“手拉手”），用勾股（逆）定理

核心思想重申：无论是折叠还是旋转，本质都是全等变换。解题的万能钥匙是：动态地观察图形，识别并运用变换带来的等量关系，在需要时主动构造直角三角形，搭建已知与未知之间的桥梁（通常通过方程或特殊三角形性质）。

四、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在操作、讨论、发言中的参与度，对几何语言使用的准确性，以及思维的逻辑性。

2.3.探究单/学案：检查学生在问题链探究过程中填写的关键步骤、推理过程和方程，评估其分析问题和建模能力。

3.4.小组合作评价：通过小组汇报、互评，考察学生的协作交流和批判性思维。

5.终结性评价：

1.6.分层作业设计：

1.2.7.基础巩固（必做）：3-4道直接应用折叠/旋转性质与勾股定理的计算题。

2.3.8.能力提升（选做）：2-3道需要添加辅助线或综合利用知识的证明题和计算题（如类似活动二的变式）。

3.4.9.拓展挑战（研学）：1道类似问题5的综合应用题，或一道联系实际的微项目（如：“设计一个通过两次折叠和一次旋转，将矩形纸片变成一个指定