数学精讲几何2

GCT考点精讲班.数学

初等数学.三角函数

三角函数一内容综述

1.定义（符号，特殊角的三角函数值）

sina=y,cosa=x

sinacosa

tana=------,cota=-----

cosasina

11

seca=------,csca=------

cosasina

2.三角函数的图像和性质（微积分）

y=sinx

j=cosx

0000

正弦函数sinx是定义域为（-,+）,值域为［—1，1］的奇函数；

余弦函数cosx是定义域为（—8,+8），值域为［-1,1］的偶函数；

71

{x|xeR,x^Z：7i+—}

正切函数tanx是定义域为2（k是整数），值

域为''7的奇函数；

余切函数cotx是定义域为{XIXER，*E}（k是整数）,值域为

（-8,+8）的奇函数.

3.常用的三角函数恒等式

2.21

cosx+sinx=l,

{sec2x=l+tan2x

（2）和角公式：sin（x±y）=sinxcosy±cosxsiny,

cos（x±y）=cosxcosy,sinxsiny,

tanx±tany

tan(x±y)=

1+tanxtanj

3)倍角公式sin2x=2sinxcosx

「2tanx

cos2x=cos2x-sin2x.tan2x=-----------

1—tan~x

4)诱导公式

7T7T

sin(—+尸)=cosp.cos(—+)3)=-sindsin(兀+4)=-sin尸

4.反三角函数

兀71

y=arcsinx,[——y=arccosx9[0,it]

^arctanx,(4^)；^arccotx,(0,.)

y=arcsiney=arccosxy=arctanx

5.正弦定理和余弦定理

B

aC

4723A/28A/6

A.---------B.---------C.---------

383

5A/2

D.---------

6

EC

分析：由条件知，tanACDE=----，但

CD

ABABBFBEEC

-------=---------X--------X--------X--------

CDBFBEECCD

=cos30x——!——xsin60xtanACDE

sin45

立X0x走Xtan/CDE.

22

Q4V2

所以t^nZCDE=^==

3V2"T"

例10-3已知

A={xsinx>cos[0,2TI]},B=[Xtanx<sinx}

，求An5.

分析由于

715兀

A={xsinx>cos[0,2兀]}={x—<x<

4

i13

B-{xtanx<sinA:}={x(2k+—)71<x<(2k+1)兀or(2k+

22

71

，所以ACB={x—<x<兀}.

，则cosle十二〕的值是

例10-4.(2005)已知〃<0,COS<9=P+1

2a6J

V311A/3

A.----------B.------------------C.-D.------

2222

答：A.

cos6>=-^-^

分析由于所以

2a

71、2

(〃2一1)2

*26T+1

sin<9=1-<0，故sin8=0.又

2a,4。2

Z)〃2+]

因为a<0

所以cosc/=---------=一1,从而

2a

V3

cos(8+%=

-----.故正确选项为A.

2

例io-5.(2010)如果sin(a+£)=0.8,cos(a一1)=0.3,那么

(sina一cosa)(sin/3-cos尸)=()

A.0.6B.0.5c.—0.5D.—0.6

答c.

分析：因为sin(a+/?)=0.8,cos(a-0=0.3,所以

(sina-cos①(sinf3-cos/)

=sinasin/3-sinacos°-cosasin/+cosacos/3

=[cosacos/y+sinasin/?]一[sinacos/3+cosasin/?]

=cos(«_/3)_sin(a+4)

=0.3—0.8=—0.5.

例10-6.(2011)三个边长为1的正方形拼成如图所示的图形，

图中有两条线段相交的锐角为〃，tana=().

V3V21

A.-------B.-------C.—D.1

222

答：D.

分析：如图，角a是AA5C的外角，所

以。=Z.A+/B

)BD1

又因为tanA.———

AB3z

tan五空△所以

BE2

11

-+—

tanA+tanB

tana=tan(A+B)=32=i

11

1-tanAtanB1——x—

32

TT

例io-7：在AABC中，若b=5,/B=—,tanA=2,则

4

sinA=；a=

2710

分析：如图，因为tanA=2,所以sinA=

sinAsinB

根据正弦定理--------二---------，得

ab

〃=黯-君"5=2疝

例10-8.(2012)若三角形A3C中，角的对边分别为。力，C,则表达式

abccosAcosBcosCx

------+--------1--------）的值为（A）.

a*12+b2+c2abc

123

A.—B.—C.1D.—

232

222222

b+c-aDa+c-b

分析：因为cosA=--------------,cosB=----------------

2bc2ac

「a2+b2-c2

cosC=--------------，所以

lab

abccosAcosBcosCx

27^2++）

ci+b+c———

_abca1+b2+c2_1

a2+b2+c2labc2

答：A

特殊值代入法：取〃=h=c=1,则

abczcosAcosBcosCx1cl1

-3——5——----+-----+-----)=—x3x—=一.

6/2+b2+c2abc322

例io-9.设三角形的三条边分别为ahc,面积为S,已知

a=4,b=5,S=5-\/3,求。.

分析：根据S=^a£>sinC及a=4,b=5,S=5石可得

sinC=走，所以

2

cosC=±—

2

当COS。=—时，有=。2+52—2Q〃COSC=21;

2

当cosC=—!时，有c?=Q2+/72—2abcosC=61.

2

兀7137r

例lo-io.设0<x<一,—<y<—,则

224

sinysin(x+)),cos(x+y)从小到大的次序为().

A.c