高考数学专题讲义：考点4 函数的概念及表示

考点四函数的概念与表示

知识梳理

1.函数的基本概念

(1)函数的定义

设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x,

在集合8中都有唯一确定的数./U)和它对应，称为从集合A到集合6的一个函数，通

常记为/：或)，=4£心：£4).

(2)函数的定义域、值域：

在函数)，=/U),中，/叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域：与x的值相对应

的)，值叫做函数值，函数值的集合｛«仇［£川叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函

数相等的依据.

(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

2.分段函数

在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数.分段函数的定义

域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集.

3.映射的概念

一般地，设A、8是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系力使对于集合A中的任意

一个元素■在集合3中都有唯一确定的元素'与之对应，那么就称对应/：A-3为从集合A

到集合B的一个映射.

4.常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

⑶一次函数、二次函数的定义域为R.

(4»="(〃>0且a#1),y=sinx,y=cosx,定义域均为R.

(5)y=tan*的定义域为｛用对履+看kQZ).

5.基本初等函数的值域

(l)y=匕+伏kWO)的值域是R.

(2)y=加+力x+(?(“#0)的值域是：

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当〃>()时，值域为|)，|y2处二匕1：

4a

当aVO时，值域为J)，|yW处二Q：

；r4a

(3)y=§伏WO)的值域是｛)，|y=O).

(4))，="3>0且a#1)的值域是｛)廿>0).

(5)y=logux(a>0且aW1)的值域是R.

(6)y=sin.r,)，=cos上的值域是[―1,1J.

⑺产tanX的值域是R.

典例剖析

题型一函数的概念

例1下列各组函数中，表示同一函数的是.(填序号)

①次x)=k1，g(.x)=«P②火x)=，F,g(x)=(y[x)2

f—1_________________

③•八%)=\二Pg(x)=x+l®fix)=y[x+\ylx—\,

X1

答案①

解析①中，g(x)=H，，加•尸g(x).

②中，」x)=Kr£R),g(x)=xa2O),

••・两函数的定义域不同.

③中，J(X)=XI1(A^l),g(X)=XIl(A-CR),

・••两函数的定义域不同.

④中，ADudTHG7a+lNO且X-120)，

危)的定义域为｛#21｝;

8。)=、*一1(立一120),

g(x)的定义域为｛小，1或T｝.

，两函数的定义域不同.故选①.

变式训练下列四个图象中，是函数图象的是.(填序号)

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00

答案①③④

解析由每一个自变量X充应唯一一个'/U)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.

解题要点1.判断是否是同一函数关键看两点：①定义域相同；2对应关系相同.

2.判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一

个因变量.

题型二函数解析式求法

例2⑴已知a/I+l)=x-2G，则儿6=.

(2)己知/U)是一次函数，且满足3/U+1)—2"—l)=2r+17,则人外=.

(3)已知7U)是二次函数，且满足<0)=1,«LH)=XX)+2T,求yu).

答案(1)凡6=/—1(》21)，(2)凡1)=入+7,(3)凡外=/一工+1

解析⑴(换元法)设5+1=«彦1),则G=/—l.代入./h/Rl)=x+2S，得M=F—1(121)，

•'-fix)=jr-l(x>1).

(2)(待定系数法)设凡t)=a;•+仇〃关0),

贝I]3/3+IL2仆—l)=3aK+3a+3Z>—2at+2。-2b=ar+5a+〃，

即奴+5〃+力=2x+17不论x为何值都成立，

〃=2,

解得+7.

6+5。=17,

(3)(待定系数法)•・•贝%)是二次函数，，设/)=加+法+c(arO).由a)=1,得c=l.

由火x+l)=y(x)+2x»得i/(x+I)2+/?(.¥+1)4-1=3/+法+1)+1¥,

整理，得(2a—2)x+(a+/?)=0,

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例4求下列函数的值域

(l)y=『+2x,xE[0,3]；

(2)y=x->/3x-2;

2i—1

⑶产TTP曰3,51；

(4)fix)=x—\[\—2x.

解析(1)(配方法)

)，=炉+2¥=(1+1)2-1,

•・j，=a+i)2-i在[(),3]上为增函数，

・・・0WyW15,

即函数y=f+2Xx£[0，3])的值域为10，⑸.

⑵（换元法）设［3戈-2=f,;20,则

故所求函数的值域为［一心，+8）

2r—133

（3）（分离常数法）由）=—^=2—工，结合图象知，函数在［3,5］上是增函数，所以），„次=引

人I1人I1J

ymin=点故所求函数的值域是《，

（4）（单调性法加力的定义域为（-8,I］,容易判断凡6为增函数，

所以凡即函数的值域是（一8,

题型五分段函数

例5（1）已知函数yu）=

*

（2）已知函数

—ta

答案（1）1⑵一2

解析（1w（1））=y（iog.4）=A-2）=22=1.

n「n、

⑵・・丁0,yj,

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・・・{5=_tan?=一|,

•如■O=/(T)=2X(T)3=_2.

2Xx>0

变式训练已知函数/")=*=若贝〃)+外)=0,则实数〃的值等于_______.

x-vI,xWO,

答案一3

解析(1)由题意知/u)=2i=2.•・•/(〃)+*)=(),・・・wm+2=o.

①当a>0时，及。=2”,2"+2=0无解；

②当“WO时，贝〃)=〃+1,/.«+1+2=0,，4=-3.

解题要点1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则.2.在求分段函数

值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分

类讨论.

当堂练习

I.函数.")=5+1+三二的定义域为______.

Z入

答案{.很2—1且x#2}

2.函数y=2—1―f+4x的值域是.

答案［0,2)

解析一f+4x=-(x-2)2+4<4,

047—9+4超2,

—2W—yj—x2-^-4x^0,

0W2-dT+4xW2,所以0WyW2.

3.若函数yfU)的定义域为M={x|-2WxW2},值域为N={y|0<)W2},则函数)，=凡¥)的图

象可能是.

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0

①④

答案②

4.设函数人2—则〃等于一

答案!

55

解析由题意，得

62

35

--，解得/厂/

22

若,一6V1,即时，3X0—/?）—力=4,

解得b=\（舍去）.

所以

5.函数久DnlogzM+Zr-B）的定义域是.

答案（一8,-3）U（1,+8）

解析需满足f+2r-3>0,解得x>1或xV—3,

所以«r）的定义域为（一e,-3）u（l,+E）.

课后作业

一、填空题

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1.汽车经过启动、加速行咬、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程

$看作时间，的函数，其图象可能是.

0

①②③④

答案①

解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与，

的函数图象匕是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的.

2.若函数），=/3）的定义域为｛闻-3工工工8/¥5｝,值域为｛y|-lK），K2,y00｝,贝J

）=f（x）的图象可能是.

①②③④

答案②

解析根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的）值和它对应，故排除③；由定义域为

•H-3Vx48,xw5｝排除①、④,选②.

I—小，x20,

3.设/劝=«则/6—2））等于

2X,xVO,

答案!

解析・・・4—2)=2一2=；＞0,则火/(_2))=、

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4.函数y=j1^+lg(2x+l)的定义域是.

答案(一*2)

解析x同时满足不等式2—Q02t+l>0,

解得一故所求函数的定义域是(一/2).

5.设A={01,2,4},0,1,2,6,8),则下列对应关系能构成A到8的映射的是

__________.(填序号)

ay：x-f一］@f.入一。_1)2(3y.X-2X」®f：X^2x

答案③

解析对于选项①，由于集合A中x=0时，/一1=一14B,即A中元素0在集合B中没有元

素与之对应，所以选项①不符合；同理可知②、④两选项均不能构成①到②的映射，选项③符

合.

6.函数16—4，的值域是.

答案［0,4)

解析V4r>0,.\0<16-4'<16,••.0W)，V4.

7.若次2x+1)=6.r+3,则於)的解析式为危尸

答案3%

解析令z=2x+l,贝ijx=,所以,八。=6・+3=33故./(%)=3x

『+1,

8.己知函数负x)=L一若{八1))=4小则实数〃等于__________

2十cix，x>1,

答案2

解析:川)=2,，心l))=/(2)=4+2a=4a,解得a=2.

la(2—V)

9.函数.，+(L1)°的定义域是.

yj\2-tx—x-

答案闵一3令<2且xWl}

2-A->0,x<2,

解析曲12十工一.F)0,得—3y<4,所以一3<x<2且工中1,

X-IW0J/1，

故所求函数的定义域为卜|一34<2且xWl).

10.已知凡、一：)=『+£，则五3)=.

人人

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答案11

解析V/(X--)=(X--)2-|-2,・・・Ar)=f+2(X£R),Z.y(3)=324-2=11.

XX

二、解答题

11.(1)已知人r)是一次函数，且满足凡r+l)-»x-l)=2A+3,求./(x)的解析式.

(2)若二次函数g(x)满足g(l)=l,g(—1)=5,且图象过原点，求g(x)的解析式.

解析(1)设.儿0="+"4。0),

贝iJHxI\)-2j{x-\)=kxIkIb-2kxI2k-2b=-kxI3k-b,

即一心+3人一)=2x+3不论％为何值都成立，

(2)设g(x)=G+/以+c(a#O),•••g(l)=l,g(f)=5,且图象过原点,

a+〃+c=l,(。=3,

a—〃+c=5,解得，力=-2,

c=0