【 数学】二元一次方程组的概念（课件）2025-2026学年 人教版七年级数学下册

第十章

二元一次方程组10.1二元一次方程组的概念

知识关联探究与应用 课堂小结与检测

新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台?知识关联

问题：1、用什么方法解决这个问题较简便

2、列方程，首先要找到什么？列方程问题中所包含的相等关系

知识关联

4、若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数3、本题中包含了哪些必须同时满足的相等关系?大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积这两个相等关系可以分别用方程x+y=6和2x+y=8表示.你能用方程把这些相等关系表示出来吗?

探究与应用

【探究1】

二元一次方程及二元一次方程组这两个方程有什么共同的特点？观察这两个方程，是否为一元一次方程?判断点1：未知数有

个.判断点3：等式两边都是

.21整式x+y=6

①2x+y=8

②判断点2：每个未知数最高次数是

次.

探究与应用

【探究1】

二元一次方程及二元一次方程组

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程叫作二元一次方程.x+y=6

①2x+y=8

②

二元一次方程的条件：

①整式方程；

②只含两个未知数；

③两个未知数系数都不为0；

④含有未知数的项的次数都是1.原方程化简后方程

探究与应用

章引言的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y必须同时满足方程x+y=6①2x+y=8②把这两个方程合在一起，写成x+y=6①2x+y=8②

就组成了一个方程组.

像这样，有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组

【探究1】

二元一次方程及二元一次方程组

探究与应用识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含有两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.

【探究1】

二元一次方程及二元一次方程组探究与应用【理解应用】C例1

有下列方程：①xy

＝1;②2x＝3y;③④x2＋y＝3;⑤⑥ax2＋2x＋3y＝0(a＝0)，其中，二元一次方程有(

)

A．1个B．2个C．3个D．4个

根据二元一次方程的定义，①含未知数的项xy的次数是2；③不是整式方程；④含未知数的项x2，y中，x2的次数不是1.只有②⑤⑥满足．其中⑥已指明a＝0，所以ax2＝0，则方程化简后为2x＋3y＝0.

探究与应用【理解应用】例2

下列方程组是二元一次方程组的是（）A.B.C.D.B未知项的次数是2√未知数出现在分母中探究与应用

【拓展提升】

变式：如果方程2xm-1-3y2m+n=1是二元一次方程，

那么m=，n=2-3解∵方程是二元一次方程∴m=2n=-3∴m-1=12m+n=1

探究与应用【探究2】二元一次方程及二元一次方程组的解探究：满足[探究1]中方程x+y=6，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.x12345y54321

显然，x=1，y=5；x=2，y=4；…；x=5，y=1满足方程x+y=6，也就是使方程x+y=6两边的值相等，它们都是方程x+y=6的解。探究与应用【探究2】二元一次方程及二元一次方程组的解思考1

如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？x=-1，y=7；x=0.1，y=5.9……也都是这个方程的解.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。注意：一般地，一个二元一次方程有无数组解.探究与应用【探究2】二元一次方程及二元一次方程组的解思考2

上表中哪对x、y的值还满足方程2x+y=8②？x=2、y=4还满足方程②．也就是说,它是方程①与方程②的公共解，一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解.方程组还有其他的公共解吗？记作我们把x=2，y=4叫作二元一次方程组的解.x+y=6①2x+y=8②x=2y=4探究与应用【探究2】二元一次方程及二元一次方程组的解

联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.如何判断一对未知数的值是不是二元一次方程组的解呢？首先要判断此解是不是方程组中每个方程的解。若是两个方程的公共解，则就是这个方程组的解.若有一个不符合，则不是方程组的解探究与应用【理解应用】

点拨：关于方程（组）的解，处理方法一般是代入验证或解题例3.二元一次方程组

的解为（）x+y=513y+9x=53

x=4y=3A.x=3y=2C.x=3y=6B.x=4y=2D.C变式：已知

是二元一次方程x+3ky=4的解，则k的值为 ()

A. B.-3

C. D.2探究与应用

【拓展提升】

D

x=-2y=1探究与应用

例4

对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.【理解应用】(1)某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任务.这个项目改进加工方法前、后各用了多少天?依题意得：

解得x+y=82x+4y=28x=2y=6解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天。答：改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天.探究与应用【理解应用】

(2)在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少?根据题意得：

解得

x+y=102x+y=16x=6y=4答：这个队在篮球联赛中，胜6场、输4场.解：设这个队在篮球联赛中，胜x场、输y场探究与应用

【拓展提升】

变式：把一根长13m的钢管截成2m长或3m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？解：设截成2m长的钢管x根，3m长的钢管y根,则2x+3y=13.∵x、y均为非负整数，∴或∴有2种不同的截法：分别是3m长1根、2m长5根；3m长3根、2m长2根.x=5，y=1x=2，y=3.课堂小结与检测

【小结】二元一次方程组二元一次方程每个方程都含有两个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程叫作二元一次方程.二元一次方程组方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫作二元一次方程的解.二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.

【检测】课堂小结与检测1.下列各式中，是二元一次方程的是(

)A．x－4＝y2

B．4x＋y＝6zC.＋1＝yD．5x－2y＝19D

【检测】课堂小结与检测2.x＝－3，y＝1为下列哪一个二元一次方程的解？(

)A．x＋2y＝－1B．x－2y＝1C．2x＋3y＝6D．2x－3y＝－6A【检测】课堂小结与检测B3.下列不是二元一次方程组的是(

)A.x+y=3，x-y=1D.6x+4y=9，y=3x+4C.x=1，y=1x+=1，y+x=2B.【检测】课堂小结与检测4.已知5组数据如下：其中______

是二元一次方程2x－