2025北京十三中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京十三中高三12月月考数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第6页，答题纸第1页至第4页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸第1页上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.设集合,若集合有且仅有个元素,则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（）A. B. C.0 D.14.已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（）A. B. C. D.5.设和分别是方程和的根，则和的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定6.设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.27.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（）A.1000 B.800 C.600 D.4008.在等比数列中，．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数，则的极值点的个数情况可能为（）A.没有极值点 B.有无穷多个极值点C.恰有2026个极值点 D.恰有2027个极值点第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若，则______（用数字作答）12.已知点在抛物线上，则抛物线C的焦点F的坐标为_______；以F为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是_______．（填“相交”“相切”或“相离”）13.已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为______；若在区间上有零点，则的最小值为______．14.若函数，则______；函数的零点个数为______．15.如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：①存在无数条直线平面；②线段长度的取值范围是；③三棱锥的体积最大值为；④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.则其中正确的命题有______.三、解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.在中，．（1）求；（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系．19.已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；（2）当时，讨论的单调性；（3）若集合有且只有一个元素，求的值．21.设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.（1）对，写出所有具有性质的数列A；（2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；（3）对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.

参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ABADCBBACD第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】令，则，令，则，所以.故答案为：12.【答案】由题意可得，所以，所以抛物线C的焦点F的坐标为；由两点间距离公式可得，即为圆的半径，又焦点到准线的距离为2，所以为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是相切.故答案为：；相切.13.【答案】因为直线为函数图象的一条对称轴，所以，解得，又，所以取（答案不唯一）；若在区间上有零点，令，解得，由，故且,又且要求的最小值，故，所以的最小值为；故答案为：（答案不唯一，满足且为正数即可）；.14.【答案】，所以，令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，令，当时，，则，所以函数在上单调递增，且，当时，，当时，，则，所以函数在上单调递增，且，又当时，当时，，作出函数的大致图象如图所示，由图可知函数的图象有且仅有一个交点，所以函数零点的个数为个.故答案为：，15.【答案】对①：过作，交于，连接，则平面，因为点再上运动，故满足条件的直线有无数条.所以①正确；对②：当与重合，为中点时，，所以长度取值范围是是错误的；对③：因为直线平面，所以到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当与重合时，底面积最大，此时的体积最大，为，所以③正确；对④，当，位置确定时，线段的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误.故答案为：①③三、解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.【答案】（1）在中，因为，由余弦定理，得．因为，所以．（2）选择条件①：因为，所以，．由题意得，所以．因为，，所以．由正弦定理，得，又，解得，所以．选择条件②：由题意得，所以．因为，且，所以．又，所以，又，解得或．选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能．17.【答案】（1）如下图，连接交于点，可得点是的中点，连接，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为四边形是边长为1的正方形，所以，又因为平面，平面，所以，由，平面，得平面，又平面，所以；（3）因为平面，平面，所以，由，，平面，得平面，设，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设为平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，或，由，得，或，所以，或.18.【答案】（1）根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场，所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率.（2）根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，共有6场，其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场，则X可取0,1,2，，，，所以X的分布列为X012P数学期望（3）10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，，，由题意，所以，，，所以.19.【答案】（1）由题意，，即，因为右焦点为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，由（1）知，，直线，，直线，直线分别与相交，可得，设以为直径的圆与轴交于点，则，，由可得，即，由在椭圆上可得，即，代入上式可得，即，解得或，即以为直径的圆过轴上的定点和，所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.20.【答案】（1）当时，，所以,得到，所以曲线在点处切线的斜率为．（2）当时，，易知的定义域为，又，因为，所以，所以时，，时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为．（3）因为，所以，易知，当时，的定义域为，所以恒成立，故在上单调递增，又，所以不合题意，当时，的定义域为，此时，所以时，，时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，所以．设，则，当时，，时，，所以的单调递减区间为；单调递增区间为．所以，所以集合有且只有一个元素时．21.【答案】（1）因为，所以，则因为，，，所以，，，又，所以，或，当时，，当时，或，综上所述：所有具有性质的数列A为：、、.（2）由于数列：，其中，不妨设数列：中恰有项为1，若，则符合题意，若，则符合题意，若，则设这项分别为，构造数列，令分别为，数列的其余各项分别为，经检验数列符合题意.（3）对于符合题意的数列，①当为奇数时，存在数列符合