2025北京丰台十二中高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京丰台十二中高三（上）开学考数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第I卷（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.设，则下列选项中不正确的是（）A. B. C. D.5.已知两个单位向量的夹角为，若，则（）A. B. C. D.6.将函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（）A. B. C. D.7.已知函数（），，则的最小值为（）A. B. C. D.8.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（）A. B. C. D.9.已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是（）A.存在唯一的公比，使得B.存在，使得恒成立C.若，当时，恒成立D.当时，恒成立第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线的准线方程为______．12.，则__________.13.若对任意的实数，（）恒成立，则满足条件的一组A，的值为__________，__________.14.如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________.15.已知函数的定义域为R，给出下列四个结论：①使得恒成立的函数存在且有无穷多个；②使得恒成立的函数存在且有无穷多个；③存在在R上单调递减的函数，使得恒成立；④存在函数和实数使得恒成立，且有无穷多个.其中所有正确结论的序号是________．三．解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，，.（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.18.某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取400名用户，从地区随机抽取100名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下：地区地区403012020160408010合计400100用频率估计概率.（1）对地区所抽取的400名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的人数；（2）从，两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数，求至少有1名用户评分不低于80分的概率以及X的数学期望；（3）若地区用户对该公司产品的评分的平均值为，地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明）19.已知椭圆.（1）求的离心率和短轴长；（2）设为原点，直线，动点在椭圆上，过点作的垂线交直线于点，点到直线的距离为1，求的值.20.已知函数的导数为.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求证：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.21.已知数列，若（），则称数列为的m项递增子列；若（），则称数列为的m项递减子列.规定：数列任意一项都是它的1项递增子列或1项递减子列.（1）写出数列2，7，4，5，6，3，8，1的一个4项递增子列和一个4项递减子列；（2）已知数列的s项递减子列末项的最大值为，数列的t项递减子列末项的最大值为.若s<t，求证：>；（3）给定正整数s，t，若各项互不相同的有穷数列存在s+1项递增子列或t+1项递减子列，求数列项数的最小值.

参考答案第I卷（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】根据集合的补集运算，即可求得答案.【详解】由题意可得，结合，故，故选：B2.【答案】D【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】由，则.故选：D.3.【答案】D【分析】根据离心率及的关系可求得，进而求解即可.【详解】由题意，则，所以，则，即，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：D.4.【答案】C【分析】利用不等式的基本性质可判断AB，利用作差法可判断D，利用举反例法可判断C.【详解】对于A，由，两边同时乘以得：，故A正确；对于B，由，两边同时加上可得：，故B正确；对于D，由，可知，故D正确；对于C，当时，不等式不成立，故C错误；故选：C.5.【答案】A【分析】由得，然后结合数量积的运算律及计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A.6.【答案】C【分析】利用函数关于原点对称与函数图象平移变换求出函数的解析式，代入计算可得出的值.【详解】函数的图象关于原点对称的函数的解析式为，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数，故.故选：7.【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由正弦函数的图像的性质及已知条件得到函数对称轴，即可求得的最小值.【详解】，∵，要求的最小值，则函数周期，即.∴函数关于对称，，即，∴的最小值为，故选：B.8.【答案】C【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间.【详解】由题设有，故，故，令，故，故，所以，故选：C.9.【答案】A【分析】根据题设，结合函数单调性的定义、充分、必要条件的定义求解即可.【详解】若，则，由，任取，且，由于，则，而，则，所以在上单调递减，充分性成立；若在上单调递减，取，满足在上单调递减，也满足，而此时，必要性不成立.则“”是“在上单调递减”的充分而不必要条件.故选：A.10.【答案】D【分析】对于A，列出方程组求出判断；对于B，根据题意可知存在，使得即可判断；对于C，求得，易得即可判断；对于D，根据题意，时，可证得，即，得到，再利用即可判断.【详解】对于A，由题得，解得不符合题意，故A错误；对于B，，又，则，当时，即，解得，又，所以存在，使得，故B错误；对于C，，则，，时，，则，故C错误；对于D，，，，又，所以当时，，即时，，又，，则，所以，即，故D正确；故选：D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【分析】根据抛物线方程求出准线方程．【详解】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为，故答案为：．12.【答案】45【分析】由二项式定理即可得到答案.【详解】，令，则，即.故答案为：45.13.【答案】①.1②.（答案不唯一）【分析】应用诱导公式计算求解即可.【详解】若对任意的实数，（）恒成立，则满足条件的一组A，的值为，.故答案为：1；（答案不唯一）.14.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解.【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的侧棱长为h，则B0,0,0AC由于点在线段上，设，则Pt,−2t+2,ℎt，故BP=设点到直线的距离为d，则d=BP⃗=5当时，5t−452+45取最小值故答案为：15.【答案】②④【分析】对于①，由f(x)+f(−x)=sinxf(−x)+f(x)=−sinx，得到在R上为奇函数，即可判断正误；对于②，令f(x)=x32+g(x)，可得则为偶函数，即可判断正误；对于③，由f(x)+f(x+1)=x【详解】对于①，由题可得：f(x)+f(−x)=sinxf(−x)+f(x)=−sinx，所以2f(x)+2f(−x)=0,则在对于②，令f(x)=x32+g(x)，由可得：，则偶函数有无穷多个，则使得恒成立的函数存在且有无穷多个，故②正确；对于③，由题可得f(x)+f(x+1)=x3f(x+1)+f(x+2)=(x+1)3,所以这与函数在R上单调递减矛盾，所以③不正确；对于④，令f(x)=sinx2,a=2kπ,则f(x+a)=sin所以存在函数和实数使得恒成立，且有无穷多个，故④正确；故答案为：②④三．解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）选择见解析，【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）若选择条件①，解法1：利用正弦定理求即可判断，解法2：利用余弦定理得，利用判别式即可判断；若选择条件②，利用同角三角函数平方关系先求，利用两角和的正弦公式得，再利用正弦定理求，最后由三角形的面积公式即可求解；若选择条件③，利用余弦定理即可求，进而得，再由三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为在中，，由正弦定理，，因为，所以；【小问2详解】若选择条件①：，解法1：由正弦定理得，此时，不存在，不符合要求，解法2：将,，，由余弦定理得：，，所以方程无实数解，不存在，不符合要求，若选择条件②：，因为在中，，所以由正弦定理得，所以，，又由正弦定理得，所以三角形的面积为：；若选择条件③：，将,代入余弦定理，，解得：，进而得，所以三角形的面积为：.17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论；（2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可.法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可.【小问1详解】取中点，连接，，则为的中位线.，又且.四边形为平行四边形.又平面，平面∥平面.【小问2详解】法一：延长，交于，连接是等边三角形，为的中点,又且.为的中位线,为的中点又为的中点，为的中位线，，.∵平面平面，平面平面，平面平面.平面，.因此，二面角的平面角为.因此，平面与平面夹角的余弦值为.法二：∵平面平面，平面平面，平面.平面.又等边三角形，为的中点所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.因为，所以，，，设为平面的一个法向量，则AD⋅n=0AE⋅令，解得设为平面的一个法向量易得.设平面与平面夹角为，.因此，平面与平面夹角的余弦值为.18.【答案】（1）（2），（3）【分析】（1）根据比例相等得到，求出；（2）先求出从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的概率和低于80分的概率，求出至少有1名用户评分不低于80分概率，并求出X的取值和对应的概率，得到期望值；（3）计算出，，，故，所以.【小问1详解】设从A地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m名，则，所以．【小问2详解】从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的概率分别为和，评分低于80分的概率分别为和.故至少有1名用户评分不低于80分的概率为.随机变量X的取值为0，1，2故PX=0=0.8×0.9=0.72，PX=2所以EX【小问3详解】，理由如下：，，，其中，所以.19.【答案】（1），短轴长（2）【分析】（1）根据椭圆的方程求出，，，即可求解离心率和短轴长；（2）法1：设点，，由在椭圆上及得，利用距离公式求得，，，根据等面积法求解并化简得，结合即可求解.法2：设点，，由点在椭圆上得，由向量垂直的坐标运算得，若直线斜率不存在，求得；若直线斜率存在，设直线方程为：，利用点到直线的距离公式并化简得，即可求解.【小问1详解】由题意得，，所以，故离心率，短轴长；【小问2详解】法1：设点，，因为点在椭圆上，所以；因为，所以，得，，，，因为点到直线的距离为1，所以PQ×1=OP·整理得，因为，所以，结合，得到，.法2：设点，，因为点在椭圆上，所以；因为，所以，可得x0t+y0m=0若直线斜率不存在，即x0=t=±1，此时，代入（*）解得；若直线斜率存在，即，设直线方程为：，即，点到直线的距离为：，整理得，展开得，由（*）得x0t=−y将x02=2−2又，所以，则有，两边同乘化简得：，又且，所以，所以.20.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）只需求出即可；（2）由题意，只需证明，在时成立即可；（3）由（2）知，所以，对分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，，，，故所求的切线的方程为，即【小问2详解】由得：，记，则因为，所以所以在上单调递增，所以，所以.【小问3详解】由（2）知，所以，当时，因为，所以，所以在上单调递增，所以即在上至多1个零点，所以至多1个极值点，不合题意；当时，由得，变化