2027届高三数学一轮复习课件：第二章　2.2　函数的单调性和最值

第二章函数及其性质2.2函数的单调性和最值知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1函数的单调性1.函数的单调性

单调递增单调递减定义设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.知识拓展单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(1)

>0⇔f(x)在[a,b]上单调递增;

<0⇔f(x)在[a,b]上单调递减.(2)(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0⇔f(x)在[a,b]上单调递增;(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔f(x)在[a,b]上单调递

减.2.函数的单调区间:如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)

在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.3.复合函数的单调性:对于函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u

=φ(x)的单调性相同,则y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,则y=f(φ(x))单调递减.简称“同增异减”.知识点2函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件对于任意的x∈D,都有f(x)≤M;存在x0∈D,使得f(x0)=M对于任意的x∈D,都有f(x)≥M;存在x0∈D,使得f(x0)=M结论M为y=f(x)的最大值M为y=f(x)的最小值知识拓展

1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.2.开区间上的“单峰”连续函数一定存在最大值或最小值.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)函数y=

的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).

()(2)函数y=f(x)在区间I上单调递减的充要条件是∀x1,x2∈I,x1≠x2,都有

>0.

()(3)函数g(x)=x2-3x(x∈[2,4])的最小值为-2.

()

√

✕

✕

2.(易错题)若函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范

围是______________.

[-1,1)

3.函数f(x)=

在区间[1,4]上的最大值为_________,最小值为_________.

3

4.已知函数f(x)在R上单调递减,则f(

)的单调递增区间为_______________.

(-∞,-2]

考点清单考点1函数的单调性角度1单调性的判断典例1

(1)(多选)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是

(

)A.y=ex-e-x

B.y=|x2-2x|C.y=2x+2cosx

D.y=

(2)已知定义在(-2,3-a)上的函数f(x)=

的图象关于原点对称.①求f(x)的解析式;②判断并用定义证明f(x)的单调性.

AC

解析

(1)∵y=ex与y=-e-x为R上的增函数,∴y=ex-e-x为R上的增函数,故A符合题意;由y=|x2-2x|的图象(如图)知,B不符合题意;

对于选项C,易知y'=2-2sinx≥0,∴y=2x+2cosx在(0,+∞)上单调递增,故C符合题意;y=

的定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞),故D不符合题意.(2)①由题意可得f(0)=

=0,-2+3-a=0,解得b=0,a=1,则f(x)=

,此时有f(-x)=

=-f(x),所以f(x)的图象关于原点对称,因此a=1,b=0,故f(x)的解析式为f(x)=

.②f(x)在(-2,2)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-2,2),x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

-

=

=

=

,由-2<x1<x2<2,知4+x1x2>0,x1-x2<0,(4-

)(4-

)>0,故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-2,2)上单调递增.方法总结判断函数单调性的常用方法

变式训练1.(图象法)函数g(x)=x·|x-1|+1的单调递减区间为

()A.

B.

C.[1,+∞)

D.

∪[1,+∞)

B

解析

g(x)=x·|x-1|+1=

画出函数图象,如图所示,根据图象知,函数的单调递减区间为

.

2.(复合法)函数f(x)=

的单调递增区间是

()A.[-1,+∞)

B.(-∞,-1)C.(-∞,0)

D.(0,+∞)

B

解析

f(x)=

可分解为y=2u和u=-x2-2x两个函数,y=2u在R上单调递增,u=-x2-2x=-(x+1)2+1在(-∞,-1)上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减,根据复合函数单调性得

到函数f(x)=

在(-∞,-1)上单调递增.角度2利用单调性比较大小典例2已知函数f(x)为R上的偶函数,对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,均有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))<0成立,若a=f(ln

),b=f(

),c=f(

),则a,b,c的大小关系是()A.c<b<a

B.a<c<b

C.a<b<c

D.c<a<b

B

解析第一步:确定单调区间∵对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,均有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))<0成立,∴函数在区间(-∞,0)上单

调递减,∵f(x)是偶函数,∴当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增.第二步:确定要比较的函数值的自变量是否在同一单调区间内∵1<

<

,又0<ln

<1,∴ln

<

<

,易知ln

,

,

均在(0,+∞)内.第三步:利用单调性比较大小因此f(

)>f(

)>f(ln

),即a<c<b.故选B.方法总结利用函数的单调性比较大小的步骤

变式训练3.(已知条件变式)已知函数f(x)=

若a=50.01,b=log32,c=log20.9,则有()A.f(a)>f(b)>f(c)

B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)

D.f(c)>f(a)>f(b)

A

解析因为y=ex是增函数,y=e-x是减函数,所以f(x)=ex-e-x在(0,+∞)上单调递增,且f(x)>0.又f(x)=-x2在(-∞,0]上单调递增,且f(x)≤0,所以f(x)在R上单调递增.又c=log20.9<0,0<b=log32<1,a=50.01>1,即a>b>c,所以f(a)>f(b)>f(c).角度3利用单调性解函数不等式典例3已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有

<-1,若f(1)=2024,则不等式f(x-1)>2026-x的解集为_____________.

(1,2)

解析因为∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,

<-1,即

<0,令g(x)=f(x)+x,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(1)=2024,所以g(1)=f(1)+1=2025,所以f(x-1)>2026-x等价于g(x-1)>g(1),【f(x-1)>2025-(x-1),即f(x-

1)+(x-1)>g(1),即g(x-1)>g(1)】所以0<x-1<1,解得1<x<2,故所求不等式的解集为(1,2).方法总结求解函数不等式的本质是利用函数的单调性将“f”脱去,转化为关于自变

量的不等式求解,应注意函数的定义域对自变量的限制.变式训练4.(条件结论变式)(多选)(2024届广东茂名期末)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足

<0,且f

=3,f(3)=9,则下列结论中正确的是

(

)A.不等式f(x)>3x的解集为(3,+∞)B.不等式f(x)>3x的解集为(0,3)C.不等式f(x)<6x的解集为

D.不等式f(x)<6x的解集为

BC

解析不妨令x1>x2>0,由

<0,得x2f(x1)-x1f(x2)<0,即

<

,令g(x)=

,则g(x1)<g(x2),故g(x)=

在(0,+∞)上单调递减.对于A,B,由f(x)>3x,得

>3,因为f(3)=9,所以g(3)=

=3,所以g(x)>g(3),又g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以0<x<3,故A错误,B正确;对于C,D,由f(x)<6x,得

<6,因为f

=3,所以g

=

=6,所以g(x)<g

,又g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以x>

,故C正确,D错误.故选BC.角度4利用单调性求参数典例4

(2026届重庆十一中质量监测,7)已知函数f(x)=

在(0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为

()A.[-3,4]

B.(-3,4)

C.(-∞,4]

D.(-∞,4)

A

解析当0<x≤1时,f(x)=e1-x-lnx,求导得f

'(x)=-e1-x-

<0,则f(x)在(0,1]上单调递减.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以

解得-3≤a≤4.故选A.解题技巧利用函数单调性求参数的解题策略1.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调

区间比较求参数.2.分段函数的单调性除要注意各段的单调性,还要注意分界点处的函数值的大小关系.变式训练5.(关键元素变式)(2025届福建厦门一中入学考,5)若函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调

递减,则a的取值范围是

()A.(-∞,2]

B.(-∞,4]

C.[2,+∞)

D.[4,+∞)

D

解析函数y=3x在(-∞,+∞)上单调递增,而函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,所以y=|2x-a|在区间(1,2)上单调递减,依题意得

≥2,解得a≥4,则a的取值范围是[4,+∞).故选D.考点2函数的最值(值域)典例5

(1)函数y=

的值域为

()A.

B.[2,+∞)C.

∪

D.(-∞,2)∪(2,+∞)(2)设函数y=f(x)的定义域为D,对给定正数M,定义函数fM(x)=

则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”.若给定函数f(x)=

M=1,则y=fM(x)的值域为

(

)A.[-2,1]

B.[-1,2]A

D

C.(-∞,2]

D.(-∞,-1]解析

(1)y=

=

=2-

,因为

≠0,所以y=

≠2,因此函数y=

的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).故选D.(2)如图,根据“孪生函数”的定义发现fM(x)图象特点,在y=M上方的变为y=M,其余不变,

由图可知fM(x)的值域为[-2,1].故选A.

典例6

(2025届四川眉山中学三模,6)已知函数f(x)=x2-2x+1,若∃x∈[2,+∞),∀a∈[-1,1]

均有f(x)<m-2am+2成立,则实数m的取值范围为

()A.(-3,1)

B.

C.

D.(-1,3)

B

解析因为∃x∈[2,+∞),∀a∈[-1,1],均有f(x)<m-2am+2成立,所以f(x)min<(m-2am+2)min,因为函数f(x)=x2-2x+1图象的对称轴为直线x=1,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,因此f(x)min=f(2)=1,所以m-2am+2>f(2)=1,即2am-m-1<0∀a∈[-1,1]恒成立,【方法技巧:对于定义域为闭区间的单调函数,最大(小)值一定在端点值处取得,利用两个端点值列不等式组避免分类讨论】令g(a)=2am-m-1,则

解得-

<m<1,因此,实数m的取值范围是

.故选B.方法总结求函数最值的常用方法1.图象法:能作出图象的函数,可先作出函数的图象,再利用函数图象(或函数图象的一

部分)确定函数的最值.2.单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.3.换元法:对较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.4.导数法:先求导,然后求出给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.5.分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常

数和一个分式和的形式.变式训练6.(关键元素变式)已知函数f(x)=

+

.(1)求函数f(x)的单调区间和值域;(2)设F(x)=m

+f(x),求函数F(x)的最大值的表达式