2025-2026学年湖南省长沙市明德教育集团九年级（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市明德教育集团九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2026年中考在即，祝各位同学心想事成，中考必胜.下列四个选项中，是轴对称图形的是（）A.中 B.考 C.必 D.胜2.2025年“湘超”联赛吸引超230万人到现场观赛，将230万用科学记数法表示正确的是（）A.2.3×105 B.2.3×106 C.23×105 D.0.23×1073.若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A.x+2＜y-2 B.2-x＞2-y C.4x＞4y D.-3x＜-3y4.下图是由5个相同小正方体搭成的几何体，它的左视图为（）A.

B.

C.

D.5.下列运算正确的是（）A.a2•a3=a6 B.a2+a2=a4 C.（a-b）2=a2-b2 D.（-a2）3=-a66.某学习小组7名同学的体育测试成绩依次为：45，47，48，50，46，47，43，这一组数据的众数和中位数分别是（）A.48，47 B.47，50 C.47，47 D.47，497.将点A（3，1）绕原点旋转180°，再向右平移2个单位长度得点A′，则点A′的坐标是（）A.（-1，-1） B.（-1，-3） C.（3，-1） D.（7，3）8.对于一次函数y=-x+3，下列结论错误的是（）A.当x＞0时，y随x的增大而减小

B.当x＞-3时，y＜0

C.直线y=-x+3与第二、四象限角平分线所在直线平行

D.函数的图象不经过第三象限9.如图，两个平面镜平行放置，入射光线AB经过两个平面镜反射后，与其反射光线CD平行，若∠1=25°，则∠3的度数为（）A.130° B.120° C.110° D.100°10.如图，OA是⊙O的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交⊙O于点C，连接CO并延长交⊙O于点B，连接BA，则∠OAB的度数是（）A.30°

B.35°

C.40°

D.45°二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.因式分解：3a3-12a=______．12.方程=的解为

.13.一个圆锥，其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则侧面展开图圆心角度数是

.14.设a,b是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则a2-3b+ab=

.15.如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是______．

16.如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=7，点E为直线BC上一动点，连接AE，DE，若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为

.三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：.18.(本小题6分)

先化简，再求值：（a-b）2-2a（a-2b）+（a-b）（b+a），其中，b=2026.19.(本小题6分)

如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE=140m

（1）求两楼之间的距离CD；

（2）求发射塔AB的高度．20.(本小题12分)

为落实“双减”工作，充分践行“五育并举”的理念.某校利用课后服务时间，开设了五个活动小组（每位学生只能参加一个小组）；A.音乐；B.体育；C.美术；D.阅读；E.人工智能.为了解学生对以上活动小组的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题：

（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；

②补全条形统计图；

③扇形统计图中圆心角α=______度；

（2）若该校有1200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；

（3）李老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.21.(本小题6分)

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB=6，AC=8，求EF的长.22.(本小题6分)

“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元.

（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？

（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少.23.(本小题6分)

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF=∠BCD.

（1）求证：CF与⊙O相切；

（2）若，且AD=3DB，求阴影部分的周长（结果保留π）.24.(本小题6分)

已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（-4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B′恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；

（3）如图2，动点P在直线AC下方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求的最大值.25.(本小题18分)

定义：对于凸四边形，我们称对角线相等的四边形称为“对等”四边形，对角线垂直的四边形称为“对垂”四边形.

（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×）.

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是“对等”四边形；（______）

②顺次连接“对垂”四边形四边中点而成的四边形是“对等”四边形.（______）

（2）如图1，四边形ABCD是“对垂”四边形，则下列结论一定正确的是______（填序号）.

①；

②S△AOB+S△COD=S△COB+S△AOD；

③S△AOB•S△COD=S△COB•S△AOD；

④AB2+CD2=BC2+AD2.

（3）如图2，已知四边形ABCD（AD≠BC）既是“对等”四边形，又是“对垂”四边形，且四边形的四个顶点都在⊙O上，连接四边形的对角线AC，BD交于点P.

①若△ADP的面积为2，△BCP的面积为8，求四边形ABCD的面积；

②如图3，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N，若AD+BC=m,MN=n,求⊙O的半径（用含m,n的式子表示）.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】3a（a+2）（a-2）

12.【答案】x=3

13.【答案】90°

14.【答案】9

15.【答案】-6

16.【答案】

17.【答案】-2．

18.【答案】2ab，-2026．

19.【答案】解：（1）过点E作EF⊥AC于点F，

∵∠AEF=45°，AE=140，

∴EF=140，

由矩形的性质可知：CD=EF=140，

故两楼之间的距离为140m；

（2）在Rt△ADC中，

tanα=，

∴AC=140×=480，

∴AB=AC-BC=480-452=28，

故发射塔AB的高度为28m．

20.【答案】200;54

420

21.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵∠BAC=90°，E是BC的中点，

∴AE=CE=BC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，

∴BC==10，

∵△ABC的面积=BC×AH=AB×AC，

∴AH==，

∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，

∴CD=CE，

∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，

∴EF=AH=．

22.【答案】每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元

购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少

23.【答案】如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∴∠BCD+∠ABC=90°，

∴∠A=∠BCD，

∵∠BCD=∠BCF，

∴∠ACO=∠BCF，

∵∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠BCF+∠OCB=∠OCF=90°，

∴OC⊥CF，

又∵OC是半径，

∴CF与⊙O相切

24.【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x-x1）（x-x2），

则y=a（x+4）（x-1）=a（x2+3x-4）=ax2+bx-4，

则a=1，

故抛物线的表达式为：y=x2+3x-4；

（2）由题意知，AB=AB′=5，

设抛物线的对称轴交x轴于点H，由抛物线的表达式知，其对称轴为x=-，

则AH==AB′，则∠AB′H=30°，则∠BAB′=60°，

则∠BAD=∠DAB′=∠BAB′=30°，

则OD=AO•tan∠BAD=4×=，

则点D（0，-）；

（3）设点P的坐标为：（m,m2+3m-4），

由点A、C的坐标得，直线AC和x轴的坐标轴的夹角为45°，而AC⊥PE，则直线PE和x轴负半轴的夹角为45°，

则直线