江苏省南京市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.2 极值点教学设计 苏教版选修2-2

课题江苏省南京市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.2极值点教学设计苏教版选修2-2课时安排1课前准备XX教学内容分析1.本节课的主要教学内容为苏教版选修2-2第一章“导数及其应用”中的1.3.2节“极值点”。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容在学生已经掌握导数基本概念的基础上，进一步引导学生理解导数在研究函数极值点中的应用，为后续学习函数性质和图像分析打下基础。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过引导学生探究导数在研究函数极值点中的作用，提升学生运用数学语言描述和分析现实问题的能力；通过解决实际问题，培养学生的数学建模意识；通过逻辑推理和直观想象，增强学生的数学思维品质；通过运算练习，提高学生的数学运算能力。教学难点与重点1.教学重点

本节课的核心内容是导数在研究函数极值点中的应用。重点包括：

（1）理解导数的几何意义，即导数表示函数在某点的切线斜率。

（2）掌握导数等于零的必要条件，即函数在某点的极值点处导数为零。

（3）学会通过导数的正负变化判断函数的极值类型。

举例：例如，对于函数f(x)=x^3-3x，要求学生找到其极值点，并判断极值类型。

2.教学难点

本节课的难点内容是：

（1）如何判断函数极值点的存在性，即如何确定极值点的位置。

难点解析：学生需要理解导数变号的规律，通过分析导数的符号变化来确定极值点的位置。

（2）如何根据导数的正负变化判断极值类型，即极大值或极小值。

难点解析：学生需要理解导数从正变负表示极大值，从负变正表示极小值，这需要一定的逻辑推理能力。

（3）如何处理函数在极值点处的导数不存在的情形。

难点解析：学生需要学会分析函数的间断点、可导点等，理解在不可导点处也可能存在极值点。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的苏教版选修2-2教材，特别是第一章“导数及其应用”中的1.3.2节“极值点”。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如函数图像的动态变化展示、极值点判定规则的动画演示等，以帮助学生直观理解。

3.实验器材：由于本节课主要涉及理论讲解，无需实验器材，但可准备一些实物模型或教具，如函数图形的拼图，以增强学生的空间想象能力。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如设置分组讨论区，以便学生在讨论极值点问题时能够自由交流。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：通过展示生活中常见的现象，如物体运动的速度变化，引入导数的概念。

2.提出问题：引导学生思考如何描述物体运动过程中的速度变化，激发学生对导数概念的兴趣。

3.学生回答：邀请学生分享他们的想法，教师总结并引出导数的定义。

二、讲授新课（20分钟）

1.导数的定义（5分钟）：讲解导数的定义，强调导数表示函数在某点的瞬时变化率。

2.导数的几何意义（5分钟）：讲解导数的几何意义，即导数表示函数在某点的切线斜率。

3.导数等于零的必要条件（5分钟）：讲解导数等于零的必要条件，即函数在某点的极值点处导数为零。

4.导数的正负变化与极值类型（5分钟）：讲解导数的正负变化与极值类型的关系，通过实例分析极大值和极小值。

5.导数不存在的情形（5分钟）：讲解导数不存在的情形，如间断点、可导点等。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习一：给出几个函数，要求学生求出其导数，并判断极值点。

2.练习二：分析函数图像，找出极值点，并判断极值类型。

3.练习三：讨论函数在极值点处的导数不存在的情形，并给出解决方法。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问一：导数的定义是什么？

2.提问二：如何判断函数的极值点？

3.提问三：导数不存在的情形有哪些？

五、师生互动环节（5分钟）

1.学生展示：邀请学生展示他们的练习成果，教师给予点评和指导。

2.小组讨论：将学生分成小组，讨论函数极值点的问题，并分享讨论结果。

3.教师总结：教师对学生的讨论结果进行总结，强调重点和难点。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.数学抽象：引导学生从具体实例中提炼出导数的抽象概念。

2.逻辑推理：通过分析导数的正负变化，培养学生的逻辑推理能力。

3.数学建模：鼓励学生运用导数分析实际问题，提高数学建模能力。

七、课堂小结（5分钟）

1.回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数极值点中的作用。

2.总结本节课的重点和难点，帮助学生巩固知识。

3.布置课后作业，巩固所学知识。

整个教学过程共计45分钟，教学流程环节符合实际学情，紧扣实际教学过程中需要凸显的重难点，解决问题及核心素养能力的拓展要求，实现教学双边互动。教学资源拓展一、拓展资源

1.**函数的连续性与可导性**：介绍函数的连续性与可导性的关系，探讨为什么可导的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可导。

2.**导数的应用扩展**：探讨导数在物理学中的应用，如速度和加速度的计算，以及在实际工程问题中的运用。

3.**导数的几何意义扩展**：深入研究导数的几何意义，包括其在曲线切线斜率、曲线在某点的切线方程中的应用。

4.**极值点的应用实例**：通过实际案例，如经济学中的最大利润问题、物理学中的最短路径问题等，展示极值点在解决问题中的应用。

5.**导数的微积分基础**：简要介绍导数在微积分中的地位，如微分和积分的基本概念，以及它们之间的关系。

二、拓展建议

1.**阅读相关书籍**：推荐学生阅读《微积分原理》等书籍，以加深对导数概念的理解。

2.**在线课程学习**：鼓励学生利用在线教育资源，如MOOC平台上的微积分课程，进行自主学习和拓展。

3.**实验探究**：引导学生进行简单的数学实验，如使用计算器或数学软件绘制函数图像，观察导数的几何意义。

4.**小组讨论**：组织学生进行小组讨论，研究导数在不同领域的应用，如物理、经济学等，以增强学生的综合应用能力。

5.**课题研究**：鼓励学生选择一个感兴趣的领域，进行关于导数应用的课题研究，如“导数在股票市场分析中的应用”。

6.**数学竞赛准备**：对于有数学竞赛兴趣的学生，可以提供一些高水平的数学问题，如美国数学竞赛（AMC）中的问题，以提升学生的数学思维能力。

7.**实践应用**：鼓励学生在日常生活中寻找导数应用的实例，如分析日常消费的边际效用，以提高数学与生活的联系。内容逻辑关系①导数的定义与函数的连续性

-重点知识点：导数的定义，连续函数的导数存在。

-重点词句：导数表示函数在某点的瞬时变化率，连续函数在某点的导数存在。

②导数的几何意义与切线斜率

-重点知识点：导数的几何意义，切线斜率的计算。

-重点词句：导数表示函数在某点的切线斜率，切线斜率等于导数的值。

③导数等于零的必要条件与极值点

-重点知识点：导数等于零的必要条件，极值点的定义。

-重点词句：函数在某点的导数为零是极值点的必要条件，极值点是函数图像的局部最高点或最低点。

④导数的正负变化与极值类型

-重点知识点：导数的正负变化，极大值和极小值的判断。

-重点词句：导数从正变负表示极大值，从负变正表示极小值。

⑤导数不存在的情形与间断点

-重点知识点：导数不存在的情形，间断点的定义。

-重点词句：导数不存在的点可能是间断点，间断点包括可导点和不可导点。

⑥导数在研究函数中的应用

-重点知识点：导数在研究函数极值、单调性、凹凸性等方面的应用。

-重点词句：导数是研究函数性质的重要工具，通过导数可以判断函数的极值、单调性等。典型例题讲解1.例题：已知函数f(x)=x^3-9x，求f(x)的极值点。

解答：首先求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-9。令f'(x)=0，解得x=±√3。再求二阶导数f''(x)=6x，代入x=√3和x=-√3，得f''(√3)=6√3>0，f''(-√3)=-6√3<0。因此，x=√3是极小值点，x=-√3是极大值点。

2.例题：已知函数f(x)=x^4-8x^2+8，求f(x)的极值点。

解答：求导得f'(x)=4x^3-16x。令f'(x)=0，解得x=0，±2。求二阶导数f''(x)=12x^2-16，代入x=0，±2，得f''(0)=-16<0，f''(2)=32>0，f''(-2)=32>0。因此，x=0是极小值点，x=±2是极大值点。

3.例题：已知函数f(x)=e^x-x^2，求f(x)的极值点。

解答：求导得f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，解得x=ln2。求二阶导数f''(x)=e^x-2，代入x=ln2，得f''(ln2)=e^ln2-2=0。因此，x=ln2是拐点，而非极值点。

4.例题：已知函数f(x)=sinx+x，求f(x)的极值点。

解答：求导得f'(x)=cosx+1。令f'(x)=0，解得x=2kπ±π/4，k∈Z。由于cosx的取值范围是[-1,1]，f'(x)不可能为负，因此f(x)无极小值点。f(x)在x=2kπ±π/4处取得极大值。

5.例题：已知函数f(x)=ln(x^2+1)，求f(x)的极值点。

解答：求导得f'(x)=2x/(x^2+1)。令f'(x)=0，解得x=0。求二阶导数f''(x)=2(x^2-1)/(x^2+1)^2，代入x=0，得f''(0)=2>0。因此，x=0是极小值点。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：在讲解导数概念时，我尝试通过生活中的实例来引入，比如分析汽车速度变化，让学生在实际情境中理解导数的概念，这样既能激发学生的学习兴趣，又能帮助他们更好地理解抽象的数学概念。

2.小组合作学习：在讲解极值点时，我采用了小组合作学习的方式，让学生在小组内讨论如何判断极值点，这样不仅培养了他们的团队协作能力，还能让他们在讨论中深化对知识点的理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对导数概念的理解不够深入：有些学生在理解导数的定义和几何意义时存在困难，这可能是因为他们对函数概念的理解还不够扎实。

2.练习环节的针对性不足：在练习环节，我发现有些题目对学生来说过于简单，而有些则过于复杂，没有很好地针对不同层次的学生进行设计。

3.课堂评价方式单一：目前主要依靠学生的课堂表现和作业完成情况来评价学生的学习效果，缺乏多元化的评价方