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文档简介

第十四章幂级数

引言

前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广的应用）.§14.1幂级数

一幂级数及其收敛性二幂级数的性质三幂级数的运算四小结1.定义形如一、幂级数的定义及其收敛性的函数项级数称为幂级数.幂级数系数通项注:当时,上面的幂级数化为我们主要讨论形如(2)的幂级数,因为只要把(2)中的换成,就得到(1).(1)(2)2.幂级数的收敛点与收敛域因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.3.和函数定义域是什么?定义域就是级数的收敛域证明由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域由定理14.1知道定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径R?收敛域是称为幂级数的收敛区间.开区间证明由比值判别法,例1求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解发散收敛故收敛域为(0,1].解二幂级数的性质

1（阿贝尔第二定理）定理14.4证明：即幂级数在包含收敛域中的任意闭区间上都一致收敛.

2.幂级数的和函数的分析运算性质:（求和与求极限可交换次序)（求和与求积可交换次序)（求和与求导可交换次序)幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；说明：在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。

推论1.设为幂级数(2)在收敛区间内的和函数,则它在内具有任意阶导数,且可逐项求导任意次,即注:由此可见是幂级数(2)的和函数的必要条件是要任意次可导.推论2.设是幂级数(2)在某邻域内的和函数,则幂级数(2)的系数与在处的各阶导数有以下关系:注:若幂级数(2)在内有和函数,则幂级数(2)就由在处的各阶导数所唯一确定.三、幂级数的运算代数运算性质:(1)加减法(其中(2)乘法(其中柯西乘积注:收敛半径均为例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是例：由几何级数的收敛得到的几个结论两边求导得两边积分得解解两边积分得显然，级数的收敛域为（–1，1]解收敛区间(-1,1),几个常用已知和函数的幂级数注意收敛域！四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念；思考题解答（注意下角标的灵活处理）思考题思考题

幂级数逐

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