小学数学六年级下册追及问题专题探究教案

小学数学六年级下册追及问题专题探究教案

  一、教学目标

（一）知识与技能

1.学生能够准确理解追及问题的核心概念，即两个运动物体在同一直线、同向运动时，因速度差异而产生的追赶与相遇现象。

2.学生能够熟练运用关系式“追及时间=初始路程差÷速度差”，并理解其推导过程与物理意义。

3.学生能够通过画线段图的方式，将复杂的追及问题情境直观化、模型化，有效分析已知量与未知量之间的关系。

4.学生能够综合运用追及问题模型，解决起始时间不同、运动过程分段、环形跑道等典型变式问题，具备初步的模型迁移与应用能力。

（二）过程与方法

1.经历从具体生活情境中抽象出数学问题的过程，培养数学建模的初步意识与能力。

2.通过小组合作探究、操作演示、对比分析等活动，掌握分析追及问题的基本策略（如线段图示法、关系式法），提升分析、归纳和逻辑推理能力。

3.在解决变式问题的过程中，体验从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法，以及数形结合思想在解决问题中的关键作用。

（三）情感、态度与价值观

1.感受追及问题与日常生活、科技应用（如交通调度、航天交汇）的紧密联系，体会数学的实用价值和学习乐趣。

2.在探究与解决问题的过程中，养成严谨、细致、有条理的思维习惯，增强克服困难的信心和合作交流的意识。

3.通过了解我国在高速铁路、航天工程等领域的发展成就，渗透爱国主义教育和科学精神教育。

  二、教学重点与难点

教学重点：追及问题的基本数量关系（路程差、速度差、追及时间）的理解与应用；运用线段图分析问题、建立模型的方法。

教学难点：对“初始路程差”与“速度差”概念在不同情境下的深刻理解与灵活确定；处理运动对象起始时间不同、运动过程复杂（如中途停顿、速度变化）的追及问题。

  三、教学准备

教师准备：多媒体课件（内含动画演示：如猎豹追羚羊、高铁与动车追及模拟、环形跑道追及动态图）；实物投影仪；可移动的磁贴教具（代表运动物体）；设计并印制课堂探究学习单、分层练习卡。

学生准备：直尺、铅笔、彩色笔；预习教材相关内容，并尝试寻找生活中的“追赶”现象。

  四、教学过程

（一）情境激趣，问题导入（预计时间：8分钟）

1.动态情境呈现：课件播放一段精心剪辑的动画。场景一：非洲草原上，一只猎豹发现前方200米处的羚羊，两者同时起跑，猎豹速度每秒30米，羚羊速度每秒20米。场景二：并列的两列火车，一列慢车以每小时80千米的速度先行开出2小时后，一列快车以每小时120千米的速度从同一车站同向开出。教师提问：请用数学的眼光观察这两个场景，它们有什么共同特点？你能预测结果吗？

2.学生观察与交流：引导学生发现共同点——两者同向运动、有距离差、速度不同，从而引出“追赶”概念。学生可能用生活语言描述结果（猎豹能追上、快车最终能赶上慢车）。

3.聚焦数学问题：教师指出，这类“追赶”现象在数学中称为“追及问题”。今天我们就化身“行程问题分析师”，深入探究其中的数学奥秘。板书课题核心词：追及问题。

  （二）合作探究，构建模型（预计时间：20分钟）

1.初步感知，化繁为简：回到“猎豹追羚羊”情境。教师引导学生将动物名称抽象为物体A和B，将具体速度抽象为数学数据。提出问题：追上的那一刻，猎豹比羚羊多跑了多少路程？学生容易得出：多跑的路程正好就是最初的200米距离差。

2.关键探究一：理解“路程差”与“追及时间”的关系。

教师利用磁贴教具在黑板上模拟：两个磁贴代表猎豹和羚羊，初始间隔一段距离（代表200米）。同步移动磁贴，速度差异通过每次移动的格数不同来体现。学生直观看到，随着时间推移，两者距离逐渐缩小直至为零。

小组合作（学习单任务一）：假设经过t秒追上，请分别用算式表示猎豹和羚羊跑的路程，并寻找它们路程之间的关系。

学生汇报：

猎豹路程：30t（米）

羚羊路程：20t（米）

关系：猎豹路程-羚羊路程=200米

即：30t-20t=200

引导观察：(30-20)这个差值的意义是什么？学生得出：是每秒猎豹比羚羊多跑的距离，即“速度差”。

从而得到：速度差×时间=初始路程差。

3.关键探究二：抽象数量关系式。

教师引导推广：如果初始路程差用S差表示，速度差用V差表示，追及时间用t表示，那么它们的关系是？

学生归纳：S差=V差×t→t=S差÷V差

板书核心关系式：追及时间=路程差÷速度差

强调：此处的“路程差”特指追及开始时刻两者之间的路程差（初始距离）；“速度差”是快者速度减慢者速度（同向运动）。

4.建模与图示：教学线段图分析法。

教师示范画“猎豹追羚羊”的线段图。先画一条线段表示羚羊跑的路径，起点标出，终点为“追上点”。在其下方平行位置画猎豹跑的路径，起点落后一段距离（标出200米），终点同样在“追上点”。用大括号标出两者各自的路程，并标注速度。引导学生从图中直观看到：猎豹路程=羚羊路程+200。

学生模仿练习：在学案上画出“两列火车”问题的线段图（先画慢车，再画快车）。教师巡视指导，强调作图规范性（平行、对齐、标注清晰）。

小组讨论：在这个问题中，“初始路程差”是多少？如何计算？学生分析：快车出发时，慢车已经行驶了2小时，路程为80×2=160千米，这就是初始路程差。速度差为120-80=40千米/时。追及时间=160÷40=4小时。可以验证：快车4小时行480千米，慢车总共行80×(2+4)=480千米，路程相等，即追上。

  （三）典例剖析，深化理解（预计时间：25分钟）

本环节采用“典例引导+变式训练”模式，逐层深入。

典例一（基础巩固型）：甲乙两人相距4千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲几小时追上乙？

处理流程：学生独立审题→指名学生口述解题思路（强调找路程差、速度差）→独立列式解答（4÷(6-4)=2小时）→教师提问：如果乙先出发1小时，甲再出发追赶，此时路程差是多少？（4+4×1=8千米）通过对比，深化“初始路程差”可能由“原有距离”和“先行路程”共同构成的理解。

典例二（起始时间差异型）：例：巡逻艇和走私船同时从A港出发，走私船以每小时15海里的速度向北偏东30°方向逃窜（简化为同一直线），巡逻艇在走私船出发后2小时才接到命令，以每小时20海里的速度追赶。问巡逻艇需几小时才能追上走私船？

处理流程：小组合作探究。关键点：巡逻艇出发时，走私船已经行驶了2小时，拉开了15×2=30海里的距离，这30海里就是初始路程差。速度差为20-15=5海里/时。追及时间=30÷5=6小时。引导学生用线段图清晰表示出“时间差”导致的“额外路程差”。

典例三（环形跑道追及型）：小明和小军在400米环形跑道上练习跑步，小明每秒跑5米，小军每秒跑3米。两人从同一地点同时同向出发，多长时间后小明第一次追上小军？

处理流程：利用课件动画演示环形追及。引发认知冲突：在环形跑道上同向追逐，当他们第一次相遇（追上）时，快者比慢者多跑了多少？动画清晰地显示，多跑的路程正好就是跑道一圈的长度（400米）。引导学生将环形问题“拉直”转化为直线追及问题：初始路程差就是一圈的长度。速度差为5-3=2米/秒。追及时间=400÷2=200秒。拓展：如果是从同一地点反向出发，相遇问题则用速度和。

典例四（综合复杂型）：一辆客车和一辆货车从甲地开往乙地，货车先行0.5小时后客车才出发。货车每小时行60千米，客车每小时行80千米。客车出发后2.5小时，一辆小轿车也从甲地出发去追货车，小轿车速度是100千米/时。问小轿车出发后多久追上货车？

处理流程：分层分析，分步解决。第一步：求客车出发时，货车已行的路程（即客车与货车的初始路程差）：60×0.5=30千米。第二步：求客车追上货车的时间（这是一个独立的追及问题）：30÷(80-60)=1.5小时。此时，客车和货车都行驶了1.5小时（从客车出发算起）。第三步：求此时刻货车的位置（总路程）：从货车出发算起，共行了0.5+1.5=2小时，路程为60×2=120千米（距甲地）。第四步：求小轿车出发时，货车又行了多久、多远：小轿车在客车出发后2.5小时出发，此时货车已行驶总时间为0.5+2.5=3小时，总路程为60×3=180千米。小轿车出发时，货车在其前方180千米处（小轿车从甲地出发，初始路程差180千米）。第五步：求小轿车追上货车的时间：180÷(100-60)=4.5小时。教师引导学生通过画多阶段线段图，将复杂过程分解为若干个简单追及或匀速运动阶段，清晰标出每个关键时间点和路程点。

  （四）分层应用，拓展提升（预计时间：15分钟）

分发分层练习卡，学生根据自身情况选择至少一组完成，鼓励挑战更高层次。

A组（基础夯实）：

1.甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，两车同时从同一地点向同一方向开出，2小时后，甲车因故返回原地，又立即调头追赶乙车。问甲车从开始到追上乙车共用多少小时？（关键：甲车返回再调头这段时间，乙车仍在前进，形成了新的路程差）

2.环形跑道周长500米，甲乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米。两人每跑200米均要停下休息1分钟。问甲第一次追上乙需要多少分钟？（提示：考虑有效速度或分段计算）

B组（能力拓展）：

3.铁路旁一条平行小路上，有一行人与一骑自行车人同时向南行进。行人速度是每小时3.6千米，骑车人速度是每小时10.8千米。这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒。求这列火车的车身长度和速度。（本质是火车与行人、骑车人的追及问题，车身长度可视为“路程差”）

4.甲乙两人在一条长100米的直跑道上来回跑步，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒。如果他们同时分别从跑道两端出发，当他俩第10次相遇（包括迎面相遇和背后追上）时，总共跑了多少时间？（需要区分相遇与追及两种模式，寻找规律）

C组（思维挑战）：

5.一艘海盗船在公海上以恒定速度逃跑，我海军舰艇在其后方追击。追击过程中，我舰的雷达每间隔1小时测一次海盗船的距离，连续三次测得距离分别为12海里、8海里、4.8海里。请问海盗船的速度可能是我舰速度的几分之几？我舰至少需要多大速度才能确保最终追上？（本题涉及对连续追及过程的分析，可引导学生建立方程或比例关系探究）

  （五）总结反思，升华认知（预计时间：7分钟）

1.知识梳理：引导学生共同回顾与总结。

（1）今天我们深入研究了哪一类行程问题？它的核心特征是什么？（同向、速度不同、追赶）

（2）解决追及问题的核心数量关系式是什么？如何推导出来的？

（3）我们运用了哪些重要的解题策略和思想方法？（画线段图——数形结合；寻找不变量——路程差；分解复杂问题——化归思想）

2.方法反思：提问学生，在解决今天最难的题目时，你觉得最关键的一步是什么？引导学生分享“画图帮助理解”、“找准每个阶段的起点和路程差”等策略。

3.生活与科技链接：教师简要介绍追及模型在现代生活中的广泛应用。例如，高速铁路的调度与行车安全间隔计算、机场跑道上飞机的起飞调度、航天器在轨道上的交汇对接（如我国空间站的“天舟”货运飞船与“天和”核心舱的交会对接过程就涉及精密的轨道追及控制）、高速公路上的测速与车距预警系统等。让学生感受到数学模型强大的生命力和应用价值。

4.自我评价：请学生在学习单的“反思栏”中写下本节课的收获与一个仍存在的疑问。

  （六）分层作业，延伸学习

必做题：

1.复习整理课堂笔记，用思维导图的形式梳理追及问题的类型、关系和解题步骤。

2.完成教材配套练习中关于追及问题的所有习题。

选做题：

3.调研城市地铁或公交的“行车间隔”是如何设计和调整的，尝试用追及问题的思想写一份简单的分析报告。

4.尝试编写一道具有现实背景的、包含两个追及过程的数学应用题，并给出详细解答。

5.（学有余力者）探究：在“环形跑道追及”中，如果是“背向而行”的相遇问题，其规律是什么？如果两人从不同地点同时同向出发，第一次相遇（追及）的条件又是什么？形成一个小研究报告。

  五、板书设计（纲要式）

追及问题专题探究

核心：同向→速度不同→追赶

（快）（慢）

核心关系：追及时间=路程差÷速度差

t=S差÷V差

关键：找准“初始路程差”

策略法宝：线段图（数形结合）

（图示区：预留空间用于课堂绘制典例线段图）

类型：1.同时不同地

2.同地不同时→先行为“路程差”

3.环形跑道→“一圈长”为路程差

4.复杂过程→分段分析，找准“起点”

  六、教学反思与预设

（本部分为教师课后反思所用，不直接向学生呈现，但体现在教学设计中，以体现其完整性、前瞻性与专业性）

1.学情预设与应对：六年级学生已具备速度、时间、路程三者关系的基础，以及一定的方程思想萌芽。预计多数学生能掌握基础追及模型。难点在于对复杂情境中“路程差”的动态理解。教学中通过实物演示、动画分解、多步骤画图来搭建思维脚手架。对于“环形跑道”这一空间观念的难点，利用动态课件进行直观突破。

2.教学策略有效性评估：本设计采用“情境-探究-建模-应用-拓展”的线索，符合概念学习与问题解决的心理过程。合