辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一下学期第一次质量监测数学试卷（含答案）

辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一下学期第一次质量监测数学试卷一、单选题1．将化为弧度为（

）A． B． C． D．2．设，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，，若，则实数（

）A．-6 B．-5 C．5 D．64．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于A． B． C． D．5．，则实数（

）A．2 B．0 C． D．6．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，，则在上根的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题9．(多选)已知函数（且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（

）A． B． C． D．10．已知角满足，则（

）A．0 B． C． D．11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（

）A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增三、填空题12．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为_____________．13．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______.

14．函数的单调递增区间是______．四、解答题15．已知向量，，且与的夹角为．(1)求及；(2)求在上的投影向量的坐标；(3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．16．某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1即为图上A点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟.(1)建系如图，求1号座舱（A点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的解析式（写出定义域）；(2)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时的值；(3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？17．已知，，可能利用的公式是．(1)当时，求的值域；及取得最值时x的值；(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．18．已知，函数，其中．（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（2）求函数的最大值（可以用表示）；（3）当时，若对区间内的任意，总有，求实数的最小值．19．已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点.(1)若函数是偶函数，求的最小值；(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值；(3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论.参考答案1．C2．A3．C4．C5．D6．B7．B8．B9．BD10．ACD11．ABD12．13．14．和.15．（1）由于与的夹角为，所以，即，解得，则，，，所以；（2）由（1）知，，在上的投影向量为，即在上的投影向量的坐标为；（3）由（1）知，，则，，由于与所成的角是锐角，所以,即：，解得且，即实数的取值范围为.16．（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数解析式为（，），依题意，，，，函数的最小正周期，则，当时，点距地面米，即，则，而，解得，所以所求函数式为，定义域为．（2）由，得，整理得，由，得，则或或，解得或或，所以或或时，1号座舱与地面的距离为17米.（3）由，得，整理得，由，得，则，解得，所以在前24分钟内，“美景期”的时间为.17．（1）当时，，令，，则，函数可化为，当时，函数取得最小值，最小值为，此时，解得或，所以的最小值为，此时或，当时，，当时，，所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，解得，所以的最大值为，此时，综上所述，的值域为，当取最小值时或；当取最大值时，.（2）令，因为，所以，所以，当时，恒成立，即当时，恒成立，可化为，即在上恒成立，函数在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，所以实数a的取值范围为.18．（1）由，得故，由上得，表示为的函数；（2）由（1）得，，二次函数的对称轴是，①当，即时，；②当，即时，；③当，即时，．综上可得．（3）对区间内的任意，成立，即恒成立．时，，则，在区间内，，即，故的最小值为．19．（1）解：因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，函数的最小正周期为，因为，则，所以，，又因为函数的图象过点，则，因为，所以，，因为函数为偶函数，所以，，解得，故当时，取最小值，且其最小值为.（2）解：由，可得，因为，则，令，则，所以，，，设，如下图所示：

由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，点、关于直线对称，点、关于直线对称，点、关于直线对称，所以，，，，即，即，解得.（3）解：因为，所以，，假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，，所以，，，要使得恒成立，则有.当时，