2023-2024学年广东广州实验外语学校高一(下)期中数学试题及答案

2023-2024学年广东省广州实验外语学校高一（下）期中数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）设M＝{正四棱柱}，N＝{直四棱柱}，P＝{长方体}，Q＝{直平行六面体}，则四个集合的关系A．M⊆P⊆N⊆QB．M⊆P⊆Q⊆NC．P⊆M⊆N⊆QD．P⊆M⊆Q⊆N25分）复数z＝a+bi（a≠0，a，b∈R）满足（1﹣i）z为纯虚数，则()A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a35分）下列说法正确的是()→→→→→→→→A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a=b，则2a＜3bC．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量D．零向量没有方向45分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′A．9B．92→→55分）在△ABC中，点55分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记CA=a，CD=b，则CB=()65分）已知圆锥的表面积为3π,它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为()在△ABC中，sin，2a2+c2=2b2，则sinC=85分）在△ABC中，∠A=120°,⋅=−3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是()二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）96分）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A．i+i2+i3+i4＝0B．3+i＞1﹣iC．若z1+2i）2，则复数z对应的点位于第四象限D．已知复数z满足：|z﹣2i|＝3，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆→→（多选）106分）已知向量a=(1，3)，b=(cosθ,sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是()A．若⊥，则tanθ=−B．若在上的投影向量为−，则向量与的夹角为C．若与共线，则为(，)或(−,−)下列选项正确的是()B．若b＝3，则△ABC只有一解C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(23，4)D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+3三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.125分）若棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为.135分）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足→•PD=.145分）如图，某建筑物的高度BC＝300m，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC＝60°,则此无人机距离地面的高度PQ为.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤→→→→→→1513分）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且（2a−ba+3b）=﹣5.→→（1）若(−kb）⊥（k+b求实→（2）求a与2a+b的夹角.→→且p∥q.（1）求角A的大小；（2）若3b＝c＝3，且3BD=BC，求|AD|.1715分）已知复数z1＝sin2x+λi，z2=m+(m−3cos2x)i(λ,m，x∈R，)，且z1＝z2.（1）若λ=0且0＜x<π,求x的值；（2）设λ=f（x已知当x=α时，λ=，试求cos(4α+)的值.1817分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=tanA+tanB.（1）求B；（2）若c＝4，求△ABC面积的取值范围.1917分）如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，∠ADC＝60°,AD＝2.（2）当最小时，求BD的长.2023-2024学年广东省广州实验外语学校高一（下）期中数学试卷一．选择题（共8小题）题号12345678答案BACDDACB二．多选题（共3小题）题号9答案ADABCD一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）设M＝{正四棱柱}，N＝{直四棱柱}，P＝{长方体}，Q＝{直平行六面体}，则四个集合的关系A．M⊆P⊆N⊆QB．M⊆P⊆Q⊆NC．P⊆M⊆N⊆QD．P⊆M⊆Q⊆N【分析】根据棱柱的结构特征求解.【解答】解：正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，长方体是底面为矩形的直四棱柱，所以M⊆P⊆N，而直平行六面体是底面为平行四边形的直四棱柱，故选：B.【点评】本题主要考查了棱柱的结构特征，属于基础题.25分）复数z＝a+bi（a≠0，a，b∈R）满足（1﹣i）z为纯虚数，则()A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解.【解答】解：∵（1﹣ia+bia+b+（b﹣a）i，（1﹣i）z为纯虚数，故选：A.【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题.35分）下列说法正确的是()→→→→→→A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a=b，则2a＜3bC．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量D．零向量没有方向【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的意义逐项判断即得.→→→→→→→【解答】解：对于A，当b=0时，任意向量都与b共线，则a，c不一定共线，故A错误；对于B，向量不能比较大小，故B错误；对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，故C正确；对于D，零向量有方向，其方向是任意的，故D错误.故选：C.【点评】本题考查的知识点：向量的共线，单位向量的定义，零向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题.45分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′A．9B．92【分析】把斜二测直观图还原，求出AB、AC的长度，代入三角形面积公式得答案.【解答】解：在斜二测直观图中，由△A'B′C′为等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′=32，还原原图形如图：则AB＝6，AC＝6，则S△ABC=×AB×AC=×6×6故选：D.【点评】本题考查斜二测画直观图，熟记斜二测的画法是关键，是基础题.→→55分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记CA=a，CD=b，则CB=()【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可.→→【解答】解：∵BD＝2DA，CA=a，CD=b，→→→→→→→→→→→→∴CB=CD+DB=CD+2AD=CD+2（CD−CA）＝3CD−2CA=−2a+3b，故选：D.【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.65分）已知圆锥的表面积为3π,它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为()【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积.【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，又S=πr2+πr•2r＝3πr2＝3π,所以圆锥的高为h=l2−r2=22−12=3，所以圆锥的体积为πr2h=π×12×故选：A.【点评】本题考查了圆锥的表面积与体积计算问题，是基础题.75分）在△ABC中，sin(B−A)=，2a2+c2=2b2，则sinC=()【分析】利用余弦定理化简已知等式可得2acosB﹣2bcosA=﹣c，结合已知利用正弦定理即可求解.【解答】解：∵a2+c2﹣b2＝2accosB，又b2+c2﹣a2＝2bccosA，∴两式相减，得2a2﹣2b2＝2accosB﹣2bccosA=﹣c2，∴2acosB﹣2bcosA=﹣c，∴由正弦定理可得2sinAcosB﹣2sinBcosA=﹣2sin（B﹣A）=﹣sinC，故选：C.【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.85分）在△ABC中，∠A=120°,⋅=−3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是()→→【分析】根据题意，由AB•AC=−3结合数量积的计算公式可得|AB||AC|＝6，又由向量的三角形法则可得=(+进而由向量模的计算公式可得||2=（AB+AC）2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣6进而由基本不等式的性质可得即可得答案.【解答】解：根据题意，△ABC中，∠A=120°,⋅=−3，→→→→→→则有AB•AC=|AB||AC|cos120°=﹣3，变形可得|AB||AC|＝6，则||2=(+）2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣6）≥（2||||﹣6）=，则|AG|≥3故选：B.【点评】本题考查数量积的计算公式，涉及三角形的重心的性质、向量的三角形法则、基本不等式，属于基础题.二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）96分）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A．i+i2+i3+i4＝0B．3+i＞1﹣iC．若z1+2i）2，则复数z对应的点位于第四象限D．已知复数z满足：|z﹣2i|＝3，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆【分析】对于A，结合复数的四则运算，即可求解；对于B，结合虚数不能比较大小，即可求解；对于C，D，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.【解答】解：对于A，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错误；对于C，z1+2i）2=﹣3+4i，则复数z对应的点(﹣3，4）位于第二象限，故C错误；对于D，设z＝a+bia，b∈R∴a2+（b﹣2）2＝9，表示以（0，2）为圆心，3为半径的圆，故D正确.故选：AD.【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.→→（多选）106分）已知向量a=(1，3)，b=(cosθ,sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是()B．若在上的投影向量为−，则向量与的夹角为C．若与共线，则为(，)或(−,−)【分析】根据⊥得到cosθ+3sinθ=0，即可得到tanθ=−即可判断A选项；根据b与a共线和|b|=1得到λ2+3λ2=1，解得λ=±2，根据0≤θ≤π可得λ=2假设|a—b|=|a|+|b|成立，可得到λ=—2，与sinθ≥0→→对于C，若与共线，设=(λ,3λ)，所→所以=(，)，C不正确；则sinθ=3λ＜0，与sinθ≥0矛盾，故D不正确.故选：AB.【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.下列选项正确的是()B．若b＝3，则△ABC只有一解C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(23，4)D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+3【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，利用正弦定理可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.【解答】解：根据平面向量数量积公式及三角形面积公式，因为，所以A=，故A错误；由上可知：b=3＞a=2＞bsinA=，故△ABC有两解，故B错误；若△ABC为锐角三角形，若D为BC边上的中点，则=(+)→2=(2+2.+2)=(b2+c2+3bc)，故选：CD.【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题.三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.125分）若棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为11.【分析】根据面积比等于对应高的平方比求解即可.【解答】解：设棱台的高为x，则有解得x＝11.故答案为：11.【点评】本题考查了棱锥的结构特征，属于基础题.135分）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=2（AB+AC则|PD|＝5；PB•【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出.解：由，可得P为BC的中点，则|CP|＝1，→→→→→→→→→∴PB•PD=PB•（PC+CD）=−PC•（PC+CD）=−PC2−PC•CD=−1，【点评】本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题.145分）如图，某建筑物的高度BC＝300m，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC＝60°,则此无人机距离地面的高度PQ为200m.【分析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值.【解答】解：根据题意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°,BC＝300，△ACQ中，∠AQC＝45°+15°=60°,∠QAC由正弦定理，得解得=200在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°=200=200m.故答案为：200m.【点评】本题考查了解三角形的应用问题，考查了计算能力，属于中档题.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤→→→→→→1513分）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且（2a−ba+3b）=﹣5.⊥（k⊥（k+→→→−kb）→→b求实数k的值；→→→→→→【分析】（1）根据题意，由（2a−b）•（a+3b）＝﹣5，结合数量积的计算公式可得a•b=【分析】（1）根据题意，由→→→量垂直的判断方法可得（−kb）⊥（k+bk2﹣kb2+（1﹣k2）•b=−3k+1﹣k2＝0，解可得答案；→→→→→（2）根据题意，设a与2a+b的夹角为θ，由数量积的计算公式可得|2a+b|和a•（2a+b）的值，由数量积的计算公式求出cosθ的值，分析可得答案．→→→→→→→【解答】解1）根据题意，向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且（2a−b）•（a+3b5，→→→→→则有（2−b）•（+3b22﹣3b2+5•b=2﹣12+5•b=−5，变形可得•b=1，→→→→→若（−kb）⊥（k+b则（−kb）⊥（k+bk2﹣kb2+（1﹣k2）•b=−3k+1﹣k2＝0，解可得：k=或；→（2）根据题意，设a与2a+b的夹角为θ，→则→a•→（2+b）＝22+•b=3，π→→→又由0≤θ≤π，则θ=6，即a与2π→→→【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于中档题．→→且p∥q．（1）求角A的大小；（2）若3b＝c＝3，且3BD=BC，求|AD|．【分析】（1）由向量共线及正弦定理可得A角的正切值，进而求出A角的大小；（2）由向量的和可得AD可得AB，AC的数乘向量表示，进而求出模长．→→→【解答】解1）因为向量p=(a，COSA)，向量q=(3b，SinB)，且p∥→所以asinB=3bcosA，由正弦定理=，得sinAsinB=3sinBcosA，又因为A∈（0，π),所以A=.（2）因为3BD=，所以AD=AB+BD=AB+3（AC(3AB+3AC)2所以|(3AB+3AC)2所以||=||2=→→πcos＜AB，AC＞=cos3=2，【点评】本题考查向量共线的性质的应用及正弦定理的简单应用，向量模的计算，属于基础题.1715分）已知复数z1＝sin2x+λi，z2=m+(m−3cos2x)i(λ,m，x∈R，)，且z1＝z2.（1）若λ=0且0＜x<π,求x的值；（2）设λ=f（x已知当x=α时，λ=，试求cos(4α+)的值.【分析】（1）把λ=0代入复数z1＝sin2x+λi，利用z1＝z2．实部等于实部，虚部等于虚部，得到方程组，结合0＜x<π,