2026年常德市高三年级模拟考试数学答案

2026年常德市高三年级模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BADDDACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ACDABDAD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 解：（1）①当时，，又，解得.................................2分 ②当时，，所以..............................4分 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以...........................6分（2）由....................................................................................8分 所以，........................................................................10分 所以.....................12分 因为，所以...................................................................................13分16．(本小题满分15分) 法一：解：（1）连接与交于点，连接， 三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点， 又为的中点，所以..........................................................................2分 又因为中, 由余弦定理可得. 所以，所以..........................................................4分 因为平面平面且交线为，平面 所以平面............................................................................................6分 又，所以平面, 又平面，所以平面平面...........................................7分（2）由，，得，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，.............10分 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则...............................................................13分 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为....................................................15分法二：解：（1）延长与交于点，连接. 三棱柱侧面为平行四边形，又为的中点， 所以为的中点，所以，又, 所以四边形为平行四边形,所以.....................................................2分 又因为中, 由余弦定理可得. 所以，所以..........................................................4分 因为平面平面且交线为，平面, 所以平面............................................................................................6分 又，所以平面，Hxyz 又平面，所以平面平面...........................................7分Hxyz（2）解法同法一阅卷评分说明：如图建立直角坐标系，写点的坐标.....................10分求得平面的法向量为..............13分求得直线与平面所成角正弦值为........15分17．(本小题满分15分) 解：（1）因为当，且时，可近似地认为， 即X～N(81,81)，这里.........................................................2分 所以， ..............................................4分 ...........................................................................................5分（2）(i)由题知，其中..............................................7分 ...............................................................9分(ii).........................................................................................................10分 所以.........................................................................12分 由解得， 所以，当时，；当时，. 即 所以当或时，最大..............................................................15分18．(本小题满分17分)解：（1）法一：由抛物线的定义有，又点在抛物线上， 所以.........................................................................................................2分 解得：，， 所以抛物线的标准方程为..........................................................................5分法二：由题可知..................................................................................2分 解得：，. 所以抛物线的标准方程为..........................................................................5分（2）(i)由题可知直线的斜率存在，设直线：，，（） 因为点在准线上，且轴，所以. 由、三点共线，所以，即， 化简得①....................................................................................................7分 联立，消得, 由韦达定理得：....................................................................9分 又得代入①得②.......................................................11分 将代入②得, 又，所以. 所以直线：过定点...........................................................................13分(ii)因为的面积与的面积相等，所以点与点Q到直线的距离相等.①若直线过的中点，又，，的中点为,则直线的斜率， 所以直线的方程为..................................................................................15分②若直线，则直线的斜率, 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或..............................................................17分19．(本小题满分17分)解：（1）函数的定义域为............................................................................1分 ，..............................................2分 所以函数在上单调递增，又..................................................3分 所以当时；当时. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为..................................4分（2）法一： 当时，...............6分 因为，所以，且, 所以, 所以，即.....................................................8分法二：当时，设， 则，............................................5分 所以函数在上单调递增，又，, 由零点存在定理，存在唯一，使得, 当时；当时. 所以在上单调递减，在上单调递增............................................7分 又，所以， 所以..................................................................................................8分（3）如图，由(1)可知，在单调递减，在单调递增， 因为，， 所以...........................9分 易知在处的切线为.........10分 设 则，， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即..............................................................13分 所以，所以①..................