2026年31届wmo数学竞赛试卷及答案

2026年31届wmo数学竞赛试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A.a-3＜b-3B.-2a＞-2bC.3a＞3bD.a/2＜b/22.方程2x+3=7的解是（）A.x=2B.x=3C.x=4D.x=53.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.线段B.角C.等腰三角形D.直角三角形4.一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A.6B.7C.8D.95.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（）A.y=-x+1B.y=x+1C.y=-2x+1D.y=2x+16.数据1，2，3，4，5的方差是（）A.1B.2C.3D.47.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（）A.17°B.62°C.63°D.73°8.若关于x的一元二次方程x²+mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A.0B.1C.2D.39.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinB的值为（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/310.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm二、填空题（每题2分，共20分）1.计算：a²·a³=______。2.因式分解：x²-4=______。3.函数y=√(x-1)中自变量x的取值范围是______。4.一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高为______。5.不等式组{x+1＞0,2x-4＜0}的解集是______。6.若点A（m，2）在反比例函数y=4/x的图象上，则m的值为______。7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为______。8.抛物线y=2(x-3)²+1的顶点坐标为______。9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，则BC′的长为______。10.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE的长为______。三、判断题（每题2分，共20分）1.方程x²+1=0没有实数根。（）2.若a＞b，则a²＞b²。（）3.同位角相等。（）4.三角形的外角和等于360°。（）5.一组数据的众数一定是这组数据中的一个数。（）6.菱形的对角线互相垂直平分。（）7.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。（）8.若一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是四边形。（）9.相似三角形的对应边成比例。（）10.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象一定经过原点。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.先化简，再求值：(a-2)/(a²-1)÷(a-1)/(a+1)-1/a，其中a=2。2.解方程组：{3x+2y=7,2x+3y=8}。3.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形。4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，点E在AC上，且AE=CD，求证：DE⊥AB。五、讨论题（每题5分，共20分）1.对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＜0时，方程有两个不相等的实数根，这种说法对吗？请说明理由。2.在一次数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度。小明所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米，求旗杆的高度。3.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，若AC=6，BC=8，求⊙O的半径。4.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？答案：一、单项选择题1.C2.A3.D4.B5.A6.B7.D8.D9.A10.B二、填空题1.a^52.(x+2)(x-2)3.x≥14.12/55.-1＜x＜26.27.248.(3,1)9.√610.2三、判断题1.√2.×3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.解：原式=(a-2)/(a+1)(a-1)×(a+1)/(a-1)-1/a=(a-2)/(a-1)²-1/a=[a(a-2)]/[a(a-1)²]-[(a-1)²]/[a(a-1)²]=(a²-2a-a²+2a-1)/[a(a-1)²]=-1/[a(a-1)²]。当a=2时，原式=-1/[2×(2-1)²]=-1/2。2.解：{3x+2y=7①,2x+3y=8②}①×2得：6x+4y=14③，②×3得：6x+9y=24④，④-③得：5y=10，y=2，把y=2代入①得：3x+4=7，3x=3，x=1。所以方程组的解为{x=1,y=2}。3.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD=BC。因为E，F分别是AD，BC的中点，所以DE=1/2AD，BF=1/2BC，所以DE=BF。又因为DE∥BF，所以四边形BFDE是平行四边形。4.证明：连接CD。因为AC=BC，点D是AB的中点，所以CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°。因为AE=CD，AC=BC，所以△ACE≌△BCD（SAS），所以∠A=∠B。因为∠A+∠ACD=90°，所以∠B+∠BCD=90°，所以∠DEC=90°，所以DE⊥AB。五、讨论题1.这种说法不对。当b²-4ac＜0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有实数根，而不是有两个不相等的实数根。2.解：设旗杆的高度为x米。在Rt△ABC中，tan60°=x/10，即√3=x/10，x=10√3。所以旗杆的高度为（10√3+1.5）米。3.解：因为AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，所以CE=DE=1/2CD。在Rt△ACE中，AC=6，CE=1/2CD，根据勾股定理可得：AE²+CE²=AC²，即AE²+(1/2CD)²=6²。在Rt△BCE中，BC=8，CE=1/2CD，根据勾股定理可得：BE²+CE²=BC²，即BE²+(1/2CD)²=8²。因为AE+BE=AB，所以AE²+(1/2CD)²+BE²+(1/2CD)²=6²+8²，即AE²+BE²+CD²=100。因为AE²+BE²=AB²，所以AB²+CD²=100。因为AB是⊙O的直径，所以AB=2r，所以4r²+CD²=100。因为CD=8，所以4r²+64=100，4r²=36，r²=9，