【 数学 】探索三角形全等的条件课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第四章

三角形

3探索三角形全等的条件第1课时

利用“边边边”判定三角形全等

课堂引入探究与应用 课堂小结与检测课堂引入(1)如图,已知△ABC≌△DEF,请找出它们的对应边和对应角;(2)一个三角形有

个内角,

条边;

(3)能够完全重合的两个三角形叫作

三角形,全等三角形的

对应边

,对应角

;

(4)三个角对应相等,三条边对应相等的两个三角形

.

思考:要画一个和已知三角形全等的三角形,至少需要几个与边或角的大小

有关的条件呢?对应边有：AB与DE，BC与EF,AC与DF对应角有：∠A与∠D,∠B与∠E,∠C与∠F33全等相等相等全等

【探究1】三角形全等的条件——SSS探究与应用要画一个三角形,使它与小明画的三角形全等,你会怎么画呢?(1)只给一个条件(一条边或一个角)可以吗?(2)给出两个条件画三角形时,有哪几种可能的情况?每种情况下画出的三角形一定全等吗?请你试一试,并与同伴进行交流.不一定全等情况有三种：两角、两边、一边一角，不一定全等【思考·交流】给出三个条件画三角形时,有哪几种可能的情况?与同伴进行交流.:三个角;三条边;两边一角;两角一边四种情况.

【探究1】三角形全等的条件——SSS探究与应用【尝试·思考】(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°和80°,你能画出这个三角形吗?把

你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?(2)已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm,你能画出这个三角形吗?

把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?(3)小组合作,选择三条线段作为三角形的三条边,并用尺规作出这个三角形.

把你作的三角形与同伴作的进行比较,它们一定全等吗?不一定全等全等全等

【探究1】三角形全等的条件——SSS探究与应用【概括新知】1.三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.2.“已知三角形的三边,用尺规作这个三角形”的方法和步骤如下:

如图,已知线段a,b,c,用尺规作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.作法与示范:

【探究2】三角形的稳定性探究与应用图①是用三根木条钉成的一个三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.图②是用四根木条钉成的一个框架,它的形状是可以改变的,因此,四边形具有不稳定性.

想一想:在生活中,我们经常会看到应用三角形稳定性的例子(如图),、

你还能举出一些其他的例子吗?探究与应用【应用】例如图,AB=DC,AC=DB,△ABC和△DCB是否全等?试说明理由.解:△ABC≌△DCB.理由:在△ABC和△DCB中,因为AB=DC,AC=DB,BC=CB,所以△ABC≌△DCB.探究与应用变式

1.如图,D,F是线段BC上的两点,AB=EC,AF=ED,若要用“SSS”判定△ABF≌△ECD,还需添加条件

.

BF=CD或BD=CF探究与应用变式

2.如图,当AB=CD,BC=DA时,△ABC与△CDA是否全等?请说明理由.解:△ABC≌△CDA.理由:在△ABC和△CDA中,因为AB=CD(已知),BC=DA(已知),AC=CA(公共边),所以△ABC≌△CDA(SSS).

达标测评课堂小结与检测1.小明用竹棒扎成如图所示的风筝框架,已知AB=CD,AD=CB,下列判断不正确的是 (

)A.∠A=∠C

B.∠ABC=∠CDAC.∠ABD=∠CDB

D.∠ABD=∠C2.下列生活实物中,没有应用到三角形的稳定性的是 (

)DD

达标测评课堂小结与检测3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.(1)试说明:△ADB≌△ADC;(2)试说明:∠ADB=∠ADC=90°.

（2）∵△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°．第四章

三角形

3探索三角形全等的条件第2课时利用“角边角”或“角角边”判定三角形全等探究与应用 课堂小结与检测

【探究1】探究三角形全等的条件——角边角探究与应用【情境问题】由上一节课学习我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?情况有两种：两角一夹边，两角一对边每种情况下得到的三角形都全等吗?

【探究1】探究三角形全等的条件——角边角探究与应用【尝试·思考】

如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,情况会怎样呢?小组合作,用尺规作出下面这个三角形.你作的三角形与同伴作的一定全等吗?如图4-26,已知∠a,∠β,线

段c,用尺规作△ABC,使∠A=∠a,∠B=∠β,AB=c

【探究1】探究三角形全等的条件——角边角探究与应用【概括新知】1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”.用符号语言来表示该三角形全等的条件:如图.在△ABC和△DEF中,因为∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F,所以△ABC≌△DEF.

【探究1】探究三角形全等的条件——角边角探究与应用【概括新知】2.“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤如图4-26,已知∠a,∠β,线

段c,用尺规作△ABC,使∠A=∠a,∠B=∠β,AB=c作法与示范探究与应用应用1.如图,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.试说明:△ABC≌△DEF.

【探究2】探究三角形全等的条件——角角边探究与应用【思考·交流】

如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢?你能将它转化为“尝试·思考”中的条件吗?与同伴进行交流.可以借助三角形的内角和为180°，将其中一组相等的角转换为另外一组相等的角，进而将“两角及其中一角的对边相等”转换为“两角及两角的夹边相等”

【探究2】探究三角形全等的条件——角角边探究与应用【概括新知】

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”.用符号语言来表示该三角形全等的条件:如图,在△ABC和△DEF中,因为∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF.探究与应用【应用】例1如图,AB与CD相交于点O,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗?为什么?解:△AOC≌△BOD.理由如下:因为O是AB的中点,所以AO=BO.在△AOC和△BOD中,因为∠A=∠B,AO=BO,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD(ASA).探究与应用【应用】例2图中的两个三角形有几对相等的角?这两个三角形全等吗?说明理由.解:有三对相等的角.这两个三角形全等.理由如下:在△ABC中,∠A=180°-∠B-∠C=89°.在△DEF中,∠F=180°-∠D-∠E=25°.所以在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF(AAS).

达标测评课堂小结与检测1.如图,∠1=∠2,∠C=∠D.试说明:AC=AD.证明：∵在△ABC和△ABD中∠1=∠2，∠C=∠D，AB=AB，∴△ABC≌△ABD（AAS）．∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）．

达标测评课堂小结与检测2.如图,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗?为什么?

第四章

三角形

3探索三角形全等的条件第3课时利用“边角边”判定三角形全等探究与应用 课堂小结与检测

【探究1】

三角形全等的条件——SAS探究与应用【情境问题】如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢?一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角.每种情况下得到的三角形都全等吗?

【探究1】

三角形全等的条件——SAS探究与应用【尝试·思考】

如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,情况会怎样呢?小组合作,用尺规作出这个三角形.你作的三角形与同伴作的一定全等吗?如图,已知线段a,c,∠α,用尺规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.

【探究1】

三角形全等的条件——SAS探究与应用【概括新知】1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.几何语言:如图所示,在△ABC和△DEF中,因为AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,所以△ABC≌△DEF.

【探究1】

三角形全等的条件——SAS探究与应用【概括新知】2.“已知三角形的两边及其夹角,用尺规作这个三角形”的方法和步骤.如图,已知线段a,c,∠α,用尺规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.作法及相应的图形:1.作一条线段BC=a.2.以点B为顶点,以BC为一边,作角∠DBC=∠α.3.在射线BD上截取线段BA=c.4.连接AC.△ABC就是所要作的三角形.

【探究2】

两边及其中一边的对角探究与应用【尝试·交流】

如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,情况会怎样呢?如图,已知△ABC的AB边和边长为l的AC边,以及AC边的对角∠B,你能用尺规确定顶点C的位置吗?把你作的三角形与同伴作的进行比较,由此你发现了什么?与同伴进行交流.

两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.探究与应用【应用】例1如图,已知AB∥CD,AB=CD,AF=CE,点A,F,E,C在同一直线上,那么BE与DF平行吗?请说明理由.解:平行.理由:因为AB∥CD,所以∠A=∠C.因为AF=CE,所以AE=CF.又因为AB=CD,所以△ABE≌△CDF(SAS),所以∠AEB=∠CFD,所以BE∥DF.探究与应用【应用】例2如图,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,那么∠B与∠C相等吗?请说明理由.解:相等.理由如下:因为∠1=∠2,所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠BAD=∠CAE.又因为AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠B=∠C.探究与应用【拓展提升】如图,已知AB⊥BD,ED⊥CD,且AB=CD,BC=DE,AC是否垂直于CE?为什么?解：AC⊥CE；理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，在△ABC和△CDE中，AB=CD,∠B=∠D,BC=DE，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A=∠DCE，∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE．

达标测评课堂小结与检测1.如图所示,BD,AC相交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明△AOB≌△DOC,还需要的条件是(

)A.AB=CD B.OB=OCC.∠BAO=∠CDO D.∠AOB=∠DOCB

达标测评课堂小结与检测2.已知:如图,AB∥CD,AB=CD.试说明:△ABD≌△CDB.证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中，AB=CD,∠ABD=∠CDB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SAS）

达标测评课堂小结与检测3.已知:如图,AB=AC,AD=AE.试说明:∠B=∠C.证明：在△ABE和△ACD中∵AD=AE，AB=AC，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD∴∠B=∠C；第四章

三角形

3探索三角形全等的条件第4课时判定三角形全等的综合应用探究与应用 课堂小结与检测

【探究】

选择恰当的方法判定两个三角形全等探究与应用【应用】例1如图,AB∥CD,并且AB=CD,那么△ABD与△CDB全等吗?请说明理由.解：因为AB//CD,根据“两直线平行，内错角相等”,所以∠1=∠2。在△ABD和△CDB中，因为AB=CD,∠1=∠2,BD=DB,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ABD≌△CDB。想一想:(1)本题的已知条件是什么?通过条件你能得到哪些结论?(2)要证两个三角形全等,已经具备的条件是什么?(3)本题中判定两个三角形全等的方法是什么?请你说明理由.

【探究】

选择恰当的方法判定两个三角形全等探究与应用【应用】例2如图,AC与BD相交于点O,且OA=OB,OC=OD.(1)△AOD与△BOC全等吗?请说明理由;(2)△ACD与△BDC全等吗?为什么?(2)由(1)可知，△AOD≌△BOC,根据“全等三角形的对应边相等”,所以AD=B