江西省赣州市高三二模数学试题

赣州市2025年高三年级适应性考试数学试卷2025年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解指数不等式求集合，应用集合的交运算求结果.【详解】，则.故选：A2.若复数z满足，则（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的几何意义及模长求法求即可.【详解】由题设.故选：A3.平面平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线B.存在一条直线C.存在两条平行直线D.存在两条异面直线【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定【详解】对于A，B，C，当平面，相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误，对于D，存在两条异面直线，平移后可得，存在两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正确，故选：D4.若向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量.【详解】由投影向量的定义，在上的投影向量为.故选：D5.已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值.【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则，又因为，所以，，故，即.故选：B6.设等比数列的前n项和为，若，，则（）A. B.7 C.63 D.7或63【答案】B【解析】【分析】根据等比数列片段和的性质有求，注意验证结果.【详解】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列，所以，则，所以，则或，等比数列的公比为，若时，则，而，显然等式不成立；若时，则，满足题设；所以.故选：B7.若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，所以点关于直线对称的点在圆上，又点关于直线对称的点在圆上，所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为，所以与两点所在直线，与垂直，故.故选：D8.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用相关指数函数、幂函数的单调性判断的大小关系判断A；再对A的结果取对数判断B；由正弦函数单调性有，构造并利用导数研究其区间函数值符号判断C；应用特例即可判断D.【详解】由题设，在R上单调递减，则，在定义域上单调递增，则，所以，则，即，A，B错；由在上单调递增，则，故，对于且，则，所以上单调递减，则，所以，C对；当，此时，D错.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9设，则（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】分别令、、求相关系数或系数和判断A、B、D，应用二项式定理写出通项公式求判断C.【详解】A：令，则，错；B：令，则①，又，则，错；C：由二项式展开式，，所以时，则；时，则；所以，对；D：令，则②，①②得，则，对.故选：CD10.如图，透明长方体容器内灌入了一些水，边BC固定在地面．若改变容器的倾斜度（水不溢出），则（）A.水的体积不变 B.水的部分呈棱柱状C.水面四边形EFGH的面积不变 D.当E在棱上时，是定值【答案】ABD【解析】【分析】根据题设易知长方体中水的体积不变，水面平行于地面，且为矩形，结合棱柱的特征、棱锥体积公式判断各项的正误.【详解】A：因为水不溢出，则长方体中水的体积不变，对；B：由水面平行于地面，又边BC固定在地面，即平面，平面平面，平面，则，又恒为矩形，则，又都垂直于平面，故均垂直于平面，易知水的部分呈棱柱状，对；C：由题意，旋转过程中恒为矩形，且，而在倾斜过程中会发生变化，故面积也会发生变化，错；D：当E在棱上时，由B分析，水的体积恒定不变，又长度不变，故也为定值，对.故选：ABD11.设数列的前项和为，，，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用递推公式结合放缩法可判断A选项；利用导数证明出当时，，可判断B选项；利用导数证明出当时，，可知当时，，结合等比数列的求和公式以及放缩法可判断C选项；利用C中的结论结合放缩法可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，即，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，因，则，即，所以，，，以此类推可知，，B错；对于C选项，令，其中，则对任意的恒成立，所以函数在上单调递减，故当时，，即，由A选项可知，，，，可知，当时，，所以，，C对；对于D选项，由C选项可知，，所以，，D对.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据正态分布的性质计算可得.【详解】因为且，所以，解得.故答案为：13.若函数在区间上单调，且，则正数的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据已知确定对称轴和对称点，进而有，即可求参数.【详解】由函数在上单调，且，所以函数的一条对称轴，一个对称点为，且，所以，可得，故正数的值为2.故答案为：214.椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令，而，应用向量线性关系的坐标表示得，再由在椭圆上得到，且中点在椭圆内得，结合对勾函数的性质求范围.【详解】令，而，所以，，，又，则，所以，由，作差得，则，显然的中点在椭圆内，则，可得，即，所以，令，且在上单调递增，值域为，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在一次数学测验中，有单选题（即单项选择题）和多选题（即多项选择题）两种．单选题指四个选项中仅有一个正确，选对得5分，选错或不选得0分；多选题指四个选项中有两个或三个正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．（1）在单选题的测验中，小明如果不知道答案就随机猜测．已知小明知道单选题的正确答案的概率是，随机猜测的概率是，问小明在做某道单选题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单选题正确答案的概率；（2）小明在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多选题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多选题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）记事件为该单项选择题回答正确，事件为小明知道该题的正确答案，根据已知确定相关概率值，再应用全概率公式、条件概率公式求概率即可；（2）由题设的可能值为，并求出对应概率值，即可得分布列，进而求期望.【小问1详解】记事件为该单项选择题回答正确，事件为小明知道该题的正确答案，由题设，，，，故，所以，而，所以，即所求概率为；【小问2详解】由题意，的可能值为，设事件表示小明选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的，则，，，所以的分布列，036所以.16.在中，，．（1）求B；（2）若的平分线AD交BC于点D，的面积为15，求AD．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系求得，结合已知，应用差角正切公式求，即可得B；（2）设，，应用三角恒等变换求得，，，再应用正弦定理得到，，最后由三角形面积公式列方程求.【小问1详解】由，且，则，故，，又，则；【小问2详解】设，，如下图示，由，且，可得，，由，且，在中，，则，在中，，则，所以，又中边上的高为，则，所以.17.如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）若，，，求E到平面ACD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，易得、，再由线面垂直的判定和性质证明结论；（2）根据已知得，在平面内作，分析并构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出平面的一个法向量，应用向量法求点面距.【小问1详解】设的中点为，连接，由是等边三角形，则，由中位线定理知且，则，又平面，故平面，由平面，所以.【小问2详解】由，则，由题设，则，，由余弦定理，又，，则，由，则，由平面，平面，可得平面平面，在平面内作，则平面，综上，两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，所以，而，则，所以，，，设为平面的一个法向量，则，取，则，所以到平面的距离为.18.已知函数，．（1）求函数，的最小值；（2）当时，，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到极小值点，与端点值比较即可求得最小值；（2）设，，多次求导，结合常见不等式及，分析的单调性，分和两种情况研究函数的最小值，即可求解.【小问1详解】令，，则，，由，解得或，可得当和时，，当时，，所以在单调递减，和单调递增.，又，，，所以函数在上的最小值为【小问2详解】设，，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，所以，即，，所以，又设，，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，即恒成立，所以，所以在上单调递增，则，当，即时，，，所以在上单调递增，所以，当，即时，存在，使得，即，由于对任意的，都有，即，此时，不符题意，综上所述，.19.已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．（1）求C的方程；（2）设数列的前n项和为，证明：；（3）求的面积．【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可；（2）由题