2026年33届imo试题及答案

2026年33届imo试题及答案

一、单项选择题（共10题，每题2分）1.集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8}，则A∪B=（）A.{1,2,3,4,5,6,8}B.{2,4}C.{1,2,3,4,5}D.{6,8}2.函数y=2x+1的定义域为[0,3]，则其值域为（）A.[1,7]B.[0,3]C.[2,7]D.[0,7]3.已知直线l1：2x-y+3=0，直线l2：4x-2y-1=0，则l1与l2的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合4.若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.ac>bdB.ac<bdC.a/c>b/dD.a/c<b/d5.等差数列{an}中，a3=5，a7=13，则a11=（）A.19B.21C.23D.256.函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.π/27.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，恰有1名男生的概率是（）A.3/5B.2/5C.3/10D.2/108.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则其侧面积为（）A.3πB.4πC.6πD.9π9.不等式x^2-3x+2<0的解集是（）A.(1,2)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)D.(2,+∞)10.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则a·b=（）A.-5B.-10C.5D.10二、填空题（共10题，每题2分）1.函数y=ln(x-1)的定义域是______。2.直线3x+4y-12=0在x轴上的截距是______。3.已知数列{an}的通项公式an=n^2+1，则a5=______。4.函数y=cos(2x-π/6)的单调递减区间是______。5.若x>0，y>0，且x+2y=1，则xy的最大值是______。6.正方体的棱长为2，则其外接球的表面积是______。7.从5个不同的元素中取出3个元素的排列数是______。8.已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为______。9.若直线ax+by=1与圆x^2+y^2=1相切，则a^2+b^2=______。10.若向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，则a在b方向上的投影是______。三、判断题（共10题，每题2分）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数y=2^x在R上是增函数。（）3.若两条直线平行，则它们的斜率相等。（）4.若a>b，则a^2>b^2。（）5.等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则a5=16。（）6.函数y=sinx的图像关于y轴对称。（）7.从3个红球和2个白球中摸出2个球，至少有1个红球的概率是3/5。（）8.圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积是2π。（）9.不等式x^2+1>0的解集是R。（）10.若向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则|a+b|=2。（）四、简答题（共4题，每题5分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|ax-2=0}，且B⊆A，求实数a的值。2.求函数y=x^2-2x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。3.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-4x+2y+m=0相切，求m的值。4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=7，S4=24，求数列{an}的通项公式。五、讨论题（共4题，每题5分）1.讨论函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的单调性与对称轴的关系。2.讨论直线与圆的位置关系有哪些，并说明如何判断。3.讨论等比数列的性质及应用。4.讨论如何用向量解决几何问题。答案：一、单项选择题1.A。A∪B={1,2,3,4,5,6,8}。2.A。当x=0时，y=1；当x=3时，y=7，所以值域为[1,7]。3.A。l2可化为2x-y-1/2=0，与l1斜率相等，截距不同，所以平行。4.B。因为c<d<0，所以1/c>1/d，又a>b>0，所以ac<bd。5.A。由等差数列性质可得a11=a7+4d，先求d=2，所以a11=19。6.A。T=2π/ω=π，ω=2。7.A。恰有1名男生的情况有C31C21种，总的情况有C52种，概率为3/5。8.A。侧面积=πrl，r=1，l=3，所以侧面积为3π。9.A。(x-1)(x-2)<0，解得1<x<2。10.A。a·b=1×3+2×(-4)=-5。二、填空题1.(1,+∞)。2.4。3.26。4.[kπ+π/12,kπ+7π/12]，k∈Z。5.1/8。6.12π。7.60。8.√5。9.1。10.2。三、判断题1.√。2.√。3.×，当直线斜率不存在时不成立。4.×，如0>-1，但0^2<(-1)^2。5.√。6.×，关于原点对称。7.×，至少有1个红球的概率是7/10。8.√。9.√。10.×，|a+b|=√2。四、简答题1.集合A={1,2}，当B=∅时，a=0；当B≠∅时，x=2/a，若2/a=1，则a=2，若2/a=2，则a=1，综上a=0或1或2。2.y=(x-1)^2+2，当x=1时取最小值2，当x=3时取最大值6。3.圆C方程化为(x-2)^2+(y+1)^2=5-m，圆心(2,-1)，半径r=√(5-m)，根据点到直线距离公式可得|2+1+1|/√2=√(5-m)，解得m=-3。4.由a3=a1+2d=7，S4=4a1+6d=24，解得a1=3，d=2，所以an=2n+1。五、讨论题1.当a>0时，对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；当a<0时，对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。2.位置关系有相交、相切、相离。判断方法：利用圆心到直