多边形的外角和

多边形的内角和与外角和（2）郑州市金水区第一中学蒋慧艳教材来源：初中八年级《数学（下册）》教科书/北京师范大学出版社2013版内容来源：初中九年级《数学（下册）》第六章第四节第二课时主题：《多边形的外角和》授课对象：八年级学生设计者：河南省郑州市金水区第一中学蒋慧艳一、目标确定的依据：（一）课程标准相关要求1.了解多边形外角的概念.2.探索并掌握多边形外角和公式.3.积累数学活动经验，发展推理能力.根据课程标准要求将课标分解如下：知识分类：外角、外角和定义；外角和公式.从认知角度进行分解:学科内涵：经历对实际情境问题的抽象，建立模型思想，了解多边形的外角、外角和概念学科内涵：经历对实际情境问题的抽象，建立模型思想，了解多边形的外角、外角和概念；经历探索多边形外角和公式的过程，进一步发展合情推理能力及演绎推理能力，体会从特殊到一般的数学思想方法.认知水平：理解，探索，运用.行为动词：总结、归纳，证明.从能力角度进行分解：找外角找外角多边形外角的定义能理解多边形外角的定义能理解说特征说特征画外角画外角剪拼、测量剪拼、测量验证、归纳验证、归纳几何画板探索多边形的外角和几何画板探索多边形的外角和推理证明推理证明特殊到一般特殊到一般新知应用新知应用应用、总结应用、总结巩固练习解决问题运用巩固练习解决问题运用拓展提升拓展提升（二）教材分析本节课是北师版八年级下册第六章第四节第二课时多边形的外角和，本节内容是八年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，发展了学生的合情推理能力。学情分析1.学生已有的基础（1）知识技能基础在上一节的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究内角和的问题有了一定的认识，且在探究内角和公式的过程中进一步体会到转化、类比、从特殊到一般等数学思想的应用。（2）活动经验基础学生已经基本具备了几何问题解决的合情推理及演绎推理能力，加之八年级学生的好奇心、求知欲强，互相评价、互相提问的积极性高．因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生参加探索活动的热情已经具备.2.学生面临的问题（1）在拐角处分不清外角、内角.（2）对外角定义的描述存在一定的困难.（3）需要合作交流才能完成外角和公式的验证和推理证明.（四）根据课程标准、教材、学情分析，制定了本节课的学习目标：1.通过“找外角、说特征、画外角”的活动，能说出外角的特征，认识多边形的外角.2.通过探究2，学生会用测量、剪拼、代数推理等方法，验证五边形外角和是360°.3.通过类比推五边形外角和的方法,会证明n边形外角和等于360°，并能归纳出外角和定理.二、学习重难点：重点：多边形外角和公式的探索及应用.难点：灵活应用多边形外角和解决问题.三：评价设计（一）评价标准1.学生从问题情境中，抽象出数学图形，找出跑步方向改变的角；能观察并说出这些角的特征.2.学生通过小组合作，积极讨论，能够给出不同的多边形的外角和证明方法；并能最终用适合自己的方法说出推理过程，最终归纳总结多边形外角和定理.3.学生能够通过例题的学习和练习能运用外角和公式解决问题，并体会外角和与内角和的内在关联.（二）评价任务针对目标1，设计了表现式评价，通过观察和问题串的提示，说出外角的特征，并通过画一画来检测目标的达成情况.针对目标2，设计了交流式评价和表现式评价，通过用测量、剪拼、推理、凑角等小组活动，让学生动手参与，并引导学生用自己的语言归纳出多边形外角和定理.通过小组展示来检测目标的达成情况.针对目标3，设计了交流式评价和表现式评价，通过学生自主练习、小组交流的基础上，教师引导学生说出内角和与外角和之间的联系，再让学生畅所欲言，总结本节课的收获.通过巩固练习和拓展提升来检测目标的达成情况.（三）评价样题1.情景引入（针对目标1，要求85%的学生达标）：说出外角的特征，会画出五边形的外角.（1）观察∠1,∠2,∠3,∠4,∠5的特点.（2）请画出下图五边形的外角.2.探索证明过程（针对目标2预计每组都能达标）:同学们，小组合作，共同探讨多边形外角和的证明方法.每个小组展示自己的证明方法，并能清楚的表达出来.3.巩固练习与拓展提升（针对目标3，预计85%的学生达标）：能熟练应用内角和与外角和公式解决简单的问题.（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形?（2）一个正多边形的每个外角是36°，这个多边形是几边形？

（3）是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的五分之一？五：学习过程：情境引入，感受新知：动态小视频“小刚的晨跑”引入，感受五边形外角的实际意义，找准外角.【预设学生可能出现的问题】学生可能会找错拐角，可能会找的是∠1的补角.【解决方案】动态视频引入，视频中标注跑步方向，加深学生的直观感受.问题精细化，顺利过渡到对核心知识的理解.辅助性问题辅助性问题1：当小刚在小路AE上时，跑步方向？辅助性问题2：当小刚在小路辅助性问题2：当小刚在小路AB上时跑步方向？主要问题：跑步方向改变的角是哪些？辅助性问题辅助性问题3：当小刚从小路AE转到AB上时，跑步方向改变的角是哪个？辅助性问题辅助性问题4：小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角分别是哪几个？【学习评价】关注学生是否积极思考和观察，能否准确说出跑步方向改变的是哪个角.【设计意图】通过引入动态模拟视频，学生能感受外角的实际意义，在学生不能亲自去体验时，加入一些小视频和动态演示，让学生感受在拐角和转身时自己身体转动的角度是哪一个，这样不仅激发了学生的兴趣，也为解决下面的两个问题做了铺垫。探究新知：第一部分：外角、外角和的定义1.抽象出数学图形,建立模型，提出问题：观察这些角有什么特征？.观察∠1,∠2,∠3,∠4,∠5的特点，师生共同总结外角定义.（1）顶点在多边形的顶点上；（2）一边是多边形内角的一边，另一边是多边形内角一边的反向延长线.总结：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.2.追踪练习：画一画：请画出下图五边形的外角.追问：（1）∠1和它相邻的内角的关系？（2）点A处的外角还有其他画法吗？（3）∠1和∠2有什么关系？4.师生共同总结：n边形共2n个外角，且每一外角+相邻内角=180°.5.引出外角和：在每个顶点处各取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.（引出下个环节）【预设学生可能出现的问题】1.不会描述外角的特征，或外角的特征描述的不够准确.2.画图时，一个顶点处只画出一个外角.【解决方案】1.对于语言方面，鼓励学生积极发言，大胆补充，老师在用词上做适当的引导.2.紧接着给出追踪练习，在画的过程中理解外角的定义，并从中发现外角的性质.3.问题精细化，顺利过渡到对核心知识的理解.辅助性问题辅助性问题1：观察这些角的特征:顶点的位置和两条边的组成？主要问题：什么是多边形的外角？辅助性问题主要问题：什么是多边形的外角？辅助性问题2：你能画出五边形的外角吗？辅助性问题3辅助性问题3：它和相邻的内角有什么关系？辅助性问题辅助性问题4：点A处还能再画一个外角吗？辅助性问题辅助性问题5：这两个角有什么关系？【学习评价】关注学生是否积极思考和观察，能否说出外角的特征；关注学生能否画出五边形的外角并能总结外角的性质.【设计意图】通过“说特征”，引导学生认真观察，学生能够说出外角的特征；通过“画一画”活动，学生从中发现问题，并能总结外角的性质；通过总结外角的性质，并能顺利引出外角和的定义，也为下面探究外角和做了铺垫.第二部分：多边形外角和度数的探索1.猜一猜请同学们猜一猜∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少，即五边形的外角和是多少？（学生猜测为360°）2.老师提出如何验证你的结论？3.小组合作，验证猜测.学生小组合作，可以用不同的方法来验证猜测.分小组进行展示，分享自己组内的方法.4.老师用几何画板验证结论.5.老师提出：你能用代数推理的方法验证这个结论吗？（学生讲解展示）6.师生总结：由上面的验证过程可得出五边形的外角和是360°.7.类比五边形外角和的推理方法，推出六边形、八边形的外角和，进一步推出n变形的外角和.六边形的外角和是多少呢？n边形的外角和又是多少呢？师生总结：n边形的外角和等于360°,与边数无关.追踪练习：追踪练习：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多边形是n边形,根据题意，（n-2）﹒180°=3×360°解得n=8所以这个多边形是八边形.追问：如果这是一个正八边形，那么它的每个内角怎样计算？（引出下个环节）【预设学生可能出现的验证方法和问题】1.用量角器测量角度，可能会出现误差.2.用剪拼的方法，把五个角剪掉凑到一起，可能回出现缝隙或者重合的现象.3.用内角和定理来求出外角和.4.语言表达能力欠佳，说的不够清楚，知道推理思路，但在推理式子化简的过程中出现问题.【解决方案】1.小组合作，相互交流并展示，给没有思路的同学提供帮助.对于语言方面，鼓励学生积极发言，大胆补充，老师在用词上做适当的引导.2.老师用利用几何画板软件平移外角，使其汇聚一点，体现“拼图”过程的“无缝”性，确保“不重不漏”.3.学生的方法可以有多种：测量角度，剪拼凑周角，把五个角凑到一个点处，理论证明等，通过学生的合作交流，开阔学生的思维，激发学生的兴趣.4.问题精细化，问题串的形式引发学生更细致的思考，培养学生的数学严谨性.辅助性问题辅助性问题1：你能猜测出五边形的外角和是多少吗？为什么呢？辅助性问题辅助性问题2：你能验证吗？如何验证？主要问题：多边形的外角和是多少？主要问题：多边形的外角和是多少？辅助性问题3辅助性问题3：通过测量你发现了什么？测量可靠吗？辅助性问题辅助性问题4：拼角的过程存在什么问题？能否避免？辅助性问题辅助性问题5：你还有其他验证方法吗？说一说.【学习评价】1.关注学生是否积极思考和验证结论.2.关注学生能够积极的参与小组互动，能否清晰的表达组内的验证方法.【设计意图】1.因为小刚围着五边形跑了一圈最终回到原点，跑步方向改变了360°，因此学生猜测五边形的外角和是360°，从而激起学生寻求途径验证猜想的正确性.学生最先想到的就是测量，但因为测量误差的问题，学生积极地尝试用不同的角度寻求解决问题的办法，逐步从实验几何过渡到论证几何.2.拼图活动把对象的数字属性转化为图形属性，用图形解释抽象的数学现象，验证猜想，使结论更进一步准确，同时也使学生积累活动经验，用实验操作的手段验证猜想.3.通过测量、拼图，学生加深了对多边形外角和大小的进一步认识.因为拼图会有缝隙或者重叠现象，所以拼出来的结果会有一定的误差，根据测量、拼图只能大致猜想多边形外角和的大小，但是不能断定多边形外角和就为360°，激起学生用更准确的方法去验证猜想的正确性.4.老师借助几何画板软件平移外角，把所有外角汇聚到一点，正好组成了一个周角，几何画板加深学生直观感知，进而把对象的图形属性进行抽象概括.5.最终通过代数推理，利用内角和公式推出了五边形的外角和是360°.在探求过程中我们使用了观察、猜想、验证、推理的数学方法，并且运用了类比、归纳等数学思想,培养学生的逻辑思维能力.6.在研究了五边形的外角和的基础上，进一步引导学生推出六边形的外角和、八边形的外角和，从而归纳得出n边形的外角和.三、应用新知：1.由上个环节的计算正八边形的每一个内角引出多边形的每个外角的计算方法.思考：正多边形的每个内角是多少度？每个外角呢？为什么？你有几种表示方法？（学生分享自己的表示方法）2.师生总结：每一个外角：每一个内角的表示方法：3.追踪练习：(1)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是_____边形.(2)若一个正多边形的内角是120°,那么这是正____边形.【设计意图】本环节设计了从一般多边形到正多边形的相关计算和应用，学生的认知上升到更高度的层次，由于学生在上节课的时候有过类似思考，即求正多边形的每一个内角，加以学生的大胆发言，学生对此环节掌握还是不错的，并能熟练地应用这些公式解决问题.四、巩固与拓展：1.巩固练习：（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形?（2）一个正多边形的每个外角是36°，这个多边形是几边形？

（3）是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的五分之一？2.拓展提升：（1）如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…这样一直走下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径