北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷

阶段性练习高三数学一选择题：本大题共4分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】集合，所以.2.若复数，则在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【详解】复数，则，所以在复平面上对应的点位于第三象限.3.双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：令，化简可得．故选D．第1页/共20页

考点：双曲线的渐近线．4.已知，则下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】A【解析】【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错.对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确对于C，已知且以，故C正确.对于D在D正确.5.已知数列的前项和为，则（）A.35B.C.D.【答案】C【解析】【详解】因为，即，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，则，所以.6.已知向量，则的最小值为（）A.B.2C.2D.【答案】D【解析】【详解】向量，第2页/共20页

则，当时，取最小值.7.为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（）A.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）D.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）【答案】B【解析】【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2，A错误；对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，B正确；对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2，C错误；对于D，把函数图象上所有点的纵坐标变为原来的，D错误.8.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件第3页/共20页

C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当时，，令，当时，可得，由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数，所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立；反之：当时，可得，又由正弦函数的单调递增区间为，要使得函数在区间上单调递增，则满足，即，且，解得，所以必要性不成立，综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.9.任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B第4页/共20页

【解析】【详解】由，，解得；由，解得；由，解得或；由，解得或；由，解得或或；由，解得或或或；由，或或或或或，所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素.10.已知直线与相交于点与圆交于两点，且，则的最大值为（）A.2B.4C.8D.16第5页/共20页

【答案】D【解析】【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解.【详解】直线：，所以直线过定点；直线：，所以直线过定点.又，所以.所以点的轨迹是以线段为直径的圆.因为的中点为，，所以点的轨迹方程为：.因为直线与圆交于两点，且，所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则.如图：，且,所以，即的最大值为.二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共分.若抛物线：的焦点在直线上，则p等于______.【答案】4【解析】【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值.第6页/共20页

的方程为为，又由抛物线的焦点在直线上，则有，解可得．故答案为：.12.二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________.【答案】①.②.24【解析】【详解】的二项展开式的第1项是，常数项为.13.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________.【答案】【解析】【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积.【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径.外径长为，所以外圆半径上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:上下外圆柱体积+中部正方体体积第7页/共20页

=空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，所以玉琮的体积为.14.设的值依次为__________.【答案】2，3，（答案不唯一）【解析】【分析】利用诱导公式，结合的取值范围和等式恒成立可得的一组值.【详解】因，且当时，等式对任意实数都成立，所以，，满足条件需求.故满足条件的一组实数的值依次为：2，3，（答案不唯一）.15.已知函数.给出下列四个结论：①当时，为偶函数；②当时，对任意，都有；③当时，在上单调递减；④存在实数，使得有2个零点.其中正确结论的序号为__________.【答案】①②③【解析】【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④.第8页/共20页

【详解】函数的定义域为，对于①，当时，，，为偶函数，①正确；对于②，当时，，求导得，函数在上单调递减，恒有，②正确；对于③，当时，，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确；对于④，函数的零点即为方程的根，亦即函数的图象与直线交点的横坐标，在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图：直线过定点，令与函数相切的切点为，由，求导得，则，解得，则当时，函数的图象与直线有1个交点；当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点；当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点，因此当时，函数的图象与直线有1个交点；当时，函数的图象与直线没有交点；当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点，第9页/共20页

所以不存在实数，使得有2个零点，④错误.三解答题：本大题共6小题，共分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1的中点为平行四边形，则根据线面平行的判定定理证明；（2）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角.【小问1详解】取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形.所以，因为平面平面，所以平面.【小问2详解】第10页/共20页

由题知平面，所以，又因为，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系.所以，则.根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为，则即，令，则.于是，设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，所以.17.随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表：等级优等品非优等品甲车床加工的零件数7525乙车床加工的零件数8020假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率.（1）分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率；（2）从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等第11页/共20页

品的个数，估计的数学期望；（3､乙两台车床加工的零件数之比为1优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明）【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】1）利用频率估计概率求解；（2）求出的可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期望；（3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为，求出和得到与的大小.【小问1详解】甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则，乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则.【小问2详解】为这3个零件中优等品的个数，则的可能取值为，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品，，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品，或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品，，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品，或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品，第12页/共20页

，，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品，，.【小问3详解】，甲、乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，则，，，.18.在中，.（1）求；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（20分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积.第13页/共20页

【解析】1）利用余弦定理求解即可；（2的值得到的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出.【小问1详解】，，，，.【小问2详解】条件①，，，，，不符合题意，不存在这样的三角形；条件②，，，，，，，，，，；条件③，第14页/共20页

，其中为的外接圆的半径，，，，，，，，，，，，.19.已知椭圆，过点，焦距为.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由.【答案】（1），（2）光线经过轴反射后经过点【解析】1）由已知条件列出关于方程组求出即可求解.（2）先表示过点的直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得、，计算求解即可.【小问1详解】第15页/共20页

由题可得，椭圆的方程为，所以椭圆的离心率.【小问2详解】如图为椭圆的右焦点，，设，，设过点的直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立得，展开并整理得，则即，且，，第16页/共20页

，光线经过轴反射后经过点.20.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零；（3）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）证明过程见解析（3）【解析】1）根据导数几何意义及直线的点斜式方程求解即可.（2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可.（3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可.【小问1详解】当时，，则，，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即.第17页/共20页

【小问2详解】函数的定义域为，.因为4是的极小值点，所以，即，解得.当时，，，令，则，解得或当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，，故此时的