《数学》-第四章　三角函数

４.１角的概念推广

在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的转向，顺时针方向和逆时针方向，习惯上，我们规定，按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角，当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，旋转生成的角又常称为转角．射线ＯΑ绕端点Ｏ旋转到ＯＢ的位置所成的角，记作ΑＯＢ，ＯΑ叫做ΑＯＢ的始边，ＯＢ叫做ΑＯＢ的终边．以ＯＢ的始边，ＯΑ为终边的角记作ＢＯΑ，如图４－１（１）所示∠ＡＯＢ＝１２０°，∠ＢＯＡ＝－１２０°

当射线ＯΑ绕端点Ｏ旋转时，施转量可以超过一个周角，形成任意大小的角，角的度数表示旋转量的大小，如图４－２（ａ），（ｂ）所示α＝－４５０°，β＝－６３０°．下一页返回４.１角的概念推广

如图４－２ｃ所示，射线ＯΑ旋转９０°到射线ＯＢ位置，接着再旋转－３０°到ＯＣ的位置，则∠ΑＯＣ＝∠ΑＯＢ＋∠ＢＯＣ＝９０°＋（－３０°）＝６０°，这就是说各角和的旋转量等于各角旋转量之和９０°－３０°，可直接看成９０°和－３０°的和，一般地，α－β可直接看成α和－β的代数和，引入正、负角的概念后，角的减法运算都可转化为角的加法运算．∠ΑＯＢ表示以ＯΑ为始边，以ＯＢ为终边的角，显然，如果不指出旋转量的大小，它可以表示许多旋转量不同的角，但这些角彼此相差３６０°的整数倍，设∠ΑＯＢ＝α（图４－３（ａ））则下一页返回上一页４.１角的概念推广

等，它们的始边和终边都分别相同，所有与角α始边与终边相同的角构成的集合为：今后，我们在直角坐标系中讨论角，通常使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与ｘ轴的正半轴重合，它的终边落在第几象限，就叫做第几象限角，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．返回上一页４.２弧度制

把一圆周分成３６０等份，则其中１份所对的圆心角是１度角，这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制，下面来介绍在数学和其他科学研究中常用的另一种度量角的制度－－弧度制．我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做１弧度角．观察图４－５中，两个大小不同的同心圆，显然同一圆心角所对弧长与半径都不相等，但它们的比值相同．于是长为的弧所对的圆心角（正角）α＝l/r（ｒａｄ）我们知道，圆周长ｌ＝２πｒ，

因此周角平角＝πｒαｄ直角＝下一页返回４.２弧度制

但平角又等于１８０°，于是可得到角度制与弧度制的换算关系：πｒαｄ＝１８０°返回上一页４.３任意角的三角函数１．任意角的三角函数的定义在初中，我们已学过锐角三角函数，如果是直角三角形的一个锐角，则下一页返回４.３任意角的三角函数

已知角为任意角，如图４－８所示，在角α的终边上任取一点ｐ（ｘ，ｙ），点ｐ到原点Ｏ的距离为ｒ（ｒ＞０），那么我们把比值y/r,x/r,y/x,x/y,r/x,r/y分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，分别记作：依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、余割值与之对应，所以这六个对应法则都是以α为自变量的函数，分别称为角α的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数．下一页返回上一页４.３任意角的三角函数２．三角函数在各象限的符号由三角函数的定义可知，角α的六个三角函数的符号与角α终边上点Ｐ（ｘ，ｙ）的横坐标和纵坐标的符号有关，由此可确定各三角函数值在各象限的符号．如图４－１０（ａ）～（ｂ）所示．返回上一页４.４同角三角函数的基本关系式由三角函数的定义和勾股定理，可得：这三个关系是三角函数三个最基本的关系式，当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这三个关系式和三角函数的定义，就可以求出这个角的其余三角函数值，此外，还可以用它们化简三角函数式或证明三角恒等式．返回４.５诱导公式１．角α与α＋ｋ·２π（ｋ∈Ｚ）的三角函数间的关系在直角坐标系中，角α与α＋ｋ·２π（ｋ∈Ｚ）的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等．即利用上述公式（１），我们可把绝对值大于２的任一角的三角函数问题转化为研究绝对值小于２角的三角函数问题．下一页返回４.５诱导公式２．角α与－α的三角函数间的关系如图４－11所示，设单位圆与角α、角－α的终边的交点分别为Ｐ和Ｐ′容易看出，点Ｐ和点Ｐ′关于ｘ轴对称，已知点Ｐ的坐标是（ｃｏｓα，ｓｉｎα）于是，得利用公式（２），可用任意正角的三角函数表示负角的三角函数，从公式（２）还可看出，余弦函数是偶函数，正弦函数、正切函数是奇函数．下一页返回上一页４.５诱导公式３．角α与α±π的三角函数间的关系设角α与α±π的终边与单位圆分别交于点Ｐ和Ｐ′（图４－１２（ａ）．（ｂ））容易看出，点Ｐ与点Ｐ′关于原点对称，它们的对应坐标为互为相反数．所以公式（１），（２），（３）都叫做诱导公式返回上一页４.６两个角的和与差的

正弦、余弦、正切公式１．两角和的正弦、余弦、正切公式（证明略）２．两角差的正弦、余弦、正切公式（证明略）返回４.７倍角公式

在公式Ｓα＋β，Ｃα＋β

，Ｔα＋β中令α＝β就可得出相应的二倍角的三角函数公式：有了二倍角三角函数公式，就可用单角三角函数表达二倍角的三角函数．返回４.８三角函数的图象和性质１．正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ的图象函数ｙ＝ｓｉｎｘ的定义域是∠（－∞，＋∞）．先在区间［０，２π］上作它的图象．取自变量ｘ从０至２π的一些值，求出函数ｙ的对应值，并把它们列成下表：以表中每组值在直角坐标系中描出相应的点，并以平滑的曲线把它连结起来，就得到［０，２π］上正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ的图象．如图４－１３所示．下一页返回４.８三角函数的图象和性质

因为ｓｉｎ（２ｋπ＋ｘ）＝ｓｉｎｘ（ｋ∈Ｚ），所以正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ在…［－２π，０］，［２π，４π］…上的图象与在［０，２π］上的图象完全一样．我们把ｙ＝ｓｉｎｘ在ｘ∈［０，２π］时的图象向左或向右依次平行移动２π个单位，就可以得到ｙ＝ｓｉｎｘ在定义域（－∞，＋∞）内的图象（图４－１４）．正弦函数的图象叫做正弦曲线２．正弦函数的主要性质（１）有界性（２）周期性（３）奇偶性（４）单调性返回上一页４.９正弦型函数的图像和性质

在物理和工程的许多问题中，经常会遇到形如ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的函数（其中Ａ、ω、φ是常数）．这种函数通常叫做正弦型函数．下面通过例题来研究这类函数的性质和简图的作法．例１作函数ｙ＝２ｓｉｎｘ及ｙ＝１/２ｓｉｎｘ的简图解：易知，函数ｙ＝２ｓｉｎｘ及ｙ＝１/２ｓｉｎｘ的周期Ｔ＝２π，作（ｘ∈［０，２π］）时的函数的简图．列表：下一页返回４.９正弦型函数的图像和性质

描点作图（图４－１６）．利用这类函数的周期性，可把上面的简图向左、向右连续平移２π，４π，…，就可得出ｙ＝２ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ，及ｙ＝1/2ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ的简图（图略）．从图４－１６可以看出，函数ｙ＝２ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ的值域是［－２，２］，最大值是２，最小值是－２；函数ｙ＝１/２ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ的值域是［－１/