以情境引入为例的导学设计-《二项分布》-初中-综合-教学设计

7.4.1二项分布温馨一、教材解读1.内容：重伯努利试验，二项分布的定义及其应用，二项分布的均值和方差。2.内容解析：（1）n重伯努利试验：n重伯努利试验也称n次独立重复试验，其特征是独立性（各次试验之间相互独立）和重复性（在同一试验条件下重复进行试验），判断试验是否是n重伯努利试验是本节课的重点也是难点。（2）二项分布是基于特殊试验（n重伯努利试验）的特殊概率模型，对于服从二项分布的随机变量X，运用二项分布的知识，能快速解决关于X的相应问题；另外，相较以往的概率计算方法，基于二项分布能将运算量减少，提高效率的同时能提高准确率。在教学中，将利用二项分布解决问题的方法和其他方法比较，体会其优势。二、教学目标1.知识与技能（1）理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念，学会某件事是否满足二项分布模型；（2）掌握随机变量服从二项分布的有关计算，能够解决相关实际应用问题。2.过程与方法（1）通过丰富实例引导学生归纳、分析、再抽象出数学概念，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养。（2）二项分布的分布列采用特殊到一般的探究方式，目的是为了让学生体验计算过程，唤醒其在建立二项式定理时的经验，从而发现一般的解决方法；（3）通过对二项分布进行应用，培养学生运用概率模型解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观在利用二项分布解决一些简单的实际问题过程中，深化对某些随机现象的认识，进一步体会数学取材于生活，应用于生活。三、教学重难点1.教学重点：（1）n重伯努利试验（2）二项分布的定义和应用。2.教学难点：（1）二项分布的理解；（2）在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布并能用二项分布解决问题四、教学过程教学过程设计意图一、情境引入引导语众所周知，姚明通过自身努力成为了我国至今为止成就最高的篮球运动员。他职业生涯的罚球命中率为，假设他每次命中率都相同，你知道他在次连续投篮中，投中次数的概率分布列是怎样的吗？我们今天要从一个新的角度来研究这个问题。问题1分析下面的试验，它们有什么共同的特点？姚明投篮中或者不中球；检验一件产品；医学检验结果阴性或阳性；【预设答案】它们只包含两个可能结果，要么“发生”要么“不发生”。【概念形成】伯努利试验：只包含两种可能结果的试验。问题2下面个试验和伯努利试验相关吗，它们有什么共同的特点？抛掷一枚质地均匀的硬币次；一批产品的次品率为，有回放的随机抽取件。篮球运动员每次投篮命中的概率为，连续射击次；【预设答案】它们的共同特点是：1、同一个伯努利试验重复多次；2、各次试验的结果相互独立。【概念形成】n重伯努利试验：一个伯努利试验独立重复进行次所组成的随机试验。辨析（1）伯努利试验和重伯努利试验有什么区别？（2）在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？【预设答案】伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”，我们关注某个事件是否发生，重伯努利试验是对一个“只有两个结果的伯努利试验”独立、重复进行了次，我们关注的是这个事件发生的次数，进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。问题3：请判断下面3个n重伯努利试验中的伯努利试验是什么?对于每个试验定义“成功”的事件为A，那么A是什么？概率是多大?重复试验的次数是多少?关注的随机变量X是什么？(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中恰好有4次正面向上的概率.(2)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件，其中抽中15件正品的概率(3)某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.8，连续投球3次，其中三次命中的概率二、探究新知问题1姚明职业生涯的罚球命中率为，假设他每次命中率都相同，次连续投篮中，投中次数的概率分布列是怎样的？师生活动：用表示“第次投篮命中”（），用树状图表示试验的可能结果。由分步乘法计数原理，次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是个互相独立事件的积，由概率的加法和乘法公式得，，，.其中次投篮恰好次投中的结果为：，他们的概率都相等，都为，并且与哪两次命中无关，因此次投篮恰好次投中的概率为。同理可求投中次，次，次的概率，因此投中次数的概率分布列是思考如果连续次投篮，类比上面的分析，表示投中次的结果有哪些？写出投中次数的分布列。问题2你能抽象概括出一类概率问题的计算吗？【预设答案】重伯努利试验模型中，事件发生的次数的概率分布列为【概念形成】二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binominaldistribution），记作。追问1二项分布与两点分布有何关系？【预设答案】两点分布是一种特殊的二项分布，是的二项分布。追问2二项分布和二项式定理有何联系？【预设答案】如果把看成，看成，则就是二项式的展开式的通项，由此才称为二项分布。即。三、学以致用例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，求：（1）恰好出现次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在内的概率。师生活动1：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个重伯努利试验，因此正面朝上的次数服从二项分布。【预设答案】设“正面朝上”，则，用表示事件发生的次数，则。恰好出现次正面朝上等价为，于是；正面朝上出现的频率在内等价为，于是。变式1某射手射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在5次射击中:(1)恰有3次击中目标的概率；(2)至少有4次击中目标的概率.例2如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为，，，…，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列。师生活动1：播放高尔顿板试验的动画，学生观看。教师补充：高尔顿版试验启示我们事物的发展大多是渐进和累积的，从全局的角度来考虑问题才能掌握事物的本质特性。后面随着我们数学学习的不断深入，同学们能更深入地体会高尔顿板试验对概率论与数理统计的贡献。师生活动2：学生来分析，小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果，设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是。在下落的过程中，小球共碰撞小木钉次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个重伯努利试验，小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此服从二项分布。【预设答案】设“向右下落”，则“向左下落”，且。因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，所以。于是的分布列为。的概率分布图为下图所示：例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，那么采用局胜制还是采用局胜制对甲更有利?师生活动1：学生甲分析，判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率。【预设答案】采用局胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为。（类似地，采用局胜制，甲最终获胜有种比分，或因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为。）学生乙分析可以假定赛完所有局,把局比赛看成重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。【预设答案】采用局胜制，不妨设赛满局，用表示局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为。追问1若局胜制，实际比赛中如果谁先赢局就不再比第局，这与二项分布计算中设赛满局矛盾吗？【预设答案】不矛盾，解释如下表所示，前两局甲连胜的概率为，可以分解为前两局甲连胜，第三局甲胜或者不胜来计算，而三种情形总体来看表示二项分布中的，而表示，因此两种计算方式其实是一致的，而二项分布的计算方式更简便，还可以做到不重不漏。第1局第2局第3局概率情形一甲赢甲赢情形二甲赢甲输甲赢情形三甲输甲赢甲赢类似地，采用局胜制，不妨设赛满局，用表示局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为。因为，所以局胜制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。四、总结提升1、回顾本节课，我们学习哪些知识？2、我们如何判定随机变量是否服从二项分布？两点分布是学生已有的知识经验，它是用来描述只有两种结果的试验概型，进而创造思维的最近发展区，引导学生在丰富的实际案例中抽象出重伯努利试验模型，理解重伯努利试验满足的条件和它将解决的问题，从而激发学生的学习热情。通过姚明投篮问题让学生经历概念的自主建构过程，体会二项分布满足的条件：1、对立性，一次试验中，事件发生或者不发生二者必有其一；2、独立重复性，试验独立重复进行了次。理解二项分布中各个参数的含义：重为复试验的次数；为事件发生的