2023年上海师大学附中数学高二年级下册期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题，木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“\^£凡，>一”的否定是（）

x1x2

A.VxeR,e<xB.3x（）eR,e0>x0

x2

C.3x0GRy<XQD.V.reR,e<x

2.过抛物线），2=4A•的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若|Aq=5,贝ij忸耳=（）

1c「5n

A.—B.1C.—D.2

44

3.已知全集。=/?,集合A={x|-3C<1},B={x\x[-2^x）2}t那么集合Ac（G，8）=（）

A.{x|-3<x<-2}B.-3<xv2}c.{x\-2<x<\}D.{x|x<2}

4.有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X,则其数学期望为E（X）=（）

A.2B,2.5C.3D.3.5

5.在三棱柱A3C—45G，"，面ABC,ZZ?AC=y,AA,=4,AB=AC=，则三棱柱ABC-Agq

的外接球的表面积为（）

A.32万B.48〃C.64兀D.72兀

6.设集合M={0,1,2）,则（）

A.1GMB.24MC.3GMD.{0}GM

2222

7.对于椭圆C,®:二+三=若点（毛,%）满足工+”<1，则称该点在椭圆内，在平面直角坐

a~b~a~b~

标系中，若点A在过点（2,1）的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）

A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部

8.已知函数/（工）=，+/'+2cosX,其中。为自然对数的底数，则对任意下列不等式一定成立的是（）

A.B./（/+1）工〃2々）

c./("+1)27(4+1)D./(«2+1)</(«)

9.在，的展开式中，上的系数为（）

（x+^Xr-2）1

A・-32B.Tc.8D・48

10.定义“规范01数列”｛斯｝如下：｛斯｝共有26项，其中加项为0,削项为1,且对任意ZW2〃7,%,%「・・,4,中0

的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有

A.18个B.16个

C.14个D.12个

11.z（l+i）=2i（i为虚数单位），则复数z对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

12.已知命题P：*O£R，A-o+1<2x0,命题q：若如27n■］<（）恒成立，则那么（）

A.“一/2”是假命题B."r”是真命题

C.“〃八9”为真命题D.为真命题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知等比数列｛/｝中，4=1,4=8,则公比9=；%=.

14.设集合A=｛2,4｝,B=｛2,6,8｝,则AU8=.

15.某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低

于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校平均开销在［40,60］元的学生人数为.

16.fix）=2sinwx（0<w<1）,在区间0,y上的最大值是夜，则切=.

三、解答题；共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知。，8,c分别为AABC三个内角A,8,C的对边，且息「osA+l

csinC

（1）求角A的大小;

（2）若b+c=5且AA3c的面积为求。的值.

18.（12分）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调

查小组得到如下统计数据：

年份X20142015201620172018

足球特色学校y（百个）0.300.601.0()1.401.70

（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数「，并说明y与x的线性相关性强弱.

（已知：0.753厂区1,则认为y与x线性相关性很强；0.3W"|v0.75,则认为），与x线性相关性一般；卜区0.25,

则认为与x线性相关性较）：

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测4地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.

■&一可一一力

参考公式和数据：闫

副J“一他I”（一）2,

£（七-可2=10,次（凹一y）2=1.3,713®3.6056,

;-|I-i

-za-可他一方

b=上-------------,a=y-bx.

£（西-工）2

1=1

19.（12分）如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC,AA}=2,AB=®，。为8片的中点，点后为线段

上的一点.

(1)若DE_LC£>,求证：OEJLAB；

⑵若AE=2EB「异面直线AB】与CD所成的角为30°,求直线QE与平面AACC所成角的正弦值.

bQ

20.（12分）已知。，均为正实数，求证：/+不?以+瓜

21.（12分）如图，己知椭圆G：]+]=1与椭圆C?:会+,=1（（）<m<吟的离心率相同.

（1）求加的值；

（2）过椭圆G的左顶点4作直线/,交椭圆G于另一点4,交椭圆C?于P,。两点（点?在AQ之间）.①求AOPQ

面积的最大值（O为坐标原点）；②设PQ的中点为椭圆G的右顶点为C,直线与直线BC的交点为R,

试探究点R是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

22.（10分）在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，大轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

为p1+2夕cos。-2&z?sine-1=0.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的直线网os（0+q）+手=0距离最大的点的直角坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定.

【详解】

命题的否定需要将限定词和结论同时否定,

题目中：V为限定词，五ER为条件，为结论；而V的否定为e'的否定为/工£,

所以6R,e，>x2的否定为3%eR,卢<玉：

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考杳了命题的否定,属于简单题.

2、C

【解析】

根据抛物线的定义，结合同尸|=5,求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论.

【详解】

抛物线的焦点F(1,0),准线方程为工二-1,

设A(x,y),

Jl!||AF|=X+1=5,故x=4,此时y=4,即A(4,4),

则直线AF的方程为了二；二，即

4-04-13

代入),2=以得49一171+4=0，

解得x=4(舍)或x=

则忸耳=卜1=%

故选：C.

【点睛】

本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键.一般和抛物线有关的小题，可以应用结论

来处理；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点

距和点线距的转化。

3、C

【解析】

先求得集合8的补集，然后求其与集合A的交集.

【详解】

依题意C*={x|-2Kx42},故Ac(G8)={x|—2WxG},故选C.

【点睛】

本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.

4、B

【解析】

利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出.

【详解】

厂厂-8

随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=^-^—(k=l,2,3,4).

所以，随机变量X的分布列为

X1234

131

P2

147714

13315

随机变量X的数学期望E(X)=1x—+2x-^+3x^+4x—=^.

1477142

【点睛】

本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5、C

【解析】

利用余弦定理可求得BC,再根据正弦定理可求得AABC外接圆半径小由三棱柱特点可知外接球半径

”=卜+(*),求得"后代入球的表面积公式即可得到结果，

【详解】

•・•A8=AC=2内且NBAC=—二.BC2=AB2+AC2-2AB-ACcos—=36

33

3c=6

r-BC-6-2J3

由正弦定理可得A48C外接圆半径：2sinN8AC。.2K”

2sin——

3

••・三棱柱ABC-A4G的外接球半径：R=J/+(g74Al=71274=4

•••外接球表面积：S=4/rR2=64^

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三

棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径.

6、A

【解析】解：由题意，集合M中含有三个元素0,b1.

，A选项1CM,正确；B选项1轴，错误；C选项3£M,错误，D选项{0}£M,错误；

故选：A.

【点评】本题考查了元素与集合关系的判定，一个元素要么属于集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，这就是

集合中元素的确定性.

7、B

【解析】

由P(2,l)在椭圆上，根据椭圆的对称性，则尸关于坐标轴和原点的对称点fi(-2J),C(-2-l),Z)(2,-l)都在椭圆上，

即可得结论.

【详解】

设A(x0,y°)在过P(2,l)的任意椭圆G.M内或椭圆G.⑶上，

芯.<1,即苞_+范<£1

=1f

b2-a2b2-a2

由椭圆对称性知，B(-2,l),C(-2-l),D(2,-l)都在任意椭圆上，

・•・满足条件的A点在矩形P8CO上及其内部，

故选：B.

【点睛】

本题考查点到椭圆的位置关系.考查椭圆的对称性.由点在椭圆上，则(-〃2,-〃),。(皿-〃)也在

椭圆上，这样过P点的所有椭圆的公共部分就是矩形P8CO及其内部.

8、A

【解析】

/(--v)=/(x)，可得“X)在A上是偶函数.函数/(X)=e"+「+2COSX,利用导数研究函数的单调性即可得出结

果.

【详解】

解：/(一”=/(耳，・・・/•(”在R上是偶函数.

函数/(x)=/+e~x+2cosx,

f\x)=ex-e~x-2sinx,

令g(x)=e'-ev-2sinx,

则g'(x)=，+e~x-2cosx>0,

「•函数g(x)在R上单调递增，

八0)=0,

二.函数/(x)在[0,+oo)上单调递增.

«2+1>2|^|>0,

.•./(/+1”/(2同)=/(2江

.•.小2+1)之"2〃).

故选：A.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9、C

【解析】

利用：工-2尸的展开式通项，与、.和.分别做乘法，分别求得*的系数，作和求得整体的：的系数.

【详解】

•展开式的通项为：C；

与1r相乘可得：X・q_(_2尸=中1(一27

当r=5时得：(-2)5x=[32*

与,相乘可得：.

a/・牛1(-2尸=

当.=2时得：。；(一2\=汕

.F的系数为：-32+40=8

本题正确选项：Q

【点睛】

本题考查二项式定理求解K的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并

同类项得到结果.

10、C

【解析】

试题分析：由题意，得必有q=。，%=1,则具体的排法列表如下：

0111

011

0

101

1

10

C011

001

011,01010011;010101011,共14个

110

01

10

11)

011

10001

1

10

【点睛】

求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格

法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到出奇制胜的效果.

11、A

【解析】

通过Z二二求出Z,然后得到复数2对应的点的坐标.

1+i

【详解】

9/9/(1_/)

由z(+i)=2i♦得z=4="1=1+2所以复数z在复平面对应的点在第一象限.

\71+z(1+/)(1-?)

【点睛】

本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.

12、D

【解析】

分别判断命题P，夕的真假性，然后再判断每个选项的真假

【详解】

VX2-2x4-1=(x-l)2>0

x2+1>2x，即不存在玉£R,x2+\<2x

，命题〃是假命题

若nvr-nix-\<0恒成立，

⑴加=0时，一1<0,即〃?=0符合条件

m<0

Um~2+44相<八0

解得-4<m<0

.,.YC/TZWO,则命题4为真命题

故〃vq是真命题

故选。

【点睛】

本题考杳了含有“或”“且”“非”命题的真假判定，只需将命题的真假进行判定出来即可，需要解答一元二次不等

式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、24

【解析】

根据等比数列通项公式构造方程求解即可.

【详解】

,/a4=ad==8:.q=2

%。=4

本题正确结果：2；4

【点睛】

本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.

14、{2,4,6,8}

【解析】

分析：AD5={2,4,6,8}

详解：因为A={2,4},8={2,6,8},ADB表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以

人」6={2,4,6,8}

点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.

15、330

【解析】

由频率分布直方图得每天在校平均开销在［40,60］元的学生的频率为0.66,由此能求出每天在校平均开销在［40,60］

元的学生人数.

【详解】

解：由频率分布直方图得：

每天在校平均开销在［40,60］元的学生的频率为：

1-(0.01+0.024)x10=0.66,

」•每天在校平均开销在［40,60］元的学生人数为：

500x0.66=330.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

3

16、-

4

【解析】

函数人幻的周期r=」，

CD

因此人x)=2siiu"x在0,—上是增函数，

_CO_

7171

V0<w<l,A0,—是0,一的子集，

3co

71

・\AX)在0,y上是增函数，

J7［\f-(7t\1-

••/Iyj=>/2>即2sin［彳①J=0,

K兀

33

故答案为?

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4=60°;(2)^=713.

【解析】

分析：（1）根据正弦定理边化角，根据二角恒等变换求出A：

（2）根据面积求出bc=4,利用余弦定理求出a.

详解：（1）由正弦定理得，色竺二皿上2

sinCsinC

VsinCw0

兀］

***>/3sinA-cosA=2,即sinA--=1.

Ib)

VO<74<7t,A—^<A-y<-,

666

TtTC,2兀

A—=-/.A=—.

623

(2)由：S^BC=V3可得S=g/?csinA=G.

:.bc=4f

Vb+c=5»

:.由余弦定理得：a2=b2-i-c2-2/?ccos>4=(b+c)~-be=21,

：•a=\fl\"

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,

从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步；求结果.

18、(1)0.998,y与x线性相关性很强

(2)y=0.36x-724.76,244

【解析】

(1)根据题意计算出r,再比较即得解；(2)根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解.

【详解】

(1)由题得元=2016,y=\

£(D57)36

所以“鼠；T电.「而

Vr=lVi=l

「.y与x线性相关性很强.

(2)b=^~^------------

SUF

i=\

_(-2)x(-0.7)+(-1)x(-0.4)+1x04+2x0.7

4+1+0+1+4

=0.36,

a=y-bx=\-20\6x0.36=-724.76,

),关于x的线性回归方程是J=0.36A-724.76.

当x=2020时，y=0.36x-724.76=2.44,

即该地区2020年足球特色学校有244个.

【点睛】

本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19、(1)证明见解析；(2)通

3

【解析】

(1)根据三棱柱是直三棱柱的特征，又AC=,可作AB中点M,连接DM,通过线面垂直证明OE_L平面CMD,

可推出又MDHAB1,可证OE_LA4

(2)通过作图，分别以MA,MO,为x轴、V轴、z轴，建立空间直角体系，先通过几何法求出CM长

度，分别表示出线面角各点对应的坐标，再用向量公式算出直线DE与平面AAG。所成角的正弦值

【详解】

证明：(1)取48中点M,连接CM,M。，有MD//AB1,

因为AC=8C,所以CM_LAB,

又因为三棱柱ABC-A片G为直三棱柱，

所以平面A3C_L平面A84A，

又因为平面ABC平面ABqA=AB,

所以CM_L平面ABBM，

又因为OEu平面ABqA，

所以CM_LDE

又因为QE_LC。，CDcMD=D,COu平面CM。，CMu平面CM。,

所以OE_L平面C'MO,

又因为MDu平面CM力，

所以。EJ_MD,因为

所以。E_LA81.

(2)设AB1cB41=。，如图以M为坐标原点,

分别以M4,MO,MC为r轴、＞轴、z轴，建立空间直角体系,

由(D可知NCDW=30。，DM=旦，所以CM=包,

22

故忤,0,-±.2,0,C。,喘，小手叫E-TT0

对平面A4|CC，M=(0,2,0)^(0,1,0),AC=—>(1,0,—1),

所以其法向量可表示为〃=(1,(),1).

又DE=，工,0—>(^2,1,0),

I33J

DEny/3

所以直线OE与平面的Gc成角的正弦值二-jn=—.

DE\\n\3

【点睛】

证线线垂直一般是通过线面垂直进行证明，本题其实还可以采用射影逆定理进行证明，通过证明与斜线垂直即

DE1CD,推出与射影垂直，DELMD,不妨一试；对于像本题中第二问不太好确定线面关系而又发觉立体图形

比较规整的，比如说正方体、长方体、正三棱锥，直棱柱等，都可直接考虑建立空间直角坐标系来进行求解

20、见证明

【解析】

b

~^=+逐22\[a

方法一：因为。，人均为正实数，所以由基本不等式可得正+&N2协两式相加整理即可;

4b

方法二：利用作差法证明

【详解】

解：方法一：

因为。，力均为正实数，所以由基本不等式可得£+^22〃a

方\[b>2G,

br~a

两式相加，得丁+(a+不+出之2G+2扬

所以9+*之G+扬.

方法二:

与十冬-&=+=(a-b)(-^=一一^=)=(\[a->Jb)(y/a+4b)

\layjbyJa\lb\lb\Ja《ab

—\[by(<y[ci+\[by

>0.

\lab

所以*+4之"+

【点睛】

本题考查不等式的证明，一般的思路是借助作差或作商法，条件满足的话也可借助基本不等式证明.

21、(1)1；(2)①也；②点R在定直线工=一］上

43

【解析】

(1)利用两个椭圆离心率相同可构造H方程，解方程求得结果；(2)①当48与X轴重合时，可知不符合题意，则可

设直线48的方程：x=g」2且加工0；设P&，x),。(天，为)，联立直线AB与椭圆。2方程可求得，，％，则

可将所求面积表示为：乂9=44。0值，利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解，

从而求得所求的最大值；②利用中点坐标公式求得M,则可得直线。W的方程；联立直线48与椭圆G方程，从而

可求解出8点坐标，进而得到直线BC方程，与直线OM联立解得R坐标，从而可得定直线.

【详解】

(1)由椭圆G方程知：4=2,瓦=收；«=如-星=6

.,.离心率：e=—=

l%2

2

又椭圆。2中，%=叵,b2-m；.c2=5/2-m

e-,=—=——>又0</〃<0，解得：tn—1

%2Y2

(2)①当直线A8与x轴重合时，O,P,Q三点共线，不符合题意

故设直线A3的方程为：工=〃?-2且加工0

设尸（x，y），。（天，必）

2

由（1）知椭圆C的方程为：^-+x2=\

2

联立方程消去x得：y2+2（my-2）2-2=0

即：（x+lnr^y1-8/m?+6=0

解得：——J4m2—6,4阳+“疗_g,L|>^

J11+2/％1+2m2（I2J

=

又SRPOQ=ShAOQ-Sgop=；AO|y-y2|226

L1I乙III-

令1+2M=t>4

214nl2-6二甲=2厚二回4