智能制造技术与数字化工厂 课件 2.2.4机器人位姿及坐标变换

CONTENTS目录2.2.4工业机器人位置和姿态表示

机器人是一种多自由度机构，须知道每一关节变量的值才能知道其手部所处位置和姿态。需要用位置矢量、平面和坐标系等概念进行描述。

本章的机器人运动学就是基于D-H方法来对机器人进行建模分析。

首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方程，进一步对其求解。1.位置描述

建立直角坐标系

，将空间点P在坐标系

中的位置矢量记为则P点的位置：

在迪卡尔坐标系下对一点位置的描述，通常可采用三维坐标、位置矢量及矩阵等多种形式来表示。2.姿态描述

一个刚体的姿态可以由某个固接于刚体的坐标系来描述。为了规定空间某刚体B的姿态，设置一直角坐标系

与此刚体固接，用坐标系的三个单位主矢量

，，，相对于参考坐标系的方向余弦组成的矩阵来表示刚体B相当于坐标系的姿态。称为坐标系相对于的旋转矩阵。旋转矩阵的性质：列向量两两正交，行向量两两正交；列向量和行向量都是单位向量；每一列是的基矢量在中的分量表示，同样，每一行是的基矢量在中的分量表示；旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1；它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：称为坐标系相对于的旋转矩阵。如果刚体B相对于坐标系A的X、Y、Z作转角为θ的旋转变换，其旋转矩阵分别为：s表示sinc表示cos3.位姿描述

刚体的位姿即刚体在空间的位置和姿态，如前面已经讨论的采用位置矢量描述点的位置，采用旋转矩阵描述物体的姿态。要完整描述刚体

B在空间的位姿，通常将物体B与一坐标系

相固接，的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心等。相对坐标系，坐标系

的原点坐标和坐标轴的姿态，分别由旋转矩阵和位置矢量描述。当B相对A的姿态相同，只需表示位置时，式中旋转矩阵当B相对A的原点相同，只需表示姿态关系时,式中的位置矢量小结本节讲述了工业机器人的位姿描述，也就是机器人的位置和姿态描述，让同学们对刚体的矢量位置和旋转矩阵相关知识的理解，下一节介绍坐标变换。谢谢收看！CONTENTS目录2.2.5坐标变换1.平移坐标变换1.平移坐标变换1.平移坐标变换描述坐标系B相对于坐标系A的位置矢量表示点P在坐标系B中的位置表示点P在坐标系A中的位置也称为平移矢量（平移方程）2.旋转坐标变换（坐标旋转方程）为坐标系B相对A的方位的旋转矩阵为坐标系A相对B的方位的旋转矩阵为正交矩阵，两者互逆3.复合坐标变换3.复合坐标变换（1）（2）（3）小结本节讲述了任意点P在不同坐标系中的描述，阐明从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述关系，包括平移坐标变换、旋转坐标变换及复合坐标变换，下一节介绍齐次坐标变换。谢谢收看！为什么要引入齐次坐标呢?这是由使用齐次坐标在解决一些实际问题中的简便而引入的。许多图形应用涉及到几何变换，主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些矩阵时，平移矩阵是相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，将这些变换综合起来可以表示为：p'=pM₁+M₂(式中，p表示原向量，p'表示变换后的向量；M₁表示旋转缩放矩阵，M₂表示平移矩阵)。由于多次使用这样的变换会使方程中产生大量的代数项，为此，人们希望将这些变换对应的矩阵合并，减小方程中的项数，所以引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，使变换表示为p'=pM的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。CONTENTS目录2.2.6齐次坐标变换1.齐次坐标齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。是点的齐次坐标ω为作为通用比例因子通常取ω=1的齐次坐标表示为例如三维空间中的P点

齐次坐标的性质（1）齐次坐标的不唯一性比如

是某点的齐次坐标，则

(λ为任意常数)也是该点的齐次坐标。所谓不唯一性，是指某点的齐次坐标具有无穷多点，不是单值确定的。

齐次坐标的性质（2）齐次坐标的坐标原点和坐标轴根据齐次坐标的定义：坐标原点ox轴的无限远点--ox轴oy轴的无限远点--oy轴oz轴的无限远点--oz轴

齐次坐标的运算设：则有：

齐次坐标的运算2.齐次矩阵将表示为齐次坐标形式：由（1-1）（1-2）式1-1和式1-2完全等价2.齐次矩阵当B相对A的姿态相同，只需表示位置时，式中旋转矩阵当B相对A的原点相同，只需表示姿态关系时,式中的位置矢量齐次变换矩阵是机器人学中重要术语，它将转动和移动组合在一个4X4的矩阵中。3.用齐次矩阵表示平移变换平移变换就是两个向量的相加设向量3.用齐次矩阵表示平移变换这个两个式等效，根据齐次坐标加法性质可知：3.用齐次矩阵表示平移变换由此可知：表示一平移变换，点沿参考坐标系x、y、z轴的平移量分别为a、b、c。齐次变换矩阵，它既可代表矢量,也可表示坐标系,还可用来实现坐标变换。此变换矩阵的每一个元素乘上一非零元素后不会改变这个变换例求矢量按照矢量进行平移变换得到的矢量课堂练习：求矢量被矢量平移的结果4.利用齐次矩阵表示旋转变换构件坐标系绕参考坐标的x、y、z轴分别旋转

角时，其齐次坐标旋转变换矩阵分别为s表示sinc表示cos例.已知坐标系B初始姿态与坐标系A重合，首先B相对于A的轴旋转

，再延A的轴移动12个单位，再延A的轴移动6个单位。设B中有一个矢量，用齐次变换方法求其在A中的描述。解：例求矢量绕参考坐标系z轴转后，再绕y轴转后的姿态。解：例求矢量绕参考坐标系z轴转后，再绕y轴转后的姿态。解：还可以把上面两个旋转变换合在一起进行连续变换，但是要注意矩阵的次序。因矩阵乘法不具备交换性质，相对于参考坐标进行连续旋转