陕西省汉中市多校联考2025-2026学年高二数学上学期10月阶段性测试一含解析

陕西省汉中市多校联考2025-2026学年高二数学上学期10月阶段性检测（一）

试题

一、单选题

1．直线3xy20的倾斜角为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

2．若直线axy10与a5x2y0平行，则a（）

A．5B．4C．3D．2

3．在空间四边形ABCD中，AB1,3,2,BC2,3,1,AD3,1,2，则CD（）

A．4,1,1B．4,1,1

C．0,5,1D．0,5,1

4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A2,1,1,B1,1,2，若点C与点B关于平面xOz对称，则AC

（）

A．2B．6C．14D．22

5．已知三条直线2xy40,kxy30,xy20交于一点，则实数k=（）

A．1B．1

3

C．D．1

24

6．已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，棱AB,CD的中点分别是M,N，则ANMC（）

111

A．a2B．a2C．a2D．a2

234

7．设mR，直线xmym0过定点A，直线mxym30过定点B，则AB（）

A．5B．25C．2D．4

8．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC，CC1的中点，若直线A1C与平面AEF

交于点M，则线段D1M的长度为（）

A．32B．2

2

42

C．5D．

3

二、多选题

9．已知向量a(1,1,1),b(1,0,2)，则（）

A．|a|3

333

B．与a同向的单位向量为(,,)

333

C．ab1

15

D．cosa,b

15

10．已知ABC中，点B(2,1)和C(2,3)，则下列说法正确的是（）

A．|BC|25

B．BC边所在直线的方程为x2y40

C．边BC上的高所在直线的倾斜角为钝角

D．若A(3,2)，则ABC的面积为3

11．已知直线l:x3cosysin50R，则下列结论正确的是（）

1

A．若直线y3x1与l平行，则tan

3

π1

B．若把l绕其与x轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为2，则tan

43

π25

C．若0,,l与直线y2x6垂直，则sin

25

D．对任意的，都存在定点P，使得点P到l的距离为定值

三、填空题

12．已知向量a1，2，1,b3,x,y，且a//b，则xy．

13．过点1,1且在x轴上的截距与在y轴上截距相等的直线的方程为．

14．已知在空间直角坐标系Oxyz中，过点Px1,y1,z1且一个法向量为nx2,y2,z2的平面的方程为

x2xx1y2yy1z2zz10．若平面的方程为3xy2z0，直线l的一个方向向量为a2,1,3，

则直线l与平面所成角的正弦值为．

四、解答题

15．已知向量a3,1,5,b1,6,2,c5,8,．

(1)若a,b,c共面，求的值；

(2)若kabb，求k的值．

16．已知点P(2,3)，点O为坐标原点．

(1)若直线l过点0,2，且OP//l，求l的方程；

2PA

(2)若直线l过点P，与x轴负半轴及y轴负半轴分别交于点A，B，且OAOB，求的值．

3PB

17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF平面ABCD，EF∥AB，AD2，

ABAF2EF1，P为DF的中点．

(1)证明：BF//平面APC；

(2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值．

18．在直角坐标系xOy中，直线l：4x3y240与x，y轴分别交于点A，B，直线xt与线段AB交于点

C，与x轴交于点D.

(1)求与l平行且距离为2的直线的方程；

(2)若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值；

(3)若点M0,m满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值.

19．如图，在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设ABa,AFb，AA1c．

(1)用a,b,c分别表示A1D,A1C．

1

(2)若cosBAAcosFAA,AB2,AA4，求：

1141

（ⅰ）A1CA1D；

（ⅱ）AE1．

题号12345678910

答案CAAACBABABDAD

题号11

答案ACD

1．C

设直线的倾斜角为，根据直线的方程求出直线的斜率k，再由ktan结合0π即可求解.

【详解】设直线3xy20的倾斜角为，

由3xy20可得y3x2，

所以直线的斜率k3，则tan3，

2π

因为0π，所以，

3

故选：C.

2．A

由两直线平行可得2aa50，且10120，求解即可.

【详解】若直线axy10与a5x2y0平行，

则2aa50，且10120，解得a5．

故选：A.

3．A

利用向量加减法的坐标运算直接求解即可.

【详解】由题知，CDABBCAD1,0,33,1,24,1,1.

故选：A

4．A

根据题意，求得C1,1,2，得到AC(1,0,1)，结合向量模的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，点A2,1,1,B1,1,2，

若点C与点B关于平面xOz对称，可得C1,1,2，

则向量AC(1,0,1)，所以AC(1)2122.

故选：A.

5．C

联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.

2xy40x2

【详解】由，即两直线交点坐标为(2,0)，

xy20y0

3

代入kxy30得：2k030k.

2

故选：C

6．B

先分别将AN,MC用AB,AC,AD表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可.

【详解】如图所示，设ABp,ACq,ADr，

由题意知pqra，且p,q,r三向量两两夹角均为60，

111

ANACADqr,MCACAMqp，

222

11121112

ANMCqrqpqqprqrpa．

222222

故选：B.

7．A

先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可.

【详解】直线xmym0过定点A0,1，

直线mxym30过定点B1,3，

22

则AB10315．

故选：A

8．B

242

根据向量共线可得M(,,)，进而根据空间中点点距离即可求解.

333

【详解】如图，连接A1C，因为直线A1C与AF都在平面A1ACC1内，

所以直线A1C与AF的交点即A1C与平面AEF的交点M，

12

由于EF//AA且EFAA，故由三角形相似，可得AMAF，

1213

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，

442

则A(2,0,0),F(0,2,1),D1(0,0,2)，所以AF(2,2,1)，从而AM(,,)，

333

242242

所以M的坐标为M(,,)，所以DM()2()2(2)22,

3331333

故选:B

9．ABD

由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与a同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误.

a333

【详解】由题设|a|1212123，与a同向的单位向量为(,,)，A、B正确；

|a|333

由数量积的坐标运算得ab1(1)10121，C错误；

ab15

由|b|(1)2225，则cosa,b，D正确．

ab15

故选：ABD

10．AD

A由两点距离公式判断；B将已知点代入验证即可；C两点式求BC的斜率，进而确定对应高的斜率，结合倾

斜角与斜率关系判断；D点斜式写出BC的方程，求点A到直线BC的距离、|BC|，应用三角形面积公式求

面积.

【详解】由|BC|(22)2(13)225，故A正确；

将(2,1)代入x2y40，则2240，故B错误；

311

k，故边BC上的高所在直线的斜率为2，故C错误；

BC222

1

由C分析，边BC所在直线的方程为y3(x2)x2y40，

2

|344|3

点A到直线BC的距离为d，又|BC|25，

55

所以ABC的面积为3，故D正确．

故选：AD

11．ACD

求出斜率计算判断A；利用斜率的定义，结合和角的正切公式计算判断B；由垂直关系求出斜率，结合同角

公式计算判断C；求出点到直线距离判断D.

cos1

【详解】对于A，若直线y3x1与l平行，则3，所以tan，故A正确；

sin3

πtan1

对于B，设l的倾斜角为，则tan2，所以2，

41tan

1cos1

解得tan，所以,tan3，故B错误；

3sin3

cos1

对于C，若两条直线互相垂直，则，

sin2

1

即cossin，可知为锐角，代入sin2cos21，

2

25

可得sin，故C正确；

5

对于D，考虑定点P3,0不在直线l上，

5

点3,0到l的距离d5为定值，故D正确．

cos2sin2

故选：ACD

12．3

根据空间向量共线的充要条件可得.

【详解】a1，2，1,b3,x,y，且a//b

3xy

，解得x6，y3，

121

xy633．

故答案为：3.

13．yx

分直线过坐标原点和不过原点两种情况讨论求解即可.

【详解】当直线过坐标原点时，显然斜率存在，

设直线方程为ykx，将1,1代入，得k1，即k1，

所以直线方程为yx；

xy

当直线不过坐标原点时，设直线方程为1a0，

aa

11

将1,1代入，得1，方程无解．

aa

故满足题意的直线方程为yx．

故答案为：yx．

14．11

14

由平面方程得平面的一个法向量，由直线l与平面所成角的正弦值等于直线l的方向向量与平面的法向

量夹角余弦的绝对值可得．

【详解】由题意知平面的一个法向量为b(3,1,2)，

设直线l与平面所成角为，

ab61611

则sincosa,b，

ab141414

故答案为：11．

14

15．(1)8

41

(2)

7

（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解；

（2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.

【详解】（1）a3,1,5,b1,6,2,a与b不平行，

a,b,c共面，

3xy5x2

存在实数x,y，使得cxayb，即x6y8，解得y1，

5x2y8

故实数的值为8．

（2）a3,1,5,b1,6,2，且kabb，

2

kabbkabb0，

41

即k361013640，解得k．

7

16．(1)3x2y40；

(2)1.

（1）求出直线OP的斜率，由平行关系，结合直线的斜截式方程求出方程.

（2）由给定条件，求出直线l的斜率，由直线的点斜式方程求出直线方程，进而求出点A的坐标即可得解.

333

【详解】（1）直线OP的斜率为，由OP//l，则直线l的斜率为，其方程为yx2，

222

所以直线l的方程3x2y40.

2OB33

（2）依题意，直线l的斜率为负，由OAOB，即，得直线l的斜率为，

3OA22

3

则直线l的方程为y3(x2)，当y0时，x4，即A(4,0)，

2

过P作PDx轴于D，则D(2,0)，而PD//OB，

|PA||AD|2

所以1

|PB||OD|2

17．(1)证明见解析

(2)221．

21

（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，得到线面平行；

（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的

向量夹角公式进行求解.

【详解】（1）如图，连接BD，交AC于点O，连接PO．

因为四边形ABCD为矩形，所以OBOD，

因为P，O分别为DF和DB的中点，所以BF//PO，

又PO平面APC，BF平面APC，

所以BF//平面APC．

（2）因为AF平面ABCD，AB,AD平面ABCD，

所以AFAB，AFAD，

因为四边形ABCD为矩形，所以ABAD，

以A为坐标原点，AB，AD，AF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

11

则A0,0,0，C1,2,0，E,0,1，P0,1,，

22

11

AC1,2,0，AP0,1,，EC,2,1．

22

设平面APC的法向量为mx,y,z，

mACx2y0,

则1，令y1，则x2,z2，得m2,1,2．

mAPyz0,

2

设直线EC与平面APC所成的角为，

mEC122221

则sincosm,EC，

mEC2121

3

2

221

所以直线EC与平面APC所成角的正弦值为．

21

18．(1)4x3y140或4x3y340

96

(2)t3或t

25

2412

(3)m0或m或m

75

（1）根据直线平行，设出所求直线的方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解；

（2）根据图形，△OCD与△AOB有两种相似情况，分别求解即可；

（3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得

【详解】（1）设与l平行的直线方程为4x3y0，

24

由平行线间的距离公式可得2，解得14或34，

4232

即所求的直线方程为4x3y140或4x3y340.

（2）由l：4x3y240，令x0,得y8；令y0,得x6,

∴A6,0,B0,8

由条件知CD与x轴垂直，所以CDOBOA90，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角即可.

4

①若CODBAO，则ktanCODtanBAO,

OC3

4

∴直线OC的方程为：yx，

3

4

yxx3

由3，解得，所以C3,4，此时t3.

y4

4x3y240

3

②若CODABO，则ktanCODtanABO

OC4

3

∴直线OC的方程为：yx，

4

96

3x

yx25967296

由4，解得，所以C,，此时t.

72252525

4x3y240y

25

96

综上，t3或t.

25

244t244t4t24

（3）由题知，0t6，点C坐标为t,，则MCt,m，CD0,,MDt,m.

333

244t

m

324

若△MCD为等腰直角三角形，且MCD为直角，则，解得mt；若△MCD为等腰直角三

244t7

t

3

MDCD0

角形，且MDC为直角，则，

MDCD

m4t24

0m0

3m0

即，解得24或（舍去）

2

4t2422tt24

t