2024-2025学年江苏省常州二十四中天宁分校七年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省常州二十四中天宁分校七年级（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分）1．（2分）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）计算：（﹣2m4）3＝（）A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m123．（2分）下列运算正确的是（）A．（a4）3＝a7 B．a12÷a4＝a8 C．a4•a3＝a12 D．a3+a3＝2a64．（2分）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．（x+2a）（x﹣2a） B． C． D．（x+2y）（﹣x+2y）5．（2分）若（x﹣m）（x+3）＝x2﹣nx﹣3，则n的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．36．（2分）下列各图中，能直观解释“（3a）2＝9a2”的是（）A． B． C． D．7．（2分）如图，如果△ABC经过旋转后能与△A'B'C重合，那么（）A．点C是旋转中心，逆时针旋转90° B．点C是旋转中心，顺时针旋转90° C．点B是旋转中心，逆时针旋转90° D．点B是旋转中心，顺时针旋转90°8．（2分）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分）9．（2分）计算：3﹣1＝．10．（2分）计算：（﹣3a2b3c）3＝．11．（2分）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为0.00000117m，将数据0.00000117用科学记数法表示为．12．（2分）比较大小：320915（填“＞”“＜”或“＝”）．13．（2分）若3m+n﹣5＝0，则23m×2n＝．14．（2分）若x2﹣mx+25是一个完全平方式，则常数m的值为．15．（2分）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向平移，得到△DEF，若BF＝9，EC＝3，那么平移的距离是．16．（2分）如图，有正方形和长方形卡片若干张，如果拼成一个长为2m+n，宽为m+5n的长方形，则需要C类卡片张．17．（2分）两个正方形ABCD，AEFG如图摆放，边长分别为x，y．若x+y＝15，BE＝4，则图中阴影部分面积和为．18．（2分）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF，EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，∠FEG＝50°，则∠MEN＝°．三、解答题（本大题共7小题，共64分。其中，19题16分，20、23题每题6分，21、22题每题8分，24、25题每题10分）19．（16分）计算下列各题：（1）（﹣a2）3•（﹣a3）2；（2）（﹣2a2）3•a6﹣（﹣5a6）2；（3）（﹣3x+1）（x﹣2）；（4）（2a﹣b﹣3）（2a+b﹣3）．20．（6分）先化简，再求值：（2m+n）2﹣（m+5n）（m﹣n），其中m＝2，n＝﹣1．21．（8分）如图，点A，B，C，D都在网格图的格点上，按要求画图或回答问题．（1）将四边形ABCD进行平移后，使点A的对应点为点A1，请你画出平移后所得的四边形A1B1C1D1；若连接BB1，DD1，则这两条线段之间的关系是；（2）若四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称，请你画出四边形A2B2C2D2；若连接AA2，则线段AA2的中点是．22．（8分）如图，已知C′是△ABC的顶点C关于某条直线l的对称点．（1）请利用无刻度的直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹）；（2）请利用刻度尺和三角板画出关于△ABC直线l对称的△A'B'C'；（3）若∠A＝25°，∠C＝45°，则∠B′＝°．23．（6分）通过计算，探索规律：152＝225，可写成100×1×（1+1）+25，252＝625，可写成100×2×（2+1）+25，352＝1225，可写成100×3×（3+1）+25，…（1）按规律填空：852＝7225，可写成；（2）请你说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除．24．（10分）【阅读】如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位；那么形如a+bi（a，b为实数）的数叫作复数，a是这个复数的实部，b是这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似；（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②两个复数，若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭负数．【理解】（1）填空：（4+i）（4﹣i）＝；【运用】（2）若a+bi是（3+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；【拓展】（3）已知（a+í）（b+i）＝1﹣5i，求（a2+b2）（1+i+i2+i3+i4+⋯+i2025）的值．25．（10分）已知长方形ABCD中，边AB的长度为a，边AD的长度为b，a＞2b．（1）如图1所示，将长方形ABCD绕着边AD中点O旋转，点A，B，C，D的对应点分别记为点A1，B1，C1，D1，旋转角记为∠α．当0°＜∠α＜360°时，下列关于长方形ABCD与长方形A1B1C1D1重叠部分的图形说法正确的是（填序号）．①一定是轴对称图形；②可能是中心对称图形；③可能是正方形；④可能是六边形；（2）将长方形ABCD绕着点A旋转，点B，C，D的对应点分别记为点B2，C2，D2，旋转角记为∠β．①如图2所示，当旋转方向为逆时针方向且∠β＝90°时，连接AC，CC2，AC2，试求△ACC2的面积（用含a，b的代数式表示，结果需化简）；②当0°＜∠β＜90°时，旋转过程中，当长方形AB2C2D2与原长方形ABCD重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和∠β的度数．

2024-2025学年江苏省常州二十四中天宁分校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDBBADAA一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分）1．（2分）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A．绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；B．绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意；C．绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；D．绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．2．（2分）计算：（﹣2m4）3＝（）A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．【解答】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12，故选：D．3．（2分）下列运算正确的是（）A．（a4）3＝a7 B．a12÷a4＝a8 C．a4•a3＝a12 D．a3+a3＝2a6【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项法则；对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（a4）3＝a12，故此选项不符合题意；B、a12÷a4＝a8，故此选项符合题意；C、a4•a3＝a7，故此选项不符合题意；D、a3+a3＝2a3，故此选项不符合题意；故选：B．4．（2分）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．（x+2a）（x﹣2a） B． C． D．（x+2y）（﹣x+2y）【分析】A、C、D选项均把式子写成平方差公式的类项，进行计算，然后判断即可；B．把式子写成完全平方公式的形式，然后判断即可．【解答】解：A．∵（x+2a）（x﹣2a）＝x2﹣4a2，∴此选项的计算能够用平方差公式，故此选项不符合题意；B．∵，∴此选项能够用完全平方公式进行计算，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；C．∵，∴此选项的计算能够用平方差公式，故此选项不符合题意；D．∵（x+2y）（﹣x+2y）＝（2y+x）（2y﹣x）＝4y2﹣x2，∴此选项的计算能够用平方差公式，故此选项不符合题意；故选：B．5．（2分）若（x﹣m）（x+3）＝x2﹣nx﹣3，则n的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【分析】根据多项式乘多项式，把原式的等号左边展开后，得到m，n的值，从而得到结果．【解答】解：∵（x﹣m）（x+3）＝x2﹣nx﹣3，∴x2+3x﹣mx﹣3m＝x2﹣nx﹣3，∴x2+（3﹣m）x﹣3m＝x2﹣nx﹣3，∴3﹣m＝﹣n，3m＝3，∴m＝1，n＝﹣2，故选：A．6．（2分）下列各图中，能直观解释“（3a）2＝9a2”的是（）A． B． C． D．【分析】分别根据长方形的面积列式计算即可．【解答】A表示的面积是（3a）a＝3a2；B表示的面积是3（3a）＝9a；C表示的面积是（3×3）（3a）＝27a；D表示的面积是（3a）2＝9a2．∴ABC不符合题意，D符合题意．故选：D．7．（2分）如图，如果△ABC经过旋转后能与△A'B'C重合，那么（）A．点C是旋转中心，逆时针旋转90° B．点C是旋转中心，顺时针旋转90° C．点B是旋转中心，逆时针旋转90° D．点B是旋转中心，顺时针旋转90°【分析】首先根据图形确定旋转中心，然后利用已知条件确定旋转角即可求解．【解答】解：依题意∠ACB＝60°，而∠BCA′＝30°，∴△ABC绕着旋转中心点C，逆时针旋转90°即可能与△A'B'C重合．故选：A．8．（2分）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b【分析】由题意得：8×2a＝（2b）8，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8，∴23×2a＝28b，∴3+a＝8b，故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分）9．（2分）计算：3﹣1＝．【分析】根据负整数指数幂的意义计算即可．【解答】解：．故答案为：．10．（2分）计算：（﹣3a2b3c）3＝﹣27a6b9c3．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．【解答】解：原式＝﹣27a6b9c3．故答案为：﹣27a6b9c3．11．（2分）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为0.00000117m，将数据0.00000117用科学记数法表示为1.17×10﹣6．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.00000117＝1.17×10﹣6．故答案为：1.17×10﹣6．12．（2分）比较大小：320＜915（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】将这2个数化为指数相等的幂，然后比较它们的底的大小即可．【解答】解：320＝（34）5＝815，915＝（93）5＝7295，∵81＜729，∴815＜7295，∴320＜915．故答案为：＜．13．（2分）若3m+n﹣5＝0，则23m×2n＝32．【分析】应用同底数幂的乘法运算法则，对式子进行变形，指数整体代入数值，进行有理数的乘方运算即可．【解答】解：∵3m+n﹣5＝0，∴3m+n＝5，∴23m×2n＝23m+n＝25＝32．14．（2分）若x2﹣mx+25是一个完全平方式，则常数m的值为±10．【分析】根据完全平方式得出mx＝±2•5x，再求出m即可．【解答】解：根据题意得：mx＝±2•5x，解得：m＝±10．故答案为：±10．15．（2分）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向平移，得到△DEF，若BF＝9，EC＝3，那么平移的距离是3．【分析】根据平移的性质求出BE的长即可解决问题．【解答】解：由平移可知，BC＝EF，所以BE＝CF．又因为BF＝9，EC＝3，所以BE，则平移的距离是3．故答案为：3．16．（2分）如图，有正方形和长方形卡片若干张，如果拼成一个长为2m+n，宽为m+5n的长方形，则需要C类卡片11张．【分析】根据题意列式为（2m+n）（m+5n），利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，确定mn的系数即可．【解答】解：（2m+n）（m+5n）＝2m2+10mn+mn+5n2＝2m2+11mn+5n2，其中11mn的系数为11，即需要C类卡片11张，故答案为：11．17．（2分）两个正方形ABCD，AEFG如图摆放，边长分别为x，y．若x+y＝15，BE＝4，则图中阴影部分面积和为30．【分析】依题意得CD＝AB＝AD＝x，AG＝EF＝AE＝y，BE＝x﹣y根据三角形面积公式得S△EFGx（x﹣y），S△EFBy（x﹣y），则S阴影＝S△EFG+S△EFB（x+y）（x﹣y），再根据BE＝4得x﹣y＝4，然后将x﹣y＝4，x+y＝15代入计算即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，∴CD＝AB＝AD＝x，AG＝EF＝AE＝y，∴BE＝AB﹣AE＝x﹣y∵S△EFGCD•DGx（x﹣y），S△EFBEF•BEy（x﹣y），∴S阴影＝S△EFG+S△EFB（x2﹣y2）（x+y）（x﹣y），∵BE＝4，∴x﹣y＝4，又∵x+y＝15，∴S阴影15×4＝30．故答案为：30．18．（2分）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF，EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，∠FEG＝50°，则∠MEN＝115或65°．【分析】分点G在点F的右侧和点G在点F的左侧，两种情况进行讨论求解即可．【解答】解：当点G在点F的右侧，∵△EAN沿AN折叠，∴EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF∠AEF，∠MEG∠BEG，∴∠NEF+∠MEG∠AEF∠BEG（∠AEF+∠BEG）（∠AEB﹣∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝50°，∴∠NEF+∠MEG（180°﹣50°）＝65°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝65°+50°＝115°；当点G在点F的左侧，∵折叠，∴EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF∠AEF，∠MEG∠BEG，∴∠NEF+∠MEG∠AEF∠BEG（∠AEF+∠BEG）（∠AEB+∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝50°，∴∠NEF+∠MEG（180°+50°）＝115°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG﹣∠MEG＝115°﹣50°＝65°；综上，∠MEN的度数为115°或65°，故答案为：115或65．三、解答题（本大题共7小题，共64分。其中，19题16分，20、23题每题6分，21、22题每题8分，24、25题每题10分）19．（16分）计算下列各题：（1）（﹣a2）3•（﹣a3）2；（2）（﹣2a2）3•a6﹣（﹣5a6）2；（3）（﹣3x+1）（x﹣2）；（4）（2a﹣b﹣3）（2a+b﹣3）．【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的乘法进行计算；（2）根据积的乘方和同底数幂的乘法进行计算；（3）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（4）根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）（﹣a2）3•（﹣a3）2＝﹣a6•a6＝﹣a12；（2）（﹣2a2）3•a6﹣（﹣5a6）2＝﹣8a6•a6﹣25a12＝﹣8a12﹣25a12＝﹣33a12；（3）（﹣3x+1）（x﹣2）＝﹣3x2+6x+x﹣2＝﹣3x2+7x﹣2；（4）（2a﹣b﹣3）（2a+b﹣3）＝（2a﹣3）2﹣b2＝4a2﹣b2﹣12a+9．20．（6分）先化简，再求值：（2m+n）2﹣（m+5n）（m﹣n），其中m＝2，n＝﹣1．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将m、n的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（2m+n）2﹣（m+5n）（m﹣n）＝4m2+4mn+n2﹣m2+mn﹣5mn+5n2＝3m2+6n2，当m＝2，n＝﹣1时，原式＝3×22+6×（﹣1）2＝18．21．（8分）如图，点A，B，C，D都在网格图的格点上，按要求画图或回答问题．（1）将四边形ABCD进行平移后，使点A的对应点为点A1，请你画出平移后所得的四边形A1B1C1D1；若连接BB1，DD1，则这两条线段之间的关系是平行且相等；（2）若四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称，请你画出四边形A2B2C2D2；若连接AA2，则线段AA2的中点是点O．【分析】（1）由题意得，四边形ABCD向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到四边形A1B1C1D1，根据平移的性质作图即可；根据平移的性质可得答案．（2）根据中心对称的性质作图即可；根据中心对称的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得，四边形ABCD向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到四边形A1B1C1D1，如图，四边形A1B1C1D1即为所求．由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等．故答案为：平行且相等．（2）如图，四边形A2B2C2D2即为所求．∵四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称，∴线段AA2的中点是点O．故答案为：点O．22．（8分）如图，已知C′是△ABC的顶点C关于某条直线l的对称点．（1）请利用无刻度的直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹）；（2）请利用刻度尺和三角板画出关于△ABC直线l对称的△A'B'C'；（3）若∠A＝25°，∠C＝45°，则∠B′＝110°．【分析】（1）作线段CC'的垂直平分线l，则直线l即为所求．（2）根据轴对称的性质作图即可．（3）由题意得∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°，再根据轴对称的性质可得∠B'＝∠B＝110°．【解答】解：（1）如图，作线段CC'的垂直平分线l，则直线l即为所求．（2）如图，△A'B'C'即为所求．（3）∵∠A＝25°，∠C＝45°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°．∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∴∠B'＝∠B＝110°．故答案为：110．23．（6分）通过计算，探索规律：152＝225，可写成100×1×（1+1）+25，252＝625，可写成100×2×（2+1）+25，352＝1225，可写成100×3×（3+1）+25，…（1）按规律填空：852＝7225，可写成100×8×（8+1）+25；（2）请你说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除．【分析】（1）根据已知数据得出变化规律即可；（2）任意一个个位数是5的整数都可以写成10n+5，再利用完全平方公式分析即可．【解答】解：（1）根据题意可得：852＝7225，可写成100×8×（8+1）+25；故答案为：100×8×（8+1）+25；（2）任意一个个位数是5的整数都可以写成10n+5，即（10n+5）2＝100n2+100n+25＝25（4n2+4n+1）＝25（2n+1）2；∵2n+1为奇数，∴25（2n+1）2为25的倍数，∴（10n+5）2能被25整除，∴任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除．24．（10分）【阅读】如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位；那么形如a+bi（a，b为实数）的数叫作复数，a是这个复数的实部，b是这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似；（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②两个复数，若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭负数．【理解】（1）填空：（4+i）（4﹣i）＝17；【运用】（2）若a+bi是（3+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；【拓展】（3）已知（a+í）（b+i）＝1﹣5i，求（a2+b2）（1+i+i2+i3+i4+⋯+i2025）的值．【分析】（1）利用平方差公式计算即可；（2）将（3+2i）2利用完全平方公式计算后根据共轭复数的定义求得a，b的值，然后计算（b﹣a）2的值即可；（2）将（a+í）（b+i）展开后得出a+b，ab的值，然后将原式变形并计算即可．【解答】解：（1）原式＝16﹣i2＝16+1＝17，故答案为：17；（2）（3+2i）2＝9+12i+4i2＝9+12i﹣4＝5+12i，∵a+bi是（3+2i）2的共轭复数，∴a＝5，b＝﹣12，∴（b﹣a）2＝（﹣12﹣5）2＝289；（3