北京交通职业技术学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

北京交通职业技术学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

第一大题：选择题（总共10题，每题3分，从每题给出的四个选项中，选出一个最符合题目要求的选项，将其代号填入题后的括号内）1.用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，若要求误差不超过$\epsilon$，则二分次数$n$至少为（）A.$\frac{\ln(b-a)-\ln\epsilon}{\ln2}$B.$\frac{\ln(b-a)+\ln\epsilon}{\ln2}$C.$\frac{\ln(b-a)-\ln\epsilon}{2\ln2}$D.$\frac{\ln(b-a)+\ln\epsilon}{2\ln2}$2.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上具有二阶连续导数，且$f(a)f(b)<0$，则用牛顿法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根时，牛顿迭代公式为（）A.$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$B.$x_{n+1}=x_n+\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$C.$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)f^{\prime\prime}(x_n)}{2f^\prime(x_n)^2}$D.$x_{n+1}=x_n+\frac{f(x_n)f^{\prime\prime}(x_n)}{2f^\prime(x_n)^2}$3.设$A$是$n$阶方阵，$x$是$n$维向量，若$Ax=0$有非零解，则$A$的行列式$|A|$（）A.大于0B.小于0C.等于0D.不等于04.已知线性方程组$Ax=b$，其中$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$，则用高斯消元法求解该方程组时，第一步消元后得到的方程组为（）A.$\begin{cases}2x_1+x_2=3\\\frac{3}{2}x_2=\frac{3}{2}\end{cases}$B.$\begin{cases}2x_1+x_2=3\\x_2=1\end{cases}$C.$\begin{cases}x_1+2x_2=3\\\frac{3}{2}x_2=\frac{3}{2}\end{cases}$D.$\begin{cases}x_1+2x_2=3\\x_2=1\end{cases}$5.对于插值多项式$P(x)$，若$f(x)$在插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$上具有$n+1$阶导数，则插值余项$R(x)=f(x)-P(x)$为（）A.$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$，其中$\xi$介于插值节点与$x$之间，$\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$B.$\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\omega_{n}(x)$，其中$\xi$介于插值节点与$x$之间，$\omega_{n}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$C.$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n}(x)$，其中$\xi$介于插值节点与$x$之间，$\omega_{n}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$D.$\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\omega_{n+1}(x)$，其中$\xi$介于插值节点与$x$之间，$\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$6.已知函数$f(x)=\sinx$，在区间$[0,\pi]$上取节点$x_0=0,x_1=\frac{\pi}{2},x_2=\pi$，则用线性插值法求$f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处的近似值为（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$7.设$A$是$n$阶对称正定矩阵，则求解线性方程组$Ax=b$的最速下降法收敛速度（）A.与矩阵$A$的特征值有关B.与矩阵$A$的阶数有关C.与初始向量$x_0$有关D.与向量$b$有关8.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$，用梯形公式近似计算时，其误差为（）（设$f(x)$在区间$[a,b]$上具有二阶连续导数）A.$-\frac{(b-a)^3}{12}f^{\prime\prime}(\xi)$，其中$\xi\in[a,b]$B.$\frac{(b-a)^3}{12}f^{\prime\prime}(\xi)$，其中$\xi\in[a,b]$C.$-\frac{(b-a)^2}{12}f^{\prime\prime}(\xi)$，其中$\xi\in[a,b]$D.$\frac{(b-a)^2}{12}f^{\prime\prime}(\xi)$，其中$\xi\in[a,b]$9.设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是来自总体$X$的样本，样本均值$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$，则$E(S^2)$（）A.等于总体方差$\sigma^2$B.大于总体方差$\sigma^2$C.小于总体方差$\sigma^2$D.与总体方差$\sigma^2$无关10.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则其特征值为（）A.