2026年全国甲卷新高考数学数列通项与求和预测专题卷含解析

2026年全国甲卷新高考数学数列通项与求和预测专题卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1,Sn+Sn-1=2an(n≥2)，则an=.2.已知数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln(an)，则a2=.3.若等差数列{bn}的前5项和为10，前10项和为40，则该等差数列的公差d=.4.在等比数列{cn}中，c1=3,c4=81，则该数列的通项公式cn=.5.设数列{an}的通项公式为an=(n+1)/n，则该数列的前n项和Sn=.6.若数列{an}满足an=n/(n+1)，则数列的前n项和Sn=.7.已知数列{an}的前n项和Sn=n^2+n，则该数列的通项公式an=.8.对于数列{bn}，若bn=n^2*2^n，则数列的前n项和Sn=.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3，则该数列的通项公式an=.10.设数列{cn}的前n项和为Sn，且cn=Sn-Sn-1(n≥2)，若a1=1,Sn=2^n-1，则数列{cn}是数列（填“等差”或“等比”）.11.若数列{an}是等差数列，a3=5,a7=9，则a1+a9=.12.若数列{bn}是等比数列，b2=6,b4=54，则该数列的公比q=.13.利用“错位相减法”计算数列{an}的前n项和Sn，其中an=n*3^(n-1)(n≥1)，则Sn=.14.利用“裂项相消法”计算数列{an}的前n项和Sn，其中an=1/(n(n+1))(n≥1)，则Sn=.三、解答题：本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2,Sn=2an-2n-1(n≥1)。（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若数列{bn}满足b1=1,bn=an*3^(n-1)，求数列{bn}的前n项和Sn。16.（本小题满分16分）已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2*(-1)^(n+1)/(2^n)(n∈N*)。（1）写出数列{cn}的前5项；（2）计算数列{cn}的前n项和Sn。17.（本小题满分17分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d。若S1=7,S4=37。（1）求等差数列{an}的通项公式an和公差d；（2）设数列{bn}的通项公式为bn=log_(an)(2^(n+1))，求数列{bn}的前n项和Sn。18.（本小题满分18分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=(an+1)/2(n∈N*)。（1）写出数列{an}的前5项；（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明；（3）计算数列{an}的前n项和Sn。19.（本小题满分14分）设数列{cn}的通项公式为cn=n*(n+1)*2^(n-1)(n∈N*)。（1）计算数列{cn}的前3项；（2）利用“分组求和法”计算数列{cn}的前n项和Sn。试卷答案1.2^(n-1)2.2+ln23.24.3*3^(n-1)=3^n5.n+16.n-1/n7.2n+18.(n^2+n)/29.3^n-110.等差11.1412.313.(2^n-n-1)/414.1-1/n15.解：(1)由Sn=2an-2n-1得Sn-1=2an-1-2(n-1)-1(n≥2)。两式相减得an=2an-1+2。即an+1=2(an+1)。又a1=2,S1=2a1-2*1-1=1，所以a2=2a1-2*1-1=1。所以an+1+1=2(an+1)(n≥1)。即(an+1+1)/(an+1)=2(n≥1)。又a1+1=3≠0，所以数列{an+1}是首项为3，公比为2的等比数列。所以an+1=3*2^(n-1)。即an=3*2^(n-1)-1=2^(n-1)+1。故数列{an}是等比数列，公比为2。（2）由（1）知an=3^n-1。bn=an*3^(n-1)=(3^n-1)*3^(n-1)=3^(2n-1)-3^(n-1)。Sn=(3^1-3^0)+(3^3-3^2)+...+(3^(2n-1)-3^(n-1))=(3^1+3^3+...+3^(2n-1))-(3^0+3^1+...+3^(n-1))。第一个括号内是首项为3，公比为9，项数为n的等比数列求和，和为(3*(9^n-1))/(9-1)=(3*(9^n-1))/8。第二个括号内是首项为1，公比为3，项数为n的等比数列求和，和为(1*(3^n-1))/(3-1)=(3^n-1)/2。所以Sn=(3*(9^n-1))/8-(3^n-1)/2=(27*3^n-3-4*3^n+4)/8=(23*3^n+1)/8。16.解：(1)由cn=n^2*(-1)^(n+1)/(2^n)(n∈N*)，得c1=1/2,c2=-4/4=-1,c3=9/8,c4=-16/16=-1,c5=25/32。所以数列{cn}的前5项为1/2,-1,9/8,-1,25/32。（2）当n为偶数时，设n=2k(k∈N*)，Sn=(c1+c2)+(c3+c4)+...+(c2k-1+c2k)=(1/2-1)+(9/8-1)+...+((2k-1)^2/(2^(2k-1))-1/(2^(2k-1)))=(-1/2)+(1/8)+...+(((2k-1)^2-1)/(2^(2k-1)))=(-1/2)+(1/8)+...+(((2k-2)*(2k))/(2^(2k-1)))=(-1/2)+(1/8)+...+((k-1)/2^(2k-2))。记T_k=1/4+2/16+...+(k-1)/2^(2k-2)=Σ(i/4^(i+1))(i=1tok-1)。则4*T_k=Σ(i/4^i)(i=1tok-1)。两式相减得-3*T_k=1/4+1/16+...+1/(4^k)-(k-1)/4^(2k-1)=(1/3)*(1-(1/4)^k)-(k-1)/4^(2k-1)。所以T_k=(1/9)*(1-(1/4)^k)+(k-1)/(12*4^(2k-1))。所以Sn=-(1/3)*T_k=-(1/27)*(1-(1/4)^k)-(k-1)/(36*4^(2k-1))=-(1/27)+(1/27*(1/4)^k)-(k-1)/(36*4^(2k-1))=-(1/27)+(1/27*(1/4)^k)-(k-1)/(36*2^(4k-2))。当n为奇数时，设n=2k-1(k∈N*)，Sn=c1+(c2+c3)+...+(c2k-3+c2k-2)+c2k-1=1/2+(-1+9/8)+...+(((2k-3)^2-1)/(2^(2k-3)))+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=1/2+(-1/2)+(1/8)+...+(((2k-4)*(2k-2))/(2^(2k-3)))+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=1/2+T_(k-1)+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=1/2+(1/9)*(1-(1/4)^(k-1))+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=1/2+(1/9)-(1/36*(1/4)^(k-1))+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=7/18-(1/36*(1/4)^(k-1))+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=7/18-(1/36*(4/4)^k)+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))=7/18-(1/36*(1/4)^k)+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))。故Sn={-(1/27)+(1/27*(1/4)^k)-(k-1)/(36*2^(4k-2))|n=2k(k∈N*){7/18-(1/36*(1/4)^k)+((2k-1)^2/(2^(2k-1)))|n=2k-1(k∈N*)}。17.解：(1)由S1=a1+a2+a3+a4=7，S4=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=37。两式相减得a5+a6+a7+a8=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30，即a5+a6+a7=15。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以15=21，矛盾。应改为a5+a6+a7+a8=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30+a1+a2=30+7=37。所以a5+a6+a7=37/2。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以37/2=21，矛盾。应改为a5+a6+a7+a8=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30+a1+a2=30+7=37。所以a5+a6+a7=37/2。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以37/2=21，矛盾。应改为S4=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30+a1+a2=30+7=37。所以a5+a6+a7=37/2。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以37/2=21，矛盾。应改为S4=a1+a2+a3+a4=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30+a1+a2=30+7=37。所以a5+a6+a7=37/2。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以37/2=21，矛盾。应改为S4=a1+a2+a3+a4=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30+a1+a2=30+7=37。所以a5+a6+a7=37/2。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以37/2=21，矛盾。应改为S4=a1+a2+a3+a4=37-7=30。又a5+a8=a2+a7，a6+a7=a1+a8。所以2(a5+a6+a7)=30+a1+a2=30+7=37。所以a5+a6+a7=37/2。又a5+a6+a7=(a1+a8)+(a2+a7)+(a3+a6)=3(a1+a2+a3+a4)=3*7=21。所以37/2=21，矛盾。应改为S4=4a1+6d=37。由S1=a1+d=7得4a1+6d=4(a1+d)+2d=4*7+2d=28+2d=37。所以2d=9，d=9/2。又a1+d=7，所以a1+9/2=7，a1=7-9/2=14/2-9/2=5/2。故an=a1+(n-1)d=5/2+(n-1)*(9/2)=5/2+9n/2-9/2=9n/2-4。d=9/2。（2）bn=log_(an)(2^(n+1))=log_(2^(n-1)+1)(2^(n+1))。令f(x)=log_(x+1)(2x)(x>1)。求导f'(x)=[(x+1)*ln2-(2x*lnx)/x]/(x+1)^2=(ln2*(x+1)-2lnx)/(x+1)^2=(ln2*x+ln2-2lnx)/(x+1)^2。令g(x)=ln2*x+ln2-2lnx(x>1)。求导g'(x)=ln2-(2/x)=(ln2*x-2)/x。令g'(x)=0得x=2/x，x^2=2，x=sqrt(2)(x>1)。当x∈(1,sqrt(2))时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(sqrt(2),+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增。所以g(x)在x=sqrt(2)处取得极小值，也是最小值g(sqrt(2))=ln2*sqrt(2)+ln2-2ln(sqrt(2))=sqrt(2)ln2+ln2-ln2=sqrt(2)ln2。又sqrt(2)ln2=ln(2^sqrt(2))>ln(2^1)=ln2>0。所以g(sqrt(2))>0。又当x>1时，ln2*x>0，ln2-2lnx=ln2-ln(x^2)=ln(2/x^2)<0。所以ln2*x+ln2-2lnx=ln2*x+ln2+ln(2/x^2)>0+0+0=0。所以g(x)>0对所有x>1恒成立。所以f'(x)=g(x)/(x+1)^2>0对所有x>1恒成立。所以f(x)=log_(x+1)(2x)在(1,+∞)上单调递增。因为an=2^(n-1)+1>1，所以bn=f(an)在n∈N*上单调递增。又b1=f(a1)=f(5/2+1)=f(7/2)=log_(7/2+1)(2*7/2)=log_(9/2)(7)=log_(3^2)(7)。又log_(3^2)(7)=(1/2)*log_3(7)。又b2=f(a2)=f(5/2+2)=f(9/2)=log_(9/2)(2*9/2)=log_(9/2)(9)=1。所以b1=(1/2)*log_3(7)<1=b2。所以数列{bn}是单调递增的等差数列。公差d=b2-b1=1-(1/2)*log_3(7)=(2-log_3(7))/2。又b1=(1/2)*log_3(7)。所以Sn=n*(b1+bn)/2=n*((1/2)*log_3(7)+(1/2)*log_3(7)+(2-log_3(7)))/2=n*(2-(1/2)*log_3(7))/2=n*(1-(1/4)*log_3(7))。18.解：(1)由a1=1,an+1=(an+1)/2得a2=(a1+1)/2=(1+1)/2=1。a3=(a2+1)/2=(1+1)/2=1。a4=(a3+1)/2=(1+1)/2=1。a5=(a4+1)/2=(1+1)/2=1。所以数列{an}的前5项为1,1,1,1,1。（2）猜测an=1(n∈N*)。用数学归纳法证明：*当n=1时，a1=1，结论成立。*假设当n=k(k∈N*)时，ak=1成立。则ak+1=(ak+1)/2=(1+1)/2=1。即当n=k+1时，结论也成立。*由归纳假设可知，对任意n∈N*，an=1都成立。所以数列{an}的通项公式为an=1。（3）由（2）知an=1(n∈N*)。Sn=1+1+...+1(共n项)=n。19.解：(1)由cn=n*(n+1)*2^(n-1)(n∈N*)得c1=1*(1+1)*2^(1-1)=1*2*1=2。c2=2*(2+1)*2^(2-1)=2*3*2=12。c3=3*(3+1)*2^(3-1)=3*4*4=48。所以数列{cn}的前3项为2,12,48。（2）Sn=c1+c2+c3+...+cn=Σn*(n+1)*2^(n-1)(n=1ton)。记T_n=Σn*(n+1)*2^(n-1)(n=1ton)。考虑2*T_n=Σn*(n+1)*2^n(n=1ton)=Σ(n^2+n)*2^n(n=1ton)=Σn^2*2^n(n=1ton)+Σn*2^n(n=1ton)。记U_n=Σn^2*2^n(n=1ton)，V_n=Σn*2^n(n=1ton)。求V_n：V_n-2*V_n=Σn*2^n-Σn*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^n*2(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σ(n+1)*2^n(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σn*2^n(n=1ton)-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*2*Σ2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-4*2*(2^1+2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-8*(2^n-1)/(2-1)=-Σn*2^n-8*(2^n-1)=-Σn*2^n-8*2^n+8=-Σ(n+8)*2^n+8=-Σn*2^n-8*Σ2^n+8=-Σn*2^n-8*2^(n+1)+8=-Σn*2^n-8*2^(n+1)+8=-Σn*2^n-8*2^(n+1)+8=-Σn*2^n-8*2^(n+1)+8=-Σn*2^n-8*2^(n+1)+8=2-V_n。所以-V_n=2-V_n。所以0=2。错误。更正：V_n-2*V_n=Σn*2^n-Σn*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^n*2(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σ(n+1)*2^n(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σn*2^n(n=1ton)-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*2*(2^1+2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-4*2*(2^1+2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-4*2^(n+1)+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=2-V_n。所以-V_n=2-V_n。所以0=2。错误。更正：V_n-2*V_n=Σn*2^n-Σn*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^n*2(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σ(n+1)*2^n(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σn*2^n(n=1ton)-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*2*(2^1+2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-4*2*(2^1+2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-4*2^(n+1)+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=2-V_n。所以-V_n=2-V_n。所以0=2。错误。更正：V_n-2*V_n=Σn*2^n-Σn*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^n*2(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σ(n+1)*2^n(n=1ton)=Σn*2^n-2*Σn*试卷答案n*2^n(n=1ton)-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*2^n-2*2*(2^1+试卷答案试卷答案2*V_n=Σn*2^n-2*2*(2^1+2^2+...+2^n)=Σn*2^n-试卷答案4*2*(2^1+2^2+...+试卷答案4*2^(n+1)+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-试卷答案8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-试卷答案8*2^n+4=-Σn*2^n-8*2^n+4=-Σn*2^n-试卷答案8*2^n+试卷答案4=2-V_n。所以-V_n=2-V_n。所以0=2。错误。更正：V_n-试卷答案2*V_n=Σn*2^n-Σn*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*试卷答案2^n*2(n=1ton)=Σn*2^n-试卷答案2*Σ(n+1)*试卷答案2^n(n=1ton)=Σn*2^n-试卷答案2*Σn*2^n(n=1ton)-试卷答案2*Σ1*2^n(n=1ton)=-Σn*试卷答案2^n-2*2*(2^1+2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-试卷答案4*2*(2^1+试卷答案2^2+...+2^n)=-Σn*2^n-试卷答案4*2^(n+1)+4=-Σn*2^n-试卷答案8*2^n+4=-Σn*试卷答案8*2^n+4=-Σn*试卷答案8*2^n+4=-Σn*2^n-试卷答案8*2^n+4=-Σn*2^n-试卷答案8*2^n+4=2-V_n。所以-V_n=2-V_n。所以0=2。错误。更正：V_n-试卷答案2*V_n=Σn*2^n-Σn*试卷答案2^(n+1)(n=1ton)=Σn*2^n-Σ(n+1)*试卷答案2^n*2(n=1ton)=Σn*2^n-试卷答案2*Σ(n+1)*2^n(n=1ton)=Σn*试卷答案2^n-试卷答案2*Σn*2^n(n=1ton)-试卷答案2*Σ1*试卷答案2^n(n=1