四川叙永第一中学2025-2026学年高二下学期第一学月知识回顾数学试题

高2024级2026年春期第一学月学知识回顾数学一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的导函数为，若，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义可得出结果.【详解】.故选：D2.已知数列为正项等比数列，若，则（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用等比中项的性质求解即可【详解】由等比数列的性质可得，，因,故.3.记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】因为为等差数列，由等差数列的性质求解即可.【详解】因为为等差数列，则，解得.4.某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由题意知各年的利润成等比数列，由等比数列前项和的公式即可求得的值.【详解】由题意知各年的利润成等比数列，记该数列为，前年的利润总和记为，公比.由，解得，故选：B.5.任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（）A.62 B.169 C.170 D.190【答案】D【解析】【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案.【详解】因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得或；当时，，解得或；当时，，解得或或；当时，，解得或或或；当时，，解得或或或或或；所以的所有可能取值为，它们的和为.6.用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（）A.1项 B.项 C.项 D.项【答案】D【解析】【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论．【详解】因为，所以，共项，则共项，所以比共增加了项，故选：D7.已知数列的首项，且满足，则（）A. B. C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案.【详解】由题意可得：，令，则可得：，所以是等差数列，公差为2.又因为，所以，所以.8.若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可.【详解】当时，.当时，.因为为等比数列，所以时也满足，即，解得.所以数列的通项公式为.该数列的前9项中所有奇数项之和为，该数列的前9项中所有偶数项之和为，故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为.故选：C.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据导数的运算法则依次判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；对于，故C正确；对于，故D正确.故选：BCD.10.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断.【详解】依题，，解得故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（）A. B.是等差数列C.为偶数 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断.【详解】根据题意，当时，，累加得，，易知也满足，所以，，故A正确；，故B正确；为奇数，故C错误；，，，，即，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的通项公式为，则是该数列的第__________项．【答案】12【解析】【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可.【详解】依题意，，而，解得，所以146是该数列的第12项.故答案为：13.求抛物线在点处的切线方程．【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；【详解】解：因为，所以，所以，故切线方程为14.已知数列的前项和为，且，则___________．【答案】【解析】【分析】根据，可求出的通项公式.【详解】当时，；当时，由于不适合此式，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是等差数列，为数列的前项和，；（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可;（2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为数列是等差数列，所以，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，数列的前项和，因，所以当或时，有最大值，即.所以数列的最大项和.16.等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【解析】【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．17.在数列中，，.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.（3）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.（2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果.（3）利用分组求和与等差等比前n项和公式即可求得结果.【小问1详解】证明：因为，所以，所以.因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得，则，故.【小问3详解】解：由（2）可得，则18.已知数列的前n项和为，，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为；（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.【小问1详解】由，则，又，所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，所以.【小问2详解】由，则，所以，所以.【小问3详解】由（1）（2），则，整理得恒成立，令，则，当时，当时，当时，所以，即的最小值为，综上，.19.已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列通项公式；（2）求数列满足,求数列的前项和；（3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）先利用作差法，消去前项和，再通过时的式子确定首项，代入公式进而得到通项；（2）先将分段数列按“奇数项、偶数项”拆分为两个基本数列（等差数列+等比数列），再利用等差数列、等比数列的求和公式计算两组的和，最后合并结果即可；（3）先假设存在满足条件的项，结合等比、等差数列的性质建立等式，再运用基本不等式的性质判断即可.小问1详解】解：由数列满足，当时，，当时，，两式相减，可得，整理得，即，又，且是等比数列，则其公比为4，所以，即，所以的通项公式为：；故答案为：.【小问2详解】由题意，，则前项中：奇数项：，共项，是首项为3