2025-2026学年江苏省扬州市宝应中学、高邮中学高二（下）学情检测数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省扬州市宝应中学、高邮中学高二（下）学情检测数学试卷（4月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若，则f′（2）=（）A. B.6 C.3 D.-62.已知向量与共线，则实数k=（）A.0 B.1 C.-1或2 D.-2或13.函数f（x）=ex+e-x（e为自然对数的底数）在（0，+∞）上（）A.有极大值 B.有极小值 C.是增函数 D.是减函数4.在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数λ=（）A. B. C. D.5.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.6.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为（）A.

B.

C.

D.7.若函数f（x）=xex-（m-1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（）A. B. C.m＜1 D.m≤18.已知λ＞0，对任意的x＞1，不等式e2λx-≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A.[2e,+∞） B. C.[e,+∞） D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，，则在上的投影向量为

B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C.若空间向量，满足，则与夹角为锐角

D.若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α10.已知函数f（x）=x+a（1-ex），则下列说法正确的有（）A.若a＞0，则f（x）有最小值 B.若a=1，则f（x）的极小值为0

C.若a＜0，则f（x）＜f（x2+1） D.若a＞2，则f（x）的最大值大于2-a11.函数f（x）=ex-alnx,则下列说法正确的是（）A.f（x）的图象过定点

B.当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增

C.当a=1时，f（x）＞2恒成立

D.存在0＜a＜e,使得f（x）与x轴相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1=CB=4，AC⊥CB，且D为AB的中点，，则DE的长为

.

13.已知函数f（x）=2x+a，g（x）=lnx-2x，如果对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f（x）=ex-ax2（a∈R）有两个极值点x1，x2，且x1=2x2，f′（x）为函数y=f（x）的导函数，则y=f′（x）的所有零点和为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，，.

（1）求的值；

（2）求.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）.

（1）若x=3为y=f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，4]上的最小值和最大值；

（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.17.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为AD的中点，点P为BD1中点，且AA1=4，AB=BC=2.

（1）求点P到平面CD1E的距离；

（2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=xlnx.

（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）已知函数，求g（x）的单调区间；

（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-e（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.19.(本小题17分)

已知

（1）若函数f（x）在区间（0，+∞）单调递减，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

（i）求实数a的取值范围；

（ii）证明：f（x1）+f（x2）＜6-lna.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】CD

11.【答案】AC

12.【答案】

13.【答案】（-∞，ln2-8]

14.【答案】3ln2

15.【答案】-6

16.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x2-2ax-3，f′（3）=0，

则27-6a-3=0，解得a=4，

故f′（x）=3x2-8x-3，令f′（x）=0，即3x2-8x-3=（3x+1）（x-3）=0，

解得或x=3，

当或x＞3时，f'（x）＞0，当时f'（x）＜0，

所以f（x）在和（3，+∞）上单调递增，在上单调递减，

所以x=3是f（x）的极小值点，故f（x）=x3-4x2-3x,

所以f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，

故f（x）在[1，4]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6；

（2）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，故，

设，当x≥1时，是增函数，其最小值为g（1）=0，

故a≤0，即实数a的取值范围为（-∞，0]．

17.【答案】

18.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+x•=lnx+1，

所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1，

又f（1）=0，

所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1．

（Ⅱ）g（x）=+=+=lnx+，x＞0，

g′（x）=-2•=，

令g′（x）=0，得x=2或-2（舍），

所以在（0，2）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，

在（2，+∞）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以g（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．

（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-e,

则若对于任意，都有xlnx≤ax-e

即若对于任意，都有lnx+≤a,

令h（x）=lnx+，x∈[，2e]，

h′（x）=-=，

令h′（x）=0，得x=e,

所以在（，e）上h′（x）＜0，h（x）单调递减，

在（e,2e）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，

又h（）=-1+e2，h（e）=2，

所以h（）＞h（e），

所以h（x）max=-1+e2，

所以a≥-1+e2，

所以a的取值范围为[-1+e2，+∞）．

19.【答案】[4，+∞）

（i）（0，4）；（ii）证明：由（i）知，x1+x2=4，x1x2=a，0＜a＜4，

所以

=，

因此要证f（x1）+f（x2）＜6-lna，即证4-alna+a＜6-lna，

即证（1-a）lna+a-2＜0，

构造函数h（a）=（1-a）lna+a-2，0＜a＜4，

则，

又在（0，4）上显然恒成立，

所以h′（a）在（0，4）上单调递减，

又h′（1）=1＞0，，

由函数零点存在性定理可得，∃a0∈（1，2），使得h′（a0）=0，即，即a0lna0=1；所以当a∈（0，a0）时，h′（a）＞0，则h（a）单调递增；当a∈（a0，4）时，h′（a）＜0，则h（a）单调递