2021年重庆市中考数学真题15解析

2021年重庆市中考数学真题（B卷）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面,

都给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题

卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑

1.3的相反数是（）

A.3B.AC.-3D.-A

33

【考点】相反数.

【答案】C

【分析】根据相反数的定义，即可解答.

【解答】解：3的相反数是-3,

故选：C.

2不等式x>5的解集在数轴上表示正确的是（）

--------1------4---------->--------1------4---------->

C.05D.0

【考点】在数轴上表示不等式的解集.

【专题】数与式；数感.

【答案】A

【分析】明确x>5在数轴上表示5的右边的部分即可.

【解答】解：不等式x>5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5,

故选:A.

3计算十・x结果正确的是（）

A.x4B.?C./D.x

【考点】同底数箱的除法.

【专题】整式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据同底数幕的除法法则计算即可.

【解答】解：原式=/T=/,

故选:B.

4如图，在平面直角坐标系中，将△OA8以原点。为位似中心放大后得到△OCO,若8(0,

1),D(0,3),则△043与△OCO的相似比是()

匕、

■1111

1111

1111

Dy____!___1____!

1****wL^^11

11/11

111

1y/\11

一厂1

O\x

A.2：1B.1：2C.3：1D.1：3

【考点】坐标与图形性质；位似变换.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】。

【分析】根据信息，找到08与0。的比值即可.

【解答】解：TB(0,1),D(0,3),

AOB=\,00=3,

MOAB以原点0为位似中心放大后得到△OC£),

•••△048与△OCO的相似比是08：00=1：3,

故选：D.

5如不图，是。。的直径，AC,8c是。0的弦，若N4=20°，则N3的度数为()

A.70°B.90°C.40°D.60°

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；应用意识.

【答案】A

【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解.

【解答】解：:AB是0。的直径，

AZC=90°,

"4=20°,

・・・NB=90°-NA=70°,

故选：A.

6下列计算中，正确的是（）

A.5^7-2^7=21B.2+V2=2V2C.73x76=372D.V15^V5=3

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法

则逐一判断即可.

【解答】解.：A.5市-2布=3币,此选项计算错误；

B.2与亚不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

C.第乂立=«乂的义比=3加，此选项计算正确；

D.V15^V5=V15^此选项计算错误；

故选：C.

7小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路1口I到家.如图，反映了

小明离家的距离,V（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系.下列描述错误的

是（）

A.小明家距图书馆3加

B.小明在图书馆阅读时间为2人

C.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4A

D.小明去图书馆的速度比回家时的速度快

【考点】函数的图象.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【答案】。

【分析】根据题意和医数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确.

【解答】解：由图象知：

A.小明家距图书馆3版,正确;

8.小明在图书馆阅读时间为3-1=2小时，正确；

C.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足44,正确；

D.因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比叵家时

的速度快，错误，符合题意.

故选：D.

8如图，在△ABC和△OCB中，ZACB=ZDBC,添加一个条件，不能证明△ABC和AOCB

A.ZABC=ZDCBB.AB=DCC.AC=DBD.ZA=ZD

【考点】全等三角形的判定.

【专题】三角形；图形的全等；应用意识.

【答案】B

【分析】根据证明三角形全等的条件A4S,SAS,ASA,SSS逐一验证选项即可.

【解答】解：在aABC和△OC8中，

VZACB=ZDBC,BC=BC,

A：当NABC=NOC5时，△ABC@/\DCB(ASA),

故A能证明；

B：当人B=QC时，不能证明两三角形全等，

故B不能证明；

C：当AC=OB时，(SAS),

故C能证明；

D：当N4=N。时，CAAS),

故。能证明：

故选:B.

9如图，把含3()。的直角三角板PMN放置在正方形A8C。中，NPMN=30",直角顶点P

在正方形ABCO的对角线B。上，点M,N分别在A8和CO边上，MN与4。交于点O,

且点。为MN的中点，则/AMP的度数为()

【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析［根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM=OP,从而得出NDPM

=150°,利用四边形内角和定理即可求得.

【解答】解：在RtZ\PMN中，/MPN=90°,

••,0为MN的中点，

・・・OP=,MN=0M，

•••/PMN=30°,

・・・NMPO=30°,

/.ZDPM=150°,

在四边形AOPM中，

VZA=90c,ZADB=45°,ZDPM=150°,

/./AMP=360°-ZA-ZADB-ZDPM

=360°-90°-45°-150°

=75°.

故选：c.

10如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度

（或坡比）为i=l：2.4,坡顶。到8C的垂直距离DE=50米（点A,B,C,。，E在

同一平面内），在点。处测得建筑物顶4点的仰角为50°,则建筑物44的高度约为（）

（参考数据:sin500^0.77；cos50°^0.64；tan500%1.19）

A

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解百角三角形及其应用：推理能力.

【答案】。

【分析】利用斜坡C。的坡度（或坡比）为i=l：2.4,求出CE的长，从而得出BE,再

利用⑶150°即可求出.48的长.

【解答】解・：•・•斜坡CD的坡度（或坡比）为i=l：2.4,

ADE：CE=5：12,

,.,OE=5（）米，

・・・CE=I2O米，

8C=I5O米，

・・・BE=150-120=30米，

••.A8=tan50°X30+50

=85.7米.

故选：D.

ii关于x的分式方程区3+i=2-的解为正数，且使关于），的一元一次不等式组

x-22-x

f^y-1

2y有解，则所有满足条件的整数〃的值之和是（）

[y+2>a

A.-5B.-4C.-3D.-2

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组.

【专题】分式方程及应用：一元一次不等式（组）及应用：运算能力：应用意识.

【答案】B

隹工<厂1

【分析】由关于y的一元一次不等式组《丁有解得到。的取值范围，再由关于

[y+2>a

x的分式方程些§+1=迎工的解为正数得到。的取值范围，将所得的两个不等式组成

x-22-x

不等式组，确定。的整数解，结论可求.

【解答】解：关于X的分式方程也3+1=红土的解为x=_g_.

x~22~xa+4

•・•关于x的分式方程整2+1=2■的解为正数，

x-22-x

«+4>0.

：.a>-4.

•.•关于x的分式方程些=ML有可能产生增根2.

x-22-x

6

户2・

a+4

••-1.

fWy-l

解关于y的一元一次不等式组得：

[y+2>a

（y<0

[y>a-2

fWy-l

•・•关于），的一元一次不等式组｛2“y有解,

[y+2>a

.*.67-2<0.

：.a<2.

综上，-4VqV2且。壬-1.

♦・・〃为整数,

'•a=-3或-2或。或1.

二.满足条件的整数。的值之和是：・3・2+0+1=-4.

故选:B.

12如图，在平面直角坐标系中，矩形A/6CO的顶点A,B在x轴的正半轴上，反比例函数），

=Ka>0,工>0）的图象经过顶点D,分别与对角线AC,边BC交于点E,F,连接

x

EF,AF.若点E为AC的中点，的面积为1,则k的值为（）

52

【考点】反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图象上点的坐标特征：直角三角形

斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质.

【专题】反比例函数及其应用；推理能力.

【答案】D

【分析】首先设A（a,0）,表示出。（〃，区），再根据。，E,尸都在双曲线上，依次表

a

示出坐标，再由S"E”=1，转化为SMCT=2,列出等式即可求得.

【解答】解：设A（a,0）,

•・•矩形ABC。，

:,D（mK）,

a

•・•矩形ABC。，E为4c的中点，

则E也为B。的中点，

,・•点8在x轴上，

・•・七的纵坐标为工，

2a

；・E（2a,g），

•・・E为AC的中点，

・••点C（3小区），

a

.••点F（3〃，JL）,

3a

•・•AAEF的面积为1,AE=EC,

*'•5zju4CF=2»

.•.lx（XjL）X2a=2»

2a3a

解得：k=3.

故选：D.

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直

接填在答题卡中对应的横线上

13计算：V9_（n-l）°=.

【考点】实数的运算：零指数第.

【专题】实数；运算能力.

【答案】2.

【分析】利用算术平方根，零指数制的意义进行运算.

【解答】解：原式=3-1=2.

故答案为：2.

14不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机

摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前

后两次摸出的球都是在球的概率是.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应注；数据分析观念.

【答案】生

9

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

【解答】解：列表如下

黑白白

黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白,白）（白，白）

由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果,

所以前后两次摸出的球都是白球的概率为9，

9

故答案为：1.

9

15方程2（x-3）=6的解是.

【考点】解一元一次方程.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】x=6.

【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可.

【解答】解：方程两边同除以2得：

x-3=3.

移项，合并同类项得：

x=6.

故答案为：％=6.

16如图，在菱形4BCO中，对角线AC=12,BD=16,分别以点A,B,C,。为圆心，IAB

2

的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（结果保留n）

【考点】菱形的性质：扇形面积的计算.

【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的计算；运算能力：应用意识.

【答案】96-100n.

【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解.

【解答】解：在菱形ABC。中，有：AC=12,BO=16.

AAB=J4BD)2+4AC)2=1O-

v乙乙

•••/48C+NBCO+NCDA+NQAB=360°.

・•・四个扇形的面积，是一个以工8的长为半径的圆.

2

・•・图中阴影部分的面积=2x12X16-1TX102=96-10（hr.

2

故答案为：96-IOOTT.

17如图，△ABC中，点。为边8。的中点，连接AO,将△AOC沿直线A。翻折至AABC

所在平面内，得△AQC',连接CC',分别与边A3交于点£与A3交于点O.若AE

=BE,BC'=2,则人。的长为.

【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识.

【答案】3.

【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后根据全等三角形的

判定和性质可以得到4。的长，从而可以求得的长.

【解答】解：由题意可得，

△OCAQdOC'A,OC=OC,ZCOD=ZC00=90°,

・••点。为CC'的中点，

•・•点。为3c的中点，

：・OD是ABCC的中位线，

AOD=^BC,OD//BC,

2

:・NCOD=/EC'8=90°,

•：AE=BE,BC=2,

在△EC'B和△EOA口，

2EC'B=ZEOA

<Nc，EB=NOEA，

BE=AE

：.4EC/△£Q4(AAS),

:,BC'=AO,

：.AO=2,

・・・AO=AO+OO=2+1=3,

故答案为：3.

18盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现

销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为人，

B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，I个迷你音箱；B

盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数

量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒

的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优

盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为一元.

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】155.

【分析】根据题意确定8盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代

数式即可.

【解答】解：•・•蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3

个多接口优盘，1个迷你音箱；。盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；

・・・/3盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22-2-3-1-1-3-2=10（个），

•・•“盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接匚优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱

的数量之比为3：2,

・・・3盒中有多接口优盘10x1=5（个），蓝牙耳机有5乂2=3（个），迷你音箱有10

23+2

-5-3=2（个），

设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为。元，〃元，c元，

由题知：（2a+3b+c=145①，

3a+5b+2c=245②

•・•①X2-②得：o+力=45,

②X2■①X3得：b+c=55,

一C盒的成本为:a+3b+2c=（a+b）+（2/?+2c）=45+55X2=155（元），

故答案为：155.

三、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给

出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程

书写在答题卡中对应的位置上.

19计算：

(1)a(2a+3b)+(a-b)2；

(2)*A+(田3/2).

X2+2X+1X+1

【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算.

【专题】整式；分式：运算能力.

【答案】(1)3cr+ab+b2；(2)三厘.

x+1

【分析】(1)先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；

(2)先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘

法，继而约分即可.

【解答】解：⑴原式=2＜尸+3出计/_2ab+b2

=3〃2+出?+序：

22

(2)原式=G+3)(X-3)+(X4-X+3-X)

(x+1)2AlAl

(x+3)(x-3)二x+3

(x+1)2x+1

(x+3)(x-3).x+1

(x+1)2x+3

_x-3

x+1

20.2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知

识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩(竞赛成

绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀).相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩(单位：分)：

6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,10.

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8.58.5

中位数a9

众数8b

优秀率45%55%

根据以上信息，解答下列问题：

（I）填空：，b=；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数;

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.

八年级教师竞赛成绩扇形统计图

A6分

B7分

Cg分

D汾

E10分

【考点】用样本估计总体；中位数；众数.

【专题】数据的收集与整理；应用意识.

【答案】（1）8：9.（2）102人；（3）八年级教师更加优异.

【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到。、。的值.

（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解.

（3）根据优秀率进行评价即可.

【解答】解：（1）:七年级教师的竞赛成绩：6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,

9,9,10,10,10,10,10.

中位数a=8.

根据扇形统计图可知Q类是最多的，故人=9.

故答案为：8；9.

（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数=工x100%X120=102

20

（人）.

（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%,故八年级的教师学习党史

的竞赛成绩谁更优异.

21如图，四边形A8CO为平行四边形，连接AC,且AC="8.请用尺规完成基本作图：

作出N5AC的角平分线与8c交于点E.连接8。交于点尸，交4c于点0,猜想线

段4F和线段。r的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

【考点】平行四边形的性质：作图一基本作图.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识.

【答案】图见解答过程；猜想：=3/步证明过程见解答.

【分析】根据题意作出图即可；

证明：•・•四边形"CQ为平行四边形.

：，0A=0C,OD=OB.

a：AC=2AB.

：.A0=AB.

VZBAC的角平分线与BC交于点E.

：.BF=F0.

:・DF=3BF.

22探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括

函数性质的过程.以下是我们研究函数），=1+卜合+6|+〃?性质及其应用的部分过程，请按

要求完成下列各小题.

x-2-1012345…

y•••654a21b7•••

（1）写出函数关系式中，〃及表格中小〃的值：

m=,a=,b=；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出

该函数的一条性质：一；

（3）已知函数），一凶的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|-

X

r

「一I----l-TTT「一「T一「一厂一厂

A品4m耳r

।।।।।।।।rIIIIIIIII

L十｛■-卜2

T1-T-T1-Ti-T-r-r

「-rim-TT1TTTT

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】数形结合；应用意识.

【答案】（1）-2,3,4；

（2）图象见解答过程，当x=3时函数有最小值），=1（答案不唯一）:

(3)xVO或＞4.

【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得〃?的值，然后代入x=l求。值，代入x=4求

）值即可;

（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可;

（3）根据图像求出即可.

【解答】解：（1）当x=O时，|6|+〃?=4,

解得：m=-2,

即函数解析式为：y=A+|-2r+6|-2,

当x=l时，a=l+|-2+6|-2=3,

当x=4时，/?=4+|-2X4+61-2=4,

故答案为：-2,3,4；

（2）图象如右图，根据图象可知当x=3时函数有最小值），=1；

（3）根据当），=1+卜2A+6|-2的函数图象在函数），=」回的图象上方时，不等式x+|-2.r+6|

x

-2>凶成立，

x

・・・x<0或x>4.

X

IIIIIIIIF*"IIIIIII)I

23重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经

典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面

（简称“生食”小面）.已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4

份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元.

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份.为回馈广大食

客，该面馆从5月I日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格

降低47%.统计5月的俏量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小

4

面的销量在4月的基础上增加苴〃％,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加

2

-5Y%.求。的值.

11

【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】（1）每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元：

（2）。=8.

【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为），元，根

据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生

食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；

（2）根据5月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额=4月的总销售额（1+27%）,

11

用换元法解方程可得结论.

【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元,

根据题意得:（3x+2y=31,

[4x+y=33

解得：x*=7

y=5

答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；

（2）由题意得:4500X7+2500（1+2%）X5（1-当％）=（4500X7+2500X5）（1+旦7%）,

2411

设。%=机，则方程可化为：9X7+25（1+2〃）（l・Ww）=（9X7+25）（1+巨〃力，

2411

375m2-30加=0,

m（25〃？-2）=0,

解得：〃?1=。（舍），2=-^-,

25

，。=8.

24对于任意一个四位数〃?，若干位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上

的数字之和的2倍，则称这个四位数〃？为“共生数”.例如：小=3507,因为3+7=2X

（5+0）,所以3507是“共生数”；加=4135,因为4+5W2X（1+3）,所以4135不是“共

生数”.

（1）判断5313,6437是否为“共生数”？并说明理由；

（2）对于“共生数”/t,当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位

上的数字之和能被9整除时，记尸（〃）=匚.求满足尸（〃）各数位上的数字之和是偶数

3

的所有

【考点】列代数式；因式分解的应用.

【专题】新定义；运算能力.

【答案】⑴5313是“共生数”，6437不是“共生数”;

（2）2148或3069.

【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313,6437是否为“共生数”；

（2）根据定义，先用两个未知数表示/（〃），然后列出含有〃的式子，找出满足要求的

结果即可.

【解答】解♦：（1）V5+3=2X（3+1）,

・・・5313是”共生数”，

V6+7^2X（3+4）,

・・・6437不是“共生数”；

（2）•・•〃是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，

设〃的千位上的数字为〃，则十位上的数字为2〃，（1W〃W4）,

设〃的百位上的数字为〃，

•・•个位和百位都是0-9的数字，

・••个位上的数字为9・b,且9-Q4

・・・0WbW4

・•・〃=1000。+100/升20"9-b；

:・F（〃）=W1°°b+2°a+9-b=340a+33=+3,

3

由于〃是“共生数”，

・・・a+9-/?=2X（2。+〃），

即ci+b=3>

可能的情况有：

（a=l（a=21a=3

Ib=2*1b=l，Ib=0

・•・〃的值为1227或2k8或3069,

各位数和为偶数的有2148和3069,

：.n的值是2148或3069.

25如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ad+云-4（aNO）与x轴交于点A（-1,0）,

B（4,0）,与），轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线/为该抛物线的对称轴，点。与点。关于直线/对称，点P为直线下方抛

物线上一动点，连接网，PD,求△以。面积的最大值.

（3）在（2）的条件下，将抛物线），=o?+bx-4（aWO）沿射线AQ平移4近个单位，

得到新的抛物线产，点E为点夕的对应点，点尸为9的对称轴上任意一点，在v上确

定一点G,使得以点Z）,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的

点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

备用图

【考点】二次函数综合题.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】（l）y=7-3x-4；（2）8；（3）G（互，H）或G（工，瘟）或G（至，名）.

242424

【分析】（I）直角代入点4,B坐标即可；

（2）作轴交直线4。于E,通过铅垂高表示出4A尸。的面积即可求出最大面积；

（3）通过平移距离为4加，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移

后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段。E,分OE为边还是对角

线，通过点的平移得出G的横坐标即可.

【解答】解：（1）将A（・1,0）,B（4,0）代入），=/+法-4得

a-b-4=0

16a+4b-4=0

.a=l

••<9

b="3

•-3x-4,

(2)当x=0时，>>=-4,

・,•点C(0,-4),

•・•点D与点C关于直线/对称,

・・・。(3,-4),

V4(-1,0),

工直线A。的函数关系式为：y=-x-I,

设P("2,〃/-3/M-4),

作PE〃丁轴交直线AD于

:・E(in,-m-1)»

:.PE=-/??-1-(〃尸-3/〃-4)

=-〃?2+2〃?+3,

(3)・••直线人。与x轴正方向夹角为45°,

・••沿A。方向平移4＞丘，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位,

VP(1,-6),

：・E(5,-10),

抛物线-3x-4平移后)，i=f-1Lv+20,

・••抛物线》的对称轴为：直线”=旦,

2

当OE为平行四边形的边时:

若。平移到对称轴上/点，则G的横坐标为三,

2

代入yi=.r-11^+20得y=-专

.r/15

若E平移到对称轴上/点，则G的横坐标为工,

2

代入y\-llx+20得y=

4

・・・Gg，潦）.

若QE为平行四边形的对角线时,

若E平移到对称轴上F点,则G平移到D点,

，G的横坐标为上,

2

代入y\=X1-llx+20得y=-A,

4

・.•G*V)

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须绐出必要的演算过程或推理步骤，画

出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26在等边△A8C中，AB=6,BD1AC,垂足为。，点E为A8边上一点，点尸为直线8D

上一点，连接EE

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点6重合，且G”的延长线过点C时，连接。G,求线段OG的长；

②如图2,点£不与点A,8重合，G尸的延长线交BC边于点从连接£〃，求证：BE+BH

=同「；

（2）如图3,当点七为4B中点时，点M为BE中点,，点N在边AC上，且ON=2NC,

点F从BD中点。沿射线QD运动，将线段EF绕点、E顺时针旋转60°得到线段EP,连

接尸P,当NP+lfP最小时，直接写出AOPN的面积.

2

AAA

G

D

BHC

01图2

【考点】几何变换综合题.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形：推理能力：模型思想；应用意识.

【答案】（1）（DV21；

②证明见解答过程；

（2）

3

【分析】（1）①过。作。〃J_GC十H,先证明ABG/是等边三角形，求出8长度，冉

证明8/=b=GF,从而在Rt^BOC中，求出C/=——W——=——3^=2代，即

cosZDCFCOS30

得GF,在RtZ\CQ”中，求出O”=CO・sin30°=旦和C”=CO・cos30°=斑£可得

22

GH=GF+FH=^^-,RlZ\G〃D中，即可得到

②过E作EP_LAB交8。于尸，过〃作MH_L8C交6D于M,连接尸G,作B尸中点N,

连接EM由NA8C+N£77/=18（r,得从E、F、”共圆，可得NFBH=NFEH,从而

可证〃P=GF,由£、P、F、G共圆可得N4M〃=/GPr=60°,故△GFPgHRW,PF

=FM,可得N/=MH,BF=MH+EP,在RtZXBEP中，EP=8E・tan300=返86，RtA

3

MHB中，MH=BH・tan30°=返8"，即可得到8E+8H=加8F；

3

（2）以M为顶点，MP为一边，作NPML=30°,AIL交BD于G,过户作PH_LA亿于

H,设交以）于K,RtZX/OW“中，■何匕最小即是NP+"”最小，此

22

时N、P、”共线，而洛线段瓦绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,可得NQKP=N

FEP=60”,从而可证ML〃AC,四边形GHNQ是矩形，由DN=2NC,得DN=GH=2,

由等边△ABC中，A8=6,点E为A8中点时，点M为8E中点，可得8M=3,BD=

2

A8・siiM=3/，RtZ\BGM中，MG=28M=3,8G=BM・COS30°=2^,可求M〃=

244

MG+GH=4GD=BD-BG=为应，RtAMHP中，可得HP=°b巨，从而可得PN

4412

=HN-HP=GD-HP=^^-,故S>DPN=LPN・DN=^^~.

323

【解答】解：(1)①过。作。”_LGC于，，如图：

•・•线段七厂绕点七逆时针旋转60°得到线段EG,点E与点8重合，且GF的延长线过点

C,

:・BG=BF.NFBG=60°,

•••△BGF是等边三角形，

:・/BFG=/DFC=60°,BF=GF,

•・,等边△ABC,A8=6,BD1AC,

AZZ)CF=1800-NBDC-NDFC=30°,N/)BC=>l/ABC=30°,CD=1AC=^AB

222

=3,

・•・ZBCG=ZACB-ZDCF=30°,

:・/BCG=NDBC,

:.BF=CF,

:・GF=CF,

RtZXBQC中，CF=————=——=273，

CQS/DCFCOS30

:.GF=2近,

RtZXCQH中，OH=CZ)・sin3(T=3,C//=CD*cos300=双

22

:,FH=CF-CH=近、

2

:・GH=GF+FH=^^,

2

「△G"。中，DG=^GH2+DH2=V21；

②过£作EPJ_A3交6。于忆过〃作M〃_L8c交。。于M,连接PG,作8”中由N,

连接£M如图:

*/EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,

・•・AEG〃是等边三角形，

：・NEFG=NEGF=NGEF=60°,Z£：FH=120°,EF=GF,

•••△48C是等边三角形，

/.ZABC=60°,

/.ZABC+ZEFH=\SQ°,

工B、E、尸、H共圆,

NFBH=ZFEH,

而△/WC是等边三角形，BD1AC,

・・・NOBC=NABD=30°,即NFBH=30°,

.,.ZFE/7=3O°,

：.ZFHE=\S0°-ZEFH-ZFEH=30a,

：.EF=HF=GF®,

TEPLAB,N46D=30",

：・NEPB=60°,NEP尸=120°,

AZEPF+ZEGF=180°,

:・E、P、F、G共圆,

・・・NGPF=NGEF=60°,

VMHIBC,ZDBC=30°,

/.ZBMH=60a,

：,/BMH=NGPF®,

而NGFP=NHFM③,

由①②③得△GQ也HEM(A4S),

:・PF=FM,

a：EPLAB,BP中点、N,ZABD=3Q°,

:・EP=LBP=BN=NP,

2

：.PF+NP=FM+BN,

:.NF=』M,

2

心△M”8中，MH=%M,

2

:・NF=MH,

:・NF+BN=MH+EP,即BF=MH+EP,

R"EP中，EP=B£-tan300=®BE,

3

中，MH=8”・tan300=叵BH,

3

:・BF=^BE+®BH,

33

(2)以M为顶点，MP为一边,作/PML=30°,ML交BD于G,过P作PH_LA〃于

H,设MP交3。于K,如图：

RtAPMH中,HP=1MP,

2

・,.NP+4MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、〃共线，

2

•・•将线段EF绕点、E顺时针旋转60°得到线段EP,

・••尸在射线Q尸上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，尸为主动点，尸是

从动点，上为定点，ZA£P=60°,贝ij”、P轨迹的夹角NQKP=NF£P=6()“，

・・・NBKM=60°，

VZABD=30°,

AZBMK=90°,

VZPML=30°,

・・・N4ML=60°,

・・・NBML=NA,

/.ML//AC,

・・・/HNA=1800-NP”M=90°,

而BDVAC,

:・NBDC=NHNA=NPHM=9C,

・•・四边形GHN。是矩形，

:・DN=GH,

•・•边△ABC中，A8=6,BDLAC,

，CO=3,

又DN=2NC,

:,DN=GH=2,

•・,等边△ABC中，AB=6,点、E为AB中点、时，点、M为BE中点、,

・・・6A/=3,6O=A6・siiH=6Xsiii600=3的，

2

RtZXBGM中，MG=1BM=^-,BG=BM*COS30°