2023年辽宁师范大学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

y>x

1.已知工，）,满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则〃的值是（）

x>a

3八2

A.4B.-C.—

411

4（TC

2.已知sin（乃+。）=一，且sin2a<0,则tana--的值为（）

5I4

1

A.7B.-7C.-

7

3.下列说法正确的是（）

A.命题,T/WO,2/Wsinx。”的否定形式是“Dx>0,2x>sinx”

B.若平面a,B,7,满足九则a//Q

C.随机变量，服从正态分布N0,b，）（cr>0）,若〃（0<4<1）=0.4,则尸（€>0）=0.8

D.设工是实数，“工<0"是,<1”的充分不必要条件

x

x+2y-5<0

2x+y-4<0

4.若实数x,y满足条件、八,目标函数z=2x—y,则z的最大值为（）

x>0

”1

5

A.-B.1C.2D.0

2

5.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长

为（）.

ouo左CUB

B.6C.1D.V6

小、In』

6.若x£(0,1),a=lnx,b=—,c=elnx,贝！]a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

x

7.若xc[0,l]时，e-\2x-a\>0t则。的取值范围为()

A.[-1,1]B.[2—e,e—2]C.[2—e,1]D.[21n2-2,l]

8*已知函数〃x）=（w.i为奇函数，则好＜）

1

A.-B.1C.2D.3

2

3

9.已知“，。，c分别为AABC内角4,B,。的对边，a=l4csinA=3cosC,A4BC的面积为一，则c=()

f2

A.2>/2B.4C.5D.3>/2

10-双曲线//叱。"）的左右焦点为63,一条渐近线方程为/：尸一"过点耳且与‘垂直的直线分

别交双曲线的左支及右支于RQ,满足O户=+则该双曲线的离心率为（）

A.MB.3C.75D.2

11.已知复数z满足，（3+z）=l+"则z的虚部为（）

A.-/B.iC.-1D.1

12.下座是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角

形ABC的斜边BC、直角边AN、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为,，记NA5C=a,则

4

cos2cr+sin2a=()

A

BC

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记复数z="瓦G为虚数单位)的共朝复数为复一次(。，heR)t已知z=2+i,则/=.

)22

14.已知椭圆]+),2=]与双曲线=一二二1有相同的焦点，其左、右焦点分别为巴、用,若椭圆与

2a~b-

双曲线在第一象限内的交点为P,且二百工，则双曲线的离心率为.

15.在数列卜/〃｝中，q=1,%+]=2〃-%,则数列｛〃”｝的通项公式4=.

y>x

16.若实数x,y满足r+yN6,则z=-2x+>的最小值为.

y<6

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(月=/一1+(^.

(D若为工赴，且/(与)=/(9)，求证：尸(七五)<0：

2

(2)若XER时，f(x)>^x+cix+bt求出?十人的最大值.

18.(12分)已知函数/(x)=|x+4+|x-l|,

(1)当。=2时，求不等式〃丫)>门8的解集：

(2)若关于人的不等式/(“4次-5|的解集包含[0,2],求实数。的取值范围.

19.(12分)已知函数/(x)=|x+l|-|x+a|.

(1)若。=-1,求不等式/(%)…一1的解集；

(2)若FeR,〃可<|2。+1]"为假命题，求。的取值范围.

3

20.（12分）已知在AA6C中，角A、B、C的对边分别为b,c,。=4&，cosC=-.

5

71

（1）若B=j求。的值；

4

（2）若b=5,求AABC的面积.

21.（12分）以直角坐标系xQy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线C的

x=4+3cos<9八》、

参数方程：^・八（。为参数），直线/的极坐标方程：0,7），夕£火）

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线/与曲线C交于A、B两点,求|。山+|。同的最大值.

22.（10分）如图，己知四边形A8CO的直角梯形，AD//BCtAD1DC,40=4,DC=BC=2,G为线段AZ）

的中点，PG_L平面A3CO,PG=2,M为线段AP上一点（M不与端点重合）.

（1）若=

（i）求证；PC〃平面8WG；

（ii）求平面24。与平面所成的锐二面角的余弦值；

（2）否存在实数4满足戒=%/，使得直线依与平面BMG所成的角的正弦值为亚，若存在，确定的4值,

5

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

y=xx=a

试题分析：先画出可行域如图：由｛'+,二2'得皿）,由｛尸/得C3G，当直线z=2x+y过点如』）时,

目标函数z=2x+），取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点C（a,a）时，目标函数z=2x+），取得最小值,

最小值为3a；由条件得3=4x3。，所以。=1，故选D.

考点：线性规划.

2.A

【解析】

4

由sin（乃+a）=一及$巾2。<0得到sina、cosa进一步得到Uma,再利用两角差的正切公式计算即可.

5

【详解】

，443

因为sin(4+a)=-,所以sina=-^,又sin2a=2sinacosa<0,所以cosa=g

5〜

7-4

4Htana-13,

tana=——,=----------=------=7•

1+tan«14

31—

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

3.D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；。，/可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

L<lnx<0或X>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

x

【详解】

命题“玉;）£。，2/Vsinx。”的否定形式是“VxWO,2x>sinx”，故A错误；

,则「可能相交，故B错误；若尸(0<4<1)=0.4,则打1<€<2)=0.4,所以

1-04-041

<0)=--—-=0.1,故P4>0)=0.9,所以c错误；由一<1,得xvO或x>l,

2x

故“r<0”是的充分不必要条件，D正确.

x

故选：D.

【点睛】

本题考直命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

4.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.

【详解】

x+2y-5WU

2x+y-4<0

若实数x,y满足条件、八,目标函数z=2x—y

x>0

)^1

【点睛】

求线性目标函数z=火+b。必*0)的最值：

当〃>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；

当〃<。时，直线过可行域且在),轴上载距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

5.B

【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长.

【详解】

解：根据三视图还原几何体如图所示,

所以，该四棱锥体的最长的棱长为/].

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

6.A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

VxG(0,1),

(-)l,,x>(-)°=1,

22

lr,x(i

0<c=e<e=\t

：.G,瓦C的大小关系为力>C>0.

故选：A.

【点睛】

本题考杳三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.D

【解析】

由题得2x-ex<a<2x+e'对Vxw[0,1]恒成立，令/(x)=2x-g(x)=2x+ex,然后分别求出

fWg，g(£U即可得〃的取值范围・

【详解】

由题得2x-ex<a<2x+e'对Vx恒成立，

令/(x)=2%一e',g(x)=2x+ex,

・・・/'("=2-/在［0』单调递减，且/'伽2)=0,

・・•/(同在(0,In2)上单调递增，在(In2,1)上单调递减，

.-.^>/(%)_=/(ln2)=21n2-2,

又g(x)=2x+/在［0』单调递增，.-.47<g(另由=g(0)=1,

•••4的取值范围为［21n2-2,l］.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变

量分离法去求解.

8.B

【解析】

根据/(1)整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出〃?的值.

【详解】

依题意“X)是奇函数.而y=V+sinx为奇函数，,，=/+二为偶函数，所以g(x)=(l+x)(加-力为偶函数，故

g(x)_g(r)=0，也即(1十%)(〃?一工)一(17)(加十力=0,化简得(2〃L2)X=0,所以"?二］.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.

9.D

【解析】

3413

由正弦定理可知4csin4=4。5111。=3以)8。,从而可求出sinC=-,cosC二一.通过几帆=-Q〃sinC=一可求出

5522

b=5,结合余弦定理即可求出c的值.

【详解】

解：v4csinA=3cosC,即4csinA=3acosC

4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

,/sin2C+cos2C=1>则sinC=^,cosC=三.

JJ

1133

S.=—absinC=-x1x/?x-=-,解得b=5.

XRC2252

2222

c=a+b-2abcosC=l+5-2xlx5x—=18,c=372

故选:D.

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系,本题的关键是通过

正弦定理结合已知条件，得到角C的正弦值余弦值.

10.A

【解析】

/、/、b2加

设P（N，yJ,Q伍,％）,直线P。的方程为x=,），-c,联立方程得到取2二断_”2，

根据向量关系化简到=9/,得到离心率.

【详解】

设P（/y）,Q（W，%），直线的方程为x=，）」c.

b

x=-y-c,

2A

联立:,整理得（尸一/）9一+ab=0,

2ab3a2b4

则y+为二用不，v必二尸7尸.

—1——1——

因为。2二不。”+不。。，所以尸为线段Q片的中点，所以为=2y,

乙乙

"产％）294a步（从一4工4b2

，整理得从=%?,

2（b2-a2fc2a2b4仅二/）

故该双曲线的离心率e=

故选：人

本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

11.C

【解析】

利用复数的四则运算可得z=-2-i,即可得答案.

【详解】

・・・i(3+z)=l+i,A3+z=—=l-z,

z=-2—i,・••复数z的虚部为一1.

故选：C

【点睛】

本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.

12.D

【解析】

1

根据以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比求得——=-,即lana的值，由此求得sina和cosa的值，进而求

AB2

得所求表达式的值.

【详解】

IAC11〜.12

由于直角边AC、A8为直径的半圆的面积之比为一，所以一=-,即tana=一,所以sina=丁,cosa=一尸,

4AB22V5V5

所以cos*a+sin2a=+2xx~.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3-41

【解析】

计算得到5=(2+力2=3+4。再计算了得到答案.

【详解】

Vz=2+z,Az2=(2+i)2=3+4I,则z：=3-4i.

故答案为：3-4Z.

【点睛】

本题考查了复数的运算，共枕复数，意在考查学生的计算能力.

14.2

2

【解析】

先根据椭圆勺+)3=1得出焦距,结合椭圆的定义求出"P,PK，结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心

率的公式求出离心率即可.

【详解】

解：因为椭圆y+y2=1，则焦点为X(-1,0),6(1,0),

又因为椭圆《+)，2=1与双曲线二一与二1(«>(),/?>())有相同的焦点，

2a~b~

椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,且4P二£K，

在椭圆中：FiF2=2c=2yPFi=FlF2=2

由椭圆的定义：PF2=2a-PF.=242-2

在双曲线中：防一空=2—(2&-2)=4-2日

所以双曲线的实轴长为：4-2夜，实半轴为2-拉

则双曲线的离心率为：，=」_产=也2

2-V22

2+V2

故答案为:

2

【点睛】

本题主要考查椭圆与双曲线的定义，考查离心率的求解，利用定义解决综合问题.

为奇数

1R

0・为偶数

【解析】

由题意可得。向-4T=2(«..2),又4=1,数列｛4｝的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对〃分奇数和

几〃为奇数

偶数两种情况，分别求出明,从而得到数列｛q｝的通项公式二

为偶数.

【详解】

解：・・・《+i=2〃一4,

.・.an+i+an=2〃①，an+*=2("1)(九.2)②,

①・②得：=2(〃..2),又・.・％=1,

，数列｛。〃｝的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,

・•・当〃为奇数时，an=nt

当〃为偶数时，则〃一1为奇数，・,・%=2(〃-1)一〃“_|=2(〃一1)一(〃一1)二〃-1,

〃为奇数

・•・数列｛q｝的通项公式为

为偶数

〃，〃为奇数

故答案为:

〃-1/为偶数

【点睛】

本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出q川-〃,i=2(〃..2),从而确定数列的奇数项成等差

数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式.

16.-6

【解析】

由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.

【详解】

y=6

由约束条件先画山可行域，如图所示，由2=2x1y,即y=2xlZ,当平行线经过点A时工取到最小值，由了

可得4(6,6),此时z=-2x+y=-2x6+6=-6,所以z=-2x+y的最小值为-6.

本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解

题方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)

【解析】

(D利用导数分析函数y=/(x)的单调性，并设％<占，则％<0,七>0,将不等式尸号幺<。等价转化为

I2J

证明内+9<0,构造函数〃(x)=/(x)-/(-x),利用导数分析函数y=〃(x)在区间(-8,0)上的单调性，通过推

导出〃(由)<0来证得结论；

(2)构造函数G(x)=，—x—or,对实数。分。<_1、a=-\.a>-\,利用导数分析函数.y=G(力的单调性，

求出函数y=G(x)的最小值，再通过构造新函数。(7)=/一产］0匕利用导数求出函数)，=。(/)的最大值，可得出

〃〃十〃的最大值.

【详解】

(1)r(x)=er-l+x,r(x)=eA+l>0,所以,函数)，=/'(3)单调递增，

所以，当x<0时，r(x)<0,此时，函数y=/(x)单调递减；

当太〉。时，r(x)>o,此时，函数)，=/(”单调递增.

要证/'(与会)<0,即证玉+工2<0・

不妨设内<々，则玉<。，x2>0t

下证为<-X，即证/(为)=/(工2)</(一王)，

I/1\

构造函数〃(力=—x)="-工+不一―v+x+—x~=ex—e'—2x(x<0),

2I2，

“(力=炉+初-2>2Je'•©t-2=0,所以，函数y=/2(x)在区间(f,0)上单调递增，

•・・内<0,.,.〃(与)<0,即/(内)一/(一不)<0,即/(%2)=/(5)</(一百)，

v9>°，一%>o且函数y=〃%)在区间(O,-HX>)上单调递增，

所以々<-%，即％+々<0，故结论成立；

(2)由+狈+力恒成立，得炉一工之火+〃恒成立，

令G(x)=e*-1一⑪，贝ijG'(x)=e'T-〃.

①当av-l时，对任意的XER,G(X)>0,函数y=G(x)在R上单调递增，

当XfyO时，G(x)->-<x>,不符合题意;

②当a=—1时，ab+b=O；

③当a>—1时，令G'(x)>0,得x>ln(a+l),此时，函数y=G(x)单调递增；

令G’(x)<0,得x<ln(〃+l),此时，函数y=G(x)单调递减.

・•・G(x)而n=G(ln(a+l))=(a+l)-(a+l)ln(a+l).

.".(«+1)/?<(«+1)2-(〃+1)21n(a+l).

令f=4+l>0,设°(/)=/一/inr,则=

当0</<五时，”(/)>0,此时函数)，=0。)单调递增；

当/>及时，”(/)<0,此时函数y=0(z)单调递减.

所以，函数y=e(f)在/=8处取得最大值，即0(，)_=°(〃)=彳.

因此，(。+1)〃的最大值为1.

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，

属于难题.

18.(1)xe(-oo,-3]U[7,+oo)(2)-4<«<0

【解析】

(1)按工之1,一2<%<1,工<-2进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；(2)将问题转

化为/(工)=卜+4+人一心上一5|在工£[0,2]时恒成立，按工目0』和xe(l,2]分类讨论，分别得到不等式恒成立

时对应的。的范围，再取交集，得到答案.

【详解】

解：(1)当〃=2时，/(x)=|x+2|+|x-l]?x+8等价于

x>][-2<x<1fx<-2

■或〈或〈,

[2x+l>x+8[3>x+8[-2x-l>x+8

解得x27或或x4-3,

所以不等式的解集为：x£(­,-3]U[7,y).

(2)依题意即/(x)=|x+4+k—l同x-5|在x«0,2]时恒成立，

当力£[0,1]时，|口+/+1—xK5—%,即卜+4《4,

所以对xe[O,l]恒成立

-4-a<0

得-4WaV3；

1<4-a

当XE(1,2］时，W+4+x-l<5-x,

即|x+4<6—2x,2x-6<x+a<6-2x

,6—。

〜-----

所以3对任意(1,2]恒成立,

X<6+<7

2卫

得\层a<0.JLd

3

2<6+«

综上，-4<tz<0.

【点睛】

本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.

19.(1)一;,+8)

(2)[-2,0]

【解析】

(D)当。二一1时，将函数/(x)写成分段函数，即可求得不等式的解集.

(2)根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“去£/?,/(x)..|2a+l-为真命题，只需满足

八力"」2〃+1|即可.

【详解】

—2yx<—1,

解：(1)当。=一1时，/(力=,+1卜|不一"=<2X,T<X<L

2,x>1.

由J(X)-L1，得尤..一-.

,"1、

故不等式/(司...一1的解集为一亍+8.

(2)因为“VxeR,，(x)<|2a+l|"为假命题,

所以“hwR,〃x).12〃十心为真命题，

所以/⑴“/为+”•

因为/(工)司工+1|一次+。1，,1&+1)-。+。)1=1。一1|，

所以/(力3=1"-1|,则|。一1|…|2〃+1|,所以g—l。.(2〃+1『，

即/+勿工(),解得一2捌z0,即4的取值范围为[-2,0].

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.

20.(1)7(2)14

【解析】

34

(1)在MBC中，cosC=-,可得sinC=-,结合正弦定理，即可求得答案；

55

(2)根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.

【详解】

(1)•••在AABC中，cosC=-,

5

■「4

sinC=—,

5

A=TT-(B+C),

：.sinA=sin(B4-C)=sinBcosC+cosBsinC=^2Lx—4-x—=,

252510

.a_c

••—；=~-9

sinAsinC

.c.._

..a=----xsinA=7.

sinC

(2)*.*c2=a2+lr-2abcosC,

32=a~+25-6。，

6Z2—66z—7=0,

•.・解得。=7,

114

=—f/Z?sinC=—x7x5x—=14.

.MM225

【点睛】

本题主要考查了正弦定埋和余弦定埋解三角形，解题关键是掌握正弦定埋边化角，考查了分析能力和计算能力，属于

中档题.

21.(1)p2-8pcos^-6psin^+16=0；(2)10

【解析】

(D消去参数，可得曲线。的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代人即可求得曲线C的极坐标方程;

(2)将0=a代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得月+夕2，2~2,进而得到

|。4|+|四=何+|闻=10卜in(a+0),结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

•X=4+3cos0

(1)由题意，曲线C的参数方程为‘一.c.八的为参数)，

y=3+3sin，

消去参数，可得曲线C的普通方程为(工―4f+()，—3尸=9,&P.r+r-8x-6^+16=0,

又由x=/9cos6,y=psin^,x2+y2=p2,

代入可得曲线C的极坐标方程为夕2_8pcos夕一6。sin8+16=0.

(2)将0=a(aw[O,乃))代入夕2-8pcos。-6psin6+I6=0,

、+夕>=8cosa+6sina

得/r-(8cosa+6sina)0+l6=O,即｛八，

[p,p2=16>0

所以|(24|+[0用=